2019江苏常州中考数学解析

1、2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1（2019·江苏常州，1，2）3的相反数是（ ）A B C3 D3【答案】C【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于330，从而3的相反数是3，因此本题选C【知识点】实数的概念；相反数2（2019·江苏常州，2，2）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）Ax1 Bx3 Cx1 Dx3【答案】D【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x30得x3，

2、因此本题选D【知识点】分式有意义的条件3（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A3圆柱 B正方体 C圆锥 D球第3题图【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A【知识点】三视图4（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）A线段PA B线段PB C线段PC D线段PD 第4题图【答案】B【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB

3、、PC、PD中，长度最小的是PB，因此本题选B【知识点】垂线的性质；点到直线的距离5（2019·江苏常州，5，2）若ABC，相似比为12，则ABC与的周长的比为（ ）A21 B12 C41 D14【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知ABC与的周长的比为12，因此本题选B【知识点】相似三角形的性质6（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2的积是有理数的是（ ） A2 B2 C D2【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2)(2)1，因此本题选D【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则7（2019&#

4、183;江苏常州，7，2）判断命题“如果n1，那么n210”是假命题，只需举出一个反例反例中的n可以为（ ）A2 B C0 D【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“21，而(2)2131”，从而反例中的n可以为2，因此本题选A【知识点】命题与证明；反证法；举反例8（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极差

5、（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）A B C2 D第8题图A B C D【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0t10、10t20、20t24，在0t10，y2随t的增大而增大；在10t20，y2随t的增大而不变（恒为854243），在20t24，y2随t的增大而增大，因此本题选B【知识点】极差的意义；函数图像的应用二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9（2019·江苏常州，9，2）计算：a3÷a_【答案】a2【解析】本题

6、考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a3÷aa31a2，因此本题答案为a2【知识点】同底幂的除法法则10（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是_【答案】2【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为224，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2【知识点】算术平方根的定义11（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax24a_【答案】a(x2)(x2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax24aa(x24)a(x2)(x2)，因此本题答案为a(x2)(x2)【知识点】因式分解1

7、2（2019·江苏常州，12，2）如果35°，那么的余角等于_°【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，35°55°90°，的余角等于55°，因此本题答案为55°【知识点】余角的定义13（2019·江苏常州，13，2）如果ab20，那么代数式12a2b的值是_【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值ab20，ab212a2b12(ab)12×25，因此本题答案为5【知识点】整式的求值问题

8、；整体思想14（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P(3，4)到原点的距离是_【答案】5【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(3，4)到原点的距离是5，因此本题答案为5【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15（2019·江苏常州，15，2）若是关于x、y的二元一次方程axy3的解，则a_【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将代入方程axy3，得a23，a1，因此本题答案为1【知识点】二元一次方程的解的定义16（2019·江苏常州，16，2）如图，AB是O的直径，C、

9、D是O上的两点，AOC120°，则CDB_°第16题图【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，AB是O的直径，AOC120°，BOC60°CDB30°因此本题答案为30【知识点】圆周角定理17（2019·江苏常州，17，2）如图，半径为的O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切连接OC，则tanOCB_第17题图【答案】【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识设O与BC边相切于点D，连接OB、OD由等边三角形的性质得ABC60°，再由切线长定理易求OBC30°，而OD，从而由

10、tanOBD，得BD3，于是CDBCBD835在RtOCD中，由正切函数定义，得tanOCB因此本题答案为第17题答图【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数18（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD中，AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_第18题图【答案】6【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE”，求得PD，CE

11、2，这样由tanDEC；第四步过点P作PHBD于点H，在BD上依次取点M、N，使MHNH2PH，于是因此PMN是所求符合条件的图形；第五步由DPHDBA，得，即，得PH，于是MN4PH6，本题答案为6第18题答图【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）；（2）(x1)(x1)x(x1) 【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法

12、则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可【解题过程】解：（1）原式1230； （2）原式x21x2xx1【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算20（2019·江苏常州，20，6）解不等式组并把解集在数轴上表示出来【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来【解题过程】解：不等式的解集为x1；不等式的解集为：3xx8，4x8，x2原不等式组的解集为1x2，在数轴上表示如下：第20题答图【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解

13、集在数轴上表示法21（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在处，与AD相交于点E（1）连接，则与BD的位置关系是_；（2）EB与ED相等吗?证明你的结论第21题图【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接，从图形上容易看出并证明四边形是等腰梯形，故BD由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EBED 第21题答图【解题过程】解：（1）BD；（2）EBED理由如下：由折叠可知CBDEBD，四边形ABCD是平行四边形，ADBCCBDEDBEBDEDBEBED【知识点】折叠；平行四边形

14、的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定22（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图（1）本次调查的样本容量是_，这组数据的众数为_元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数第22题图【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生

15、的捐款总数【解题过程】解：（1）30，10； （2）12（元）；（3）12×6007200（元），估计该校学生的捐款总数为7200元【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体23（2019·江苏常州，23，8）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中 根据以上信息，解决下列问题： （1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出

16、的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率（不重叠无缝隙拼接）第23题图【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决【解题过程】解：（1）； （2）现画树状图如下：第23题答图 由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P(拼成的图形是轴对称图形)【知识点】概率的求法24（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】本题考查了分式方程的

17、应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等【解题过程】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做(30x)个零件，根据题意，得 ，解得x18 经检验，x18是原方程的解，则30x12 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件【知识点】分式方程的应用25（2019·江苏常州，25，8）如图，在ABCD中，OA2，AOC45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y（x0）的图像经过点A、D （1）求k的值；（2）求点D的坐标第25题图【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形

18、的性质、反比例函数等知识点（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE由OA2，AOC45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OFAF2，从而A(2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k4（2）由中点公式，易求点E的坐标，从而D点的横坐标与E点相同，在y，将点E的横坐标代入可求y的值，从而求出点D的坐标【解题过程】解：（1）如答图，延长BA交x轴于点F，取OA的中点E，连接DE，则AFx轴于点F 在RtAOF中，OA2，AOC45°，可得OFAF2，从而A(2，2) 反比例函数y（x0）的图像经过点A、D，k2×24 （2）O(0，0)，A(2，2)

19、，线段OA的中点E的坐标为 (1，1)在y中，当x1，y4，点D的坐标为(1，4)第25题答图【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数26（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方

20、法计算棋子的个数，可得到等式：n2_图261图262【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(mn)点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形当n3，m3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y7 当n4，m2时，如图4，y_；当n5，m_时，y9；对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳思想，可得y_（用含m、n的代数式表示）请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立图263图264【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a、b、c的数量关系：a

21、2b2c2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（2）根据图2中n行n列个点的计算方式，得到n21352n1（n为正整数）（3）先观察图3和图4，不难解决第问；利用多边形的内角和公式，得到在n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三角形，这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°，也等于n边形的内角和与m个周角的和，即可得到y与m、n的数量关系式【解题过程】解：（1）S梯形(ab)(ab)(a22abb2)，又S梯形2×abc2，(a22abb2)2×abc2a22abb22abc2a2b2c2结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的

22、平方 （2）1352n1（n为正整数） （3）6，3；n2m2，理由如下：如答图，在n边形内有不共线的m个点，最多能剪出y个三角形，这些y个三角形的内角和的总和为(180y)°，也等于n边形的内角和与m个周角的和，即180°(n2)m 360°，故180y180(n2)360 m，故yn2m2第26题答图【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题27（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数yx2bx3的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A坐标为(1，0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上（1）b_；（2）若点P在第

23、一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N是否存在这样的点P，使得PMMNNH，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，求点P的坐标第27题图 第27题备用图【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，m22m3)，则M(m，m3)、N(m，m)，再利用PM

24、MNNH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PKAB于点K，过点Q作QJAB于点J，则PKQJ通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P的坐标【解题过程】解：（1）二次函数yx2bx3的图像过点A(1，0)，0(1)2b3b2 （2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PHx轴于点H，交BC、BD分别于点M、N第27题答图2第27题答图1 抛物线yx22x3交x轴于点A(1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，D(0，)易求直线BC的解析式为yx3，直

25、线BD的解析式为yx假设存在符合条件点P(m，m22m3)，则M(m，m3)、N(m，m)PMMNNH，m(m22m3)(m3)整理，得2m27m30，解得m1，m23（不合题意，舍去）P(，)即为所求的符合条件的点 （3）如答图2，过点P作PKAB于点K，过点Q作QJAB于点J，则PKQJ过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且SPQB2SQRB，PQ2QR，从而PR3QRPKQJ，RQJRPKPK3QJ设P(n，n22n3)，由BD的解析式为yx，且直线PQBD，可令直线PQ的解析式为y2xt，则n22n32nt，解得t3n2，于是，PQ：y2x3n2由，解得，从而Q(，)由PK3QJ，得n22n33()，整理，得n25n