找规律—主题拓展性学习(江苏省常州金坛市华罗庚实验学校潘建明)

1、找找 规规 律律潘潘 建建 明明常州市初中数学教育潘建明名师工作室企划常州市初中数学教育潘建明名师工作室企划主题拓展性学习主题拓展性学习江苏省常州金坛市华罗庚实验学校江苏省常州金坛市华罗庚实验学校1 1观察下列各组数，尝试写出第观察下列各组数，尝试写出第n n个数：个数：（1 1）有一列数：）有一列数：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5， n n数列：数列：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，nn一、自觉体悟一：探究体验一、自觉体悟一：探究体验 若无特殊说明，本节课中的字母若无特殊说明，本节课中的字母n

2、n都表示都表示正整数正整数，并且，并且n n从从1 1开始开始。（2 2）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5， n n数列：数列：2 2，4 4，6 6，8 8，1010， 2n2n数学思想：数学思想： 经历了一个经历了一个从特殊到一般从特殊到一般的过程，体验的过程，体验了了从特殊到一般从特殊到一般的数学思想。的数学思想。（3 3）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n

3、n数列：数列：2 2，4 4，8 8，1616，3232， 2 21 1,2,22 2,2,23 3, 2, 24 4, 2, 25 5, ,，数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！2n2n数学思想：数学思想： 经历了一个经历了一个类比类比的过程，体验了的过程，体验了类比类比的的数学思想。数学思想。变式：变式：有一列数：有一列数：4 4，8 8，1616，3232，6464，则第则第n n个数是个数是 ；序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n数列：数列：4 4，8 8，1616，3232，6464， 2 22 2,2,23 3, 2, 24 4, 2, 25 5,

4、 , 2 26 6，数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！2n+12n+1（4）有一列数：）有一列数：4，8，16 ，32，64 ，第，第n个数个数 ； (-1)(-1)n n2 2n+1n+1也可以表示成：也可以表示成：（1 1）当）当n n为奇数时，第为奇数时，第n n个数为个数为 ；（2 2）当）当n n为偶数时，第为偶数时，第n n个数为个数为 ；体现了体现了分类数学思想分类数学思想-2-2n+1n+12 2n+1n+11 1观察下列各组数，尝试写出第观察下列各组数，尝试写出第n n个数：个数：（2 2）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，6 6，8 8，1010，则第则第n

5、n个数是个数是 ；（3 3）有一列数：）有一列数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，则第则第n n个数是个数是 ；（4 4）有一列数：）有一列数：4 4，8 8，1616，3232，6464，则第，则第n n个数是个数是 ；2n2n体悟一：什么是找规律？体悟一：什么是找规律？初步感知：初步感知：我们试图用我们试图用一个代数式一个代数式表示出一个数列表示出一个数列的的演变准则演变准则。核心概念一：核心概念一： 找出找出一个代数式来表示某事物（或事件）一个代数式来表示某事物（或事件）的演变准则的演变准则的过程的过程叫做找规律。叫做找规律。要关注找规律的方法的多样性要关注找规律的方法的多样

6、性(-1)(-1)n n2 2n+1n+12 2暴露差异：暴露差异：观察下列各组数，请尝试写出第观察下列各组数，请尝试写出第n n个数：个数：（1）有一列数：）有一列数：3，5，7，9，11，则第，则第n个数是个数是 ；（2 2）有一列数：有一列数：1，4， 9，16，25，则第，则第n个数个数 ；2121) 1() 1(nnnn或2n2n+1 当当n n为奇数时，第为奇数时，第n n个数为个数为 ； 当当n n为偶数时，第为偶数时，第n n个数为个数为 。2n二、自觉体悟二：做中感悟二、自觉体悟二：做中感悟 问题：问题：一张矩形纸条的面积为一张矩形纸条的面积为1 1个平方单个平方单位，对这张

7、矩形纸条进行平行方向连续位，对这张矩形纸条进行平行方向连续n n次对次对折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量是变化的？将提出什么问题？是变化的？将提出什么问题？ 经验升华：建立联系经验升华：建立联系已知：一张矩形纸条的面积为已知：一张矩形纸条的面积为1 1个平方单位，现将纸个平方单位，现将纸条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，填写下表：填写下表：对折次对折次数数所得层数所得层数（层）（层）单层面积（平方单层面积（平方单位）单位）折痕条数（条）折痕条数（条）1 1 2 2 3 3 4 4 n n 二、自觉

8、体悟二：做中感悟二、自觉体悟二：做中感悟 问题：问题：一张矩形纸条的面积为一张矩形纸条的面积为1 1个平方单个平方单位，对这张矩形纸条进行平行方向连续位，对这张矩形纸条进行平行方向连续n n次对次对折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量折后展开，在操作的过程中，你发现哪些量是变化的？将提出什么问题？是变化的？将提出什么问题？ 序号：序号：1 1，2 2，3 3， 4 4， 5 5，n n层数：层数：2 2，4 4，8 8，1616，3232，面积：面积： ， ， ， ， ，折痕：折痕：1 1，3 3，7 7，1515，3131， 2n-1214181161n212n321经验升华：建立联系经验

9、升华：建立联系已知：一张矩形纸条的面积为已知：一张矩形纸条的面积为1 1个平方单位，现将纸个平方单位，现将纸条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，条进行若干次平行方向对折，根据你的操作过程，填写下表：填写下表：对折次对折次数数所得层数所得层数（层）（层）单层面积（平方单层面积（平方单位）单位）折痕条数（条）折痕条数（条）1 1 2 2 1 12 2 4 4 3 33 3 8 8 7 74 4 16 16 15 15 n n 2 2n n 2 2n n-1-1214181161n21说说你有什么感悟？说说你有什么感悟？三、变式引领三、变式引领例例1 1观察：观察：9 91=21=24 4；

10、25251=41=46 6；49491=61=68 8；81811=81=81010；按；按此规律写出第此规律写出第n n个等式是个等式是 。你的解题策略是什么？你的解题策略是什么？ 例例1 1观察：观察： 9 91=21=24 4； 3 32 21=21=24 4； 1 1 25251=41=46 6； 5 52 21=41=46 6； 2 2 49491=61=68 8； 7 72 21=61=68 8； 3 3 81811=81=81010； 9 92 21=81=81010； 4 4 ；第第n n个等式是个等式是（ ）2 2-1=( )-1=( )（ ）。 你的验证策略有哪些？你的验证

11、策略有哪些？左边左边=4n=4n2 2+4n+1-1= 4n+4n+1-1= 4n2 2+4n+4n；右边右边= 4n= 4n2 2+4n=+4n=左边；所以等式成立。左边；所以等式成立。 解完这道题你有什么感悟？解完这道题你有什么感悟？ 数学，很有趣，很好玩！数学，很有趣，很好玩！2n+12n2n+2例例2 2下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：房子： 观察图形的变化规律，则第观察图形的变化规律，则第n n个小房子用个小房子用的石子块数为的石子块数为 个个nnnnn4) 1(32如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形：（1）拼一个金鱼需要 根火柴；（2）拼

12、三个金鱼需要 根火柴；（3）拼n个金鱼需要 根火柴。8=6+28=6+220=36+2 6n+2四、形成测试四、形成测试解法分析解法分析1 1观察、比较观察、比较各个图形间的关联各个图形间的关联；2 2分离出分离出基本图形；基本图形；3 3每一个每一个基本图形与火柴棒数量的关系；基本图形与火柴棒数量的关系；4 4基本图形的数量基本图形的数量与序号的关系与序号的关系。体现数学中的体现数学中的基本图形思想基本图形思想五、自觉回归五、自觉回归2 2知识结构分析知识结构分析探求数列的规律探求数列的规律探求图形的规律探求图形的规律探求等式的规律探求等式的规律1 1概念回顾概念回顾 找出找出一个代数式来表示某事物（或事件）的演变一个代数式来表示某事物（或事件）的演变准则准则的过程的过程叫做找规律。叫做找规律。问题：问题：将一些半径相同的小圆按如图所示的将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第一个图形有规律摆放：第一个图形有6 6个小圆，第个小圆，第2 2个图个图形有形有1010个小圆，第个小圆，第3 3个图形有个