傅立叶(Fourier)级数的展开方法课件

1、1 1、傅立叶（、傅立叶（FourierFourier）级数的展开方法；）级数的展开方法；2 2、傅立叶（、傅立叶（FourierFourier）积分的展开条件与展开方法；）积分的展开条件与展开方法；3 3、傅立叶谱的物理意义。、傅立叶谱的物理意义。重点傅里叶生平傅里叶生平1768年生于法国年生于法国1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数的级数表示数的级数表示”1822年发表年发表“热的分热的分析理论析理论”，首次提出，首次提出“任何非周期信号都任何非周期信号都可用正弦函数的积分可用正弦函数的积分表示表示”5.1 5.1 傅里叶（傅里叶（FourierFour

2、ier）级数）级数一一 . .周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开 在工程计算中在工程计算中, , 无论是电学、力学、光学无论是电学、力学、光学, , 经常要和随经常要和随时间而变的周期函数时间而变的周期函数f fT T( (t t) )打交道打交道. . 例如例如: :最常用的一种周期函数是三角函数最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(t+)其中其中=2/T具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。的函数称为周期函数。 t 工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近的线性组合来逼近. .方波4

3、 4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100100个正弦波的逼近个正弦波的逼近数学表示为数学表示为 nkkkktAxf1)sin()( nkkkkktbta1 sincos则函数则函数f(x)可在可在 -l,l 展为傅里叶级数展为傅里叶级数1 1、 傅里叶级数傅里叶级数 1kkk0lxkblxkaaxf)sincos()(若函数若函数f( (x) )以以2 2l为周期，即为周期，即f( (x+2l) )= =f( (x) )，并在区间并在区间-l,l 上上满足狄里希利满足狄里希利(Dirichlet)(Dirichlet)条件条件, , 即在区间即在区间-l,l 上上1) 1) 连续或只有有限个第一

4、类间断点；连续或只有有限个第一类间断点； 2) 2) 只有有限个极值点只有有限个极值点. .（简称狄氏条件）（简称狄氏条件）ll 22 说明说明1、三角函数族是两两正交的、三角函数族是两两正交的)(dcoscosdsin),(dcosnkxlxnlxkxlxkkxlxkllllll 0000 llllxlxnlxknkxlxnlxk00dcossin),(dsinsin dxlxkdxlxkldxllllll22221cossin,.sin,.2sin,sin,.cos,.2cos,cos, 1lxklxlxlxklxlx 2 2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；、可以由函数的正交性

5、求出傅立叶级数中的系数； xxlllfad10 ).,(sin),(cos 321d1321d122nxxnxlnxxnxlllnTTnfbfa 称为傅里叶系数称为傅里叶系数3 3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解为基进行分解基矢量基矢量 4 4、第一类间断点和第二类间断点的区别、第一类间断点和第二类间断点的区别: :函数的间断点分为两类函数的间断点分为两类第一类间断点：第一类间断点：x0是函数的间断点，且是函数的间断点，且00 xxxxxfxf )(lim)(lim左极限左极限右极限右极限存在存在第一类间断点第一类间断点第

6、二类间断点第二类间断点第二类间断点：不是第一类的间断点。第二类间断点：不是第一类的间断点。而在工程上所应用的函数而在工程上所应用的函数, , 尤其是物理量的变化函数尤其是物理量的变化函数, , 全部满足狄氏条件全部满足狄氏条件. .5、傅立叶展开的意义：、傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例例1 1 设设f（x）函数是周期为）函数是周期为22周期函数，它在周期函数，它在， 表达式表达式 )()()( xxxf0101将将

7、f（x）展为傅立叶级数。）展为傅立叶级数。解解 函数满足狄氏条件，它在函数满足狄氏条件，它在x=k（k=0=0，1 1，-1-1，2 2，-2)-2) 点不连续点不连续, ,收敛于收敛于0211 在连续点上收敛于在连续点上收敛于)(xfx)(xf则则 01kxdxxfakcos)( .),(.),(sin)(642053141kkkkxdxxfbkxkkxfk)sin()(1212141 二、奇函数和偶函数的傅里叶展开二、奇函数和偶函数的傅里叶展开若若f( (x) )是奇函数，则是奇函数，则ak为为0，展开式为，展开式为叫做傅里叶正弦级数，叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0 1kkk0

8、lxkblxkaaxf)sincos()( 1kklxkbxfsin)(),(dsin)(L21klkfl2bl0k 若若f( (x) )是偶函数，则是偶函数，则bk为为0 0，展开式为，展开式为 1kk0lxkaaxfcos)(), 2 , 1(d)(10Lkflalkxx叫做傅里叶余弦级数叫做傅里叶余弦级数, , ), 2 , 1(dcos)(20Lklkflalkxxx00 )()(lff例例2 2 设设 f（x）是周期为）是周期为22的周期函数，它在的周期函数，它在-， 上的表式为上的表式为f（x）= =x。将它展为傅立叶级数。将它展为傅立叶级数。解解 首先，所给函数满足狄氏条件，在首

9、先，所给函数满足狄氏条件，在处不连续，因此，处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在）的傅立叶级数在 收敛于收敛于.),()(21012 kkx 02200 )()()( ff在连续点处收敛于在连续点处收敛于f（x）。）。.),()(21012 kkx x)(xf 不计点不计点 函数是周期为函数是周期为2，且是奇函且是奇函数数。.),()(21012 kkx 则则.),()(sinsin)(3211222100 kkkxdxxkxdxxfbkk kxnxfkksin)()(1112 .),;( 3 xx1 1、定义在、定义在 -l, , l 上的函数上的函数 f( (x) )展开；展开；三、定义

10、在有限区间上的函数的傅里叶展开三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.方法方法将函数将函数 f（x）解析延拓到）解析延拓到-，区间，区间，构成的周期函数构成的周期函数g（x），其周期为），其周期为2ll lx)(xfl )(xfxll lx)(xfl )(xfxl仅在仅在 -l，l 上，上，g( (x)f( (x).).例例3 3 在（在（-1-1，1 1）上定义了函数）上定义了函数f f（x x）为：）为： ),(),(),()(1211210101xxf将函数展为傅立叶级数将函数展为傅立叶级数解

11、解函数曲线如图函数曲线如图x)(xf1 02111 0211x)(xf将函数做周期为将函数做周期为2 2的解析延的解析延拓，如图。拓，如图。将延拓后的函数做傅立叶展开将延拓后的函数做傅立叶展开4111212112121011010 )()(dxdxxdxdxxfal 21221111122221212100111 kkkxdxkxdxkdxkxdxxkxfaksin)(cos)(coscoscos)( 22111221212100111 kkkxdxkxdxkdxkxdxxkxfbkcossin)(sinsinsin)( 所以所以 xkkxkkkkxfkk sin)cos(cossin)()(

12、2211221141122 ),(11 2 2、定义在、定义在 0, 0, l 上的函数上的函数 f( (x) )展开；展开；方法方法将函数将函数 f（x）解析延拓到）解析延拓到-l，l区间，再将区间，再将-l，l区间的函数再延拓到区间的函数再延拓到区间上，构成周期函区间上，构成周期函数数g（x），其周期为），其周期为2l例例4 4 定义在（定义在（0 0，l l）上的函数）上的函数f（x）= =a（1-1-x/ /l），将），将 该函数展开为傅立叶级数。该函数展开为傅立叶级数。解解函数曲线如图函数曲线如图x)(xfal延拓到（延拓到（- l- l，l l）后再周期延拓，如图做偶延拓：）后再周

13、期延拓，如图做偶延拓：所以所以21100adxlxalal )( )()()(cos)(121242012220nknankdxlxklxalalk 0)(xfall x),(,sin)(llxkkaxfk020 如图做奇延拓：如图做奇延拓：0)(xfall x kadxlxklxalblk2120 sin)( 延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在在(0,(0,l) )上均代表上均代表f( (x) )，且函数值相等。，且函数值相等。有时，对函数有时，对函数f( (x) )边界的限制就决定了延拓的方式。如要边界的限制就决定了延拓的方式

14、。如要求求 f(0)=(0)=f( (l)=0 )=0 ，则应延拓成奇周期函数，则应延拓成奇周期函数，如要求如要求 ，则应延拓成偶的周期函数。，则应延拓成偶的周期函数。)()(lff 0四四 复数形式的傅立叶级数复数形式的傅立叶级数而利用三角函数的指数形式可将级数表示为而利用三角函数的指数形式可将级数表示为: : 有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。 10kkklxklxkaxfba sincos 1022klxkilxkiklxkilxkikiaxfeebeea

15、 1022nlxkikklxkikkebaebaiia ecececclxkikknlxkiklxkik 10设设-k=k ,xxlllfcd210 llkkkxlxkxlifbacd212 cos sin llxlxkxifd xlxkilxkxlllfd21 sincos ),( 321d21kxxleflxkill 所以，复数形式的傅立叶级数是以所以，复数形式的傅立叶级数是以 为基展开的级数。为基展开的级数。 lxkie lxkikkecxf )( lllxkikdxexflc )(21例例5 5 把锯齿波把锯齿波f（x）在（）在（0 0，T）这个周期上可表示）这个周期上可表示 为为f（

16、x）= =Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶，试把它展为复数形式的傅立叶 级数。级数。解解函数曲线如图函数曲线如图x)(xfT周期为周期为22TlTl ,dxxeTHTdxexflcTxkiTllTxkik 202121 )( )(,)(,0202kkiHkH txkikekiHHxf 2122 )(五、五、 周期函数的频谱周期函数的频谱 10nnnlxnlxnaxbaf sincos)(xf周期函数周期函数l 1基频基频lnn 谐频谐频lnn n n次谐波的频率次谐波的频率波函数波函数)sin(sincos lxnAlxnblxnannn,baAnnn22 振幅振幅在实数形式中在实数形式中

17、在复数形式中在复数形式中lnn n n次谐波的频率次谐波的频率 0 deFxflxni)()(lxninlxninecec 波函数波函数振幅振幅222122baibaibaccnn nncA2 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛. .所谓频谱所谓频谱图，通常是指频率和振幅的关系图。图，通常是指频率和振幅的关系图。)(xf的振幅频谱（简称

18、为频谱）的振幅频谱（简称为频谱）. .它描述了各次谐波它描述了各次谐波nA称为称为举例举例矩形脉冲函数矩形脉冲函数022( )22022TtftEtTTt T22T22E0( )sinjn tTnnEEnfteTnT0022EAcT0cnc22sinnnEnAcnT2nnnT频谱图频谱图 22sinnnEnAcnT2nnnT频谱图频谱图 AO2E2232253274295(4 )T它清楚地表明了一个非正旋它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重量及各分量所占的比重（如振幅的大小）（如振幅的大小）5.2 5.2 傅立叶积分与傅立叶变换傅立叶积分

19、与傅立叶变换一、复数形式的傅立叶积分一、复数形式的傅立叶积分 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f( (x) )都可以看成是由某个周都可以看成是由某个周期函数期函数g g( (x) )当当2 2l时转化而来的。时转化而来的。1 1、问题、问题函数函数f（x）定义在）定义在-上，无周期，研究函上，无周期，研究函数的性质，怎么办？数的性质，怎么办？2 2、方法、方法O xfl lOl l)(xfl2 .limlim)(limeefxikllilklxnnlllnndlecxfxf x x x xx x 212作周期为作周期为2 2l的函数的函数f (x), 使其在使其在-l,l 之内等于之内

20、等于f2l( (x) ), , 在在-l,l 之外按周期之外按周期2 2l 延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上, , 则则l越大越大, , g( (x) )与与f( (x) )相等的范围也越大相等的范围也越大, , 这就说明当这就说明当2 2l时时, , 周期函数周期函数g g( (x) )便可转化为便可转化为f( (x) ), , 即有即有lnnn lnnn 布在整个数轴上，布在整个数轴上，所对应的点便均匀地分所对应的点便均匀地分取一切整数时，取一切整数时，当当nn 1 2 3 n oT 2 T 2 T 2 T 2 0nl .limeefxinlliTlnndlxf 21 nxinlliTee

21、fnnndxf 210limlnnn 1nnnfxfn )(lim)( 0 xillilnnnedeff )()( 221nnnfxfn )(lim)( 0 dfxf)()(xilliedeff )()( 21 dedefxfxilli)()( 21 deFxfxi )()( dxexfFxi )()(21 deFxfxi )()(21改为对称形式改为对称形式 dxexfFxi )()(21复数形式的傅立叶积分复数形式的傅立叶积分复数形式的傅立叶变换复数形式的傅立叶变换3. 结论结论 上上满满足足下下列列条条件件：，在在若若 tf 狄狄式式条条件件；在在任任一一有有限限区区间间上上满满足足tf

22、. 1 ).d. 2收收敛敛上上绝绝对对可可积积（，在在无无限限区区间间ttftf d21 xiiedfxfe 的的连连续续点点有有：则则在在)(tf的的间间断断点点有有：在在)(tf d21200 xiiedxfxfxfe -Fourier-Fourier积分定理积分定理 deFxfxi )()( dxexfFxi )()(214 4、频谱、频谱注意：这是一个连续频谱，因为注意：这是一个连续频谱，因为 是连续变化的。是连续变化的。( )()FF dxxfFexi 称为函数称为函数 f（x）的频谱函数。）的频谱函数。 dxxfFexi 称为函数称为函数 f（x）的振幅频谱函数。）的振幅频谱函数

23、。记为记为 称作称作f( (t t) )的的象函数象函数, ,f(x x) )称作称作 的的原函数原函数. .象函数象函数F F( (w w) )和象原函数和象原函数f( (t t) )构成了一个傅氏变换对构成了一个傅氏变换对. .)()(xfFF )()( FFxf1 )( F)( F例例1：作图中所示的单个矩形脉冲作图中所示的单个矩形脉冲 的频谱图的频谱图 其其它它 , 022 ,)( tEtfE)(tf22t解：解： dtetfFti )()( 22dtEeti 2sin2 E .sin)(可作出频作出22 EF .,2sin2)(可作出频谱图EFEO)(F246).0(这一半这一半其中

24、只画出其中只画出 tf(t), ,) )( (. ., , ,e e, ,) )( (一个函数一个函数是工程技术中常碰到的是工程技术中常碰到的衰减函数衰减函数叫做指数叫做指数这个这个其中其中其积分表达式其积分表达式的傅氏变换及的傅氏变换及求函数求函数例例t tft tt ttft t0 00 00 00 02 2 = =- -bbA AA At tf解解如果令如果令b b=1/2, =1/2, 就有就有2222e2eAAt可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数422eeAAt因此有因此有钟形脉冲函数的积分表达式：钟形脉冲函数的积分表达式： 0441222121 d

25、cosed)sin(cosede)()()(tAtitAFFtftiF因此因此2204tetfAt )(dcose二、实数形式的傅立叶积分二、实数形式的傅立叶积分 xdldxxfllxkblxkaaxfxfkkllkllllkkklllf x x x x coscoslim)(limsincoslim)(lim 1102121xdxflkkklll sinsin)(lim 11021 llldxxfl)(lim1 1、积分和变换形式、积分和变换形式 kkkllkllxdxfxffk x x x x coscoslim)(lim 121kkkkxdfk x x sinsin)(lim 110 ,

26、l xdBxdAxfsin)(cos)( 0 dfAcos)()( 1 dfBsin)()( 1实数形式的实数形式的傅立叶积分傅立叶积分实数形式的实数形式的傅立叶变换傅立叶变换例例4 4 把单个锯齿脉冲把单个锯齿脉冲f( (x) )展为傅立叶积分展为傅立叶积分 ）tTTtkttxf()()()(0000解解f（x）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。sincoscoscos)()(11120 TTTkdttkttdttfAT cossinsinsin)()(TTTkdttkttdttfBT 2011tTTktdtTTTktf sincossincoss

27、incos)( 02021112、讨论：、讨论：的傅立叶正弦变换。的傅立叶正弦变换。称为称为其中其中称为傅立叶正弦积分称为傅立叶正弦积分分为分为为奇函数，则傅立叶积为奇函数，则傅立叶积若若) )( () )( (xfxf1 1）dsin)()(fB 02x xxxx x sin)()(xdBxf 0 其中其中称为傅立叶余弦积分称为傅立叶余弦积分的傅立叶余弦变换。的傅立叶余弦变换。称为称为)( xf分为分为为偶函数，则傅立叶积为偶函数，则傅立叶积若若)(2 2）xfdcos)(2)(0fAxxxcos)()(0 xdAxf例例5 矩形函数为矩形函数为)/()(,|)(Tthrecttfxxxre

28、ct2210211 dcos)()(tAtf 0f(t)TtToh将矩形脉冲将矩形脉冲解：解：f（x）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分展为傅立叶积分展为傅立叶积分. x xxx x xxxx x x xxxx x ThhThrectfATsindcosdcos)/(dcos)()(22222000 oA()2hT/T2/T3/T4/T频谱图是连续谱，含有一切频率。频谱图是连续谱，含有一切频率。傅立叶变换为傅立叶变换为 tdThtfcossin)( 02傅立叶积分为傅立叶积分为例例6 6 d221tiej 解解: : d1ititsincos 0dsin2 t0,1

29、0,00,1ttttsgn求其傅立叶逆变换求其傅立叶逆变换。已知象函数已知象函数,)( jF2 f(t)=F -1 F()0dsin2t狄利克雷积分2dsin0 xxx 002dsindsin tttt 00dsindsintttt 2dsin0 uuutu0dsin0t时时当当0 0 t t时时当当0 0 t t时时当当0 0= =t t三、傅立叶变换的基本性质三、傅立叶变换的基本性质 dFtfetif(t)的傅氏变换的傅氏变换F()的傅氏逆变换的傅氏逆变换)()()()()()(2211tfFFtfFFtfFF , dttfFeti 11、线形性质线形性质)()()()(2121 FFtf

30、tfF )()()()(tftfFFF21211 根据定义自证根据定义自证)()(de)(21e)(21de)(21)(FixfixxfixfxxfxfxixixiFF0证明证明1 1： 由傅氏变换的定义由傅氏变换的定义, , 并利用分步积分可得并利用分步积分可得)()() FixfF 12 2、导数定理、导数定理如如f（x）在）在-，上连续或有限个间断点，且当上连续或有限个间断点，且当 时，时，f（x） 则则 t)()(xixfFF dd)()( FixxfF 2） , dxxfFeti ： dxxfFexi dddd dxxfexi dd dxxfixexi )()(xixfF 证明证明2

31、 2).(d)(xfixxfxFF 1 xxxxxfidxxfFxfxfxxfx0d)()()(),(d)(ddFF 3. 3. 积分定理积分定理证明证明则则时时如果当如果当, ,) )( (, ,= =+ xg gx xxf0)(导数定理导数定理)(|)(01 aaFaaxf F xaxfaxfxide)()( 21F证明：证明：4 4、 相似性定理相似性定理)aaxde)x(fayde)y(fa)ax(fa/xia/yi F(F12121 令令 则则axy 5. 5. 延迟定理延迟定理)()(xfexxfxiFF00 )(ede)(ede)()(de)()()(xfuufuufuxxxxx

32、fxxfxiuitixuixiFF000212121000 令证明：证明： 由傅氏变换的定义由傅氏变换的定义, , 可知可知6. 6. 位移定理位移定理)()(00 FxfexiF)(de)(de)(e)(e)(00002121 FxxfxxfxfxixixixiF证明：证明：若若F F1 1()=F()=Ff f1 1( (x), ), F F2 2( ()=F)=Ff f2 2( (x), ), 则则的卷积和为其中)()()()()(*)()()()(*)(xfxfdxffxfxfFFxfxf2121212121212F x xx xx x 证明证明: : 按傅氏变换的定义按傅氏变换的定义

33、, , 有有)()(de)(e)(dde)(e)(de)()()()()()( x xx xx x x xx xx x x xx xx x x x x xx x x x 21212121212212121FFdxxffxxffxdxffxfxfxiixiixi F7.卷积定理卷积定理8 . 8 . 能量积分能量积分 dFdttf22)(21)( 2)()( FS 称为能量密度函数称为能量密度函数( (或称能量谱密度或称能量谱密度).).)()( SS则有则有若若),),( ( ) )( (xfF FF F= =)()(xfFF i 1)(xxfF)( Fi 221)()( iiii 例例1 1

34、 )( ,000 0 xxxfex设函数设函数)(xxfF求求解解 iiiiiF 11)(分析分析：)(x )(xf的傅氏逆变换。的傅氏逆变换。：求求例例02 2,)(iiF的傅氏逆变换。的傅氏逆变换。：求求例例03 3,)(iiF)()( iiFFFtf 11 iiF 1)()(1 1 11xftiFF 解解例例4 4 求求dxxx 22sin解：根据能量积分性质解：根据能量积分性质,sin)(xxxf 设设 其它则 , 0; 1 ,)()( xfFF 11222221d)(21dsin dxFxxx 其它, 01,21)(,sin)(xxfF 11222412)(2sin dxdxxfd运

35、用傅氏变换的微分性质以及积分性质运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, , 可以把线性常可以把线性常系数微分方程转化为代数方程系数微分方程转化为代数方程, , 通过解代数方程与求傅通过解代数方程与求傅氏逆变换氏逆变换, , 就可以得到此微分方程的解就可以得到此微分方程的解. . 另外另外, , 傅氏变傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一换还是求解数学物理方程的方法之一. .例例5. 求微分积分方程求微分积分方程)(d)()()(thttxctbxtxat 的解的解, , 其中其中 t t+ , , a, ,b b, ,c c均为常数均为常数. .根据傅氏变换的微分性质和积分性质根据傅氏变换的微

36、分性质和积分性质, , 且记且记FFx( (t t)=)=X(), F(), Fh( (t t)=)=H().().在方程两边取傅氏变换在方程两边取傅氏变换, , 可得可得 caibHXHXicbXXai)()()()()()(x(t) = F -1 X() , deXtxxi )()(在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 常常会碰到单位脉冲函数常常会碰到单位脉冲函数. . 因为有许因为有许多物理现象具有脉冲性质多物理现象具有脉冲性质, , 如在电学中如在电学中, , 要研究线性电路受要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; ; 在力学中在力学中, , 要研究要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等机械系统受冲击力作用后的运动情况等. . 研究此类问题就会研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数产生我们要介绍的单位脉冲函数. .5.3 5.3 函数函数一、一、函数引入的必要性函数引入的必要性在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路