a2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(武汉赛区)决赛试卷(小高组)

1、2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武汉赛区）决赛试卷（小高组）一、填空题1.计算：2017九-2019 丄+ 1-20 19120162017其中只有2人的话是正确的，那么 n的取值为 .二、解答下列各题9.一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位 数也都是完全平方数那么这个四位数是多少？10.盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？11熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18,那么阴影部第5页（共12页）12. 一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按

2、键，依次按下其中四个按键后 （按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态.已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次?、解答下列各题13. （15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4: 3: 2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36,求这个长方体的表面积.西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE 均为公路，B、C 分别在 AD、AE 上，DC、BE 交于 P 点， PBC、 PBD、 PCE的面积分别为 73000平方米、16

3、3000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同.一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到 E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在 DE路 段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（武 汉赛区）决赛试卷（小高组）参考答案与试题解析一、填空题1.计算：2017- 2019+=1.20172016 2017【分析】先把带分数化成假分数，然后把分子变形进行简算即可.【解答】解: 2017 '&

4、#39; -2019_!+!20172016 20172017:2+2016 |2ffl &X 2019+1+ 1201720162017(2016+1)x(2013-1)+2012016 X(2012+D+l+ 1 |20172016112017201 &X 2018+142016：| 1 | +120172016I2017_20L 6+ 12017 2017=1故答案为：1.15 个.2.如图，圆周上有12个点，将圆周12等分.以这些等分点为四个顶点的矩形共有【分析】12个等分点是6条直径的端点，以这些等分点为顶点的矩形，一定以其中两条直径为对 角线，所以共有Cg= 15个

5、矩形，据此解答即可.【解答】解：12个等分点是6条直径的端点，厂22X1共有:15（个）答：以这些等分点为四个顶点的矩形共有15 个.故答案为：15.【分析】 可以利用九边形的内角和，以及三角形的内角和，作辅助线，连接正九边形的中心，则01= OD = 0G,从而可以求得/ DIG的度数.【解答】解：根据分析，如图，0为正九边形中心，则 0I = 0D = 0G,/ DIG =Z DI0 + / 0IG4.在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17, 20, 34 ,40, 51, 60，那么这列数中排在第 289位的数是 2737.【分析】先根据17和20的公倍数

6、，算出数列的周期，再算出每个周期有多少个数，即可求出第289位数是多少【解答】解：根据分析，17和20的倍数交替出现，17和20的最小公倍数为340,易知，1340为一个周期，每个周期中列出了17+20 - 1个数，289 = 36X 8+1 数列中第 289 个数是：340 X 8+17 = 2737故答案为：273724%,5.甲农场有鸡、鸭共 625只，乙农场有鸡、鸭共 748只.其中乙农场的鸡比甲农场多甲农场的鸭比乙农场少 15%，那么乙农场有鸡248 只.【分析】 根据“乙农场的鸡比甲农场多24%，”可得：甲农场的鸡是乙农场的鸡的(1+24% )=二；根据“甲农场的鸭比乙农场少15%

7、 ”可得：甲农场的鸭是乙农场的鸭的 1 - 15% =31假设甲农场的鸡鸭都是乙农场的鸡鸭的2017，则多算了（748 X】720201725625），对应着分率也多了鸡的（丄-）,由此用除法解答即可求出乙农场的鸡的只数.20【解答】 解：1-( 1+24% )= 31311 - 15% =1720(748X-625)-17202531=10.8-27620=248 (只)答：乙农场有鸡 248 只.故答案为：248.6.已知自然数n有10个约数,【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有 30 个约数.2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2,

8、3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有 3,则3n的约数应该是（1+1 ）X 10= 20 个，则n的分解式中含有一个 3, 6n分成2 X 3X n,再根据约数和定理， 可以求得约数的 个数.【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又理上占， n的质因数分解式中含有 0个2;10 0+1设n = 3amx，又 '，.n的质因数分解式中含有一个3，10 1+1根据约数和定理，得 n的约数和为：（a+1） （x+1） = 10，解得：a = 1， x= 4，此时 n= 3 X m4;424故 6n= 2X 3X n= 2X 3X 3X m = 2X 3

9、X m，其约数和为：（1+1）X（ 2+1） （4+1 ）= 2 X 3X 5= 30，第6页（共12页）故答案是：30.7甲乙两人进行10公里赛跑，甲跑完全程用了50分钟，此时乙离终点还差 500米.为了给乙一次机会，两人约定，第二次赛跑时甲退后500米起跑.假设两次跑步两人速度都不变，则第二次跑步第一个人到达终点时，另一人离终点还差25米.【分析】首先找到不变量是时间，两人两次赛跑的时间是相同的，路程是成比例关系.【解答】解：依题意可知：当甲跑全程10公里时即10000米，乙跑全程的 10000 - 500= 9500米，两人跑的时间相 同，路程成比例关系.即 10000: 9500=20

10、: 19=（ 10000+500）: 9975.当甲跑完10500米时，乙跑9975米.还差 10000 - 9975 = 25 （米）故答案为：25&对于两位数 n, A、B、C、D四人有以下的对话：A: “n能被24整除.”B: “n能被33整除.”C: “n能被62整除.”D ： “ n的各位数字之和为 15.”其中只有2人的话是正确的，那么n的取值为96 .【分析】四个人只有两个人的话是正确的，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数，与的D的话矛盾，从四个人的话中找到共同点和不同的，以及矛盾的点，即可判断谁的话 是正确的.【解答】解：根据分析，B、C的话都要求n的数字和是9的倍数

11、，而C要求n的数字之和为15,若D正确，则B、C错误，所以 A正确，n = 24x 3= 96 若D错误，则24和 33、62和33、24和62的最小公倍数均大于 100,矛盾 综上所述，n的取值为96故答案为：96.二、解答下列各题9.一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数.那么这个四位数是多少？【分析】可以先假设这个四位数为，分两半，前两位和后两位，再根据完全平方数第7页（共12页）的性质，可以在两位数里缩小范围，最后分别确定这两个两位数.【解答】解：根据分析，设这个四位数为n2, 前两位，I，是完全平方数，故，16,二n >

12、41，又 I,胡均为完全平方数，.后两位丨2n - 1> 2X 41 - 1 = 81,= 81, = 16,此四位数为1681，故答案是：1681.10.盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？【分析】可以将将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，然后构造图，最后求得不同的拿法.【解答】解：根据分析，如图将白棋看作列，黑棋看作行，则每次拿走若干棋子后，转化为左、下某一个点的情况，所以构造如图：S267S测1331每个格点上标的数等于这点左、下所有格点各数之和,所以4枚白棋2枚黑棋共有208种

13、不同拿法.故答案是：208.11熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18,那么阴影部【分析】按题意，将图等积变形，将阴影部分的面积转化为求其它三角形的面积，最后 转化为 S 阴影=4Ssbo=打= 182= 324 .【解答】解：根据分析，如图，第11页（共12页）£S 阴影=2SaABO+2SaCOD，显然 SaCOE= SaCOD = SBOA,故:S 阴影=4SaaBO =2SAAEF=2SAAEB 二AD=182=324故答案是：324.12. 个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后 （按键按下便不可再按），若与正确按法

14、一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态.已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？【分析】从九个按键中依此按 4个，有9X 8X 7= 3024 （种），其中前两次相对的有 8X 1 X 7 X 6= 336 （种），中间两次相对且第一步不是太极的有 8X 6X 1 X 6 = 288 （种），末两 次相对，前两部不相对且部署太极的有 8X 6X 4X 1 = 192 （种），最后求和.【解答】解：根据分析，从九个按键中依此按4个，有9X 8 X 7 = 3024 （种）；其中前两次相对的有 8X 1

15、X 7X 6= 336 （种）；中间两次相对且第一步不是太极的有8 X 6 X 1X 6= 288 （种）;末两次相对，前两步不相对且不是太极的有8X 6X 4 X 1 = 192 （种）；所以所有可以按的方法有：3024 - 336 - 288 - 192= 2208 （种）.即至多需要试2208次.故答案是：2208.三、解答下列各题13. （15分）已知一个长方体的长、宽、高的比为4: 3: 2，用平面切割，切割面为六边形（如图所示），已知所有这样的六边形的周长最小为36,求这个长方体的表面积.4: 3: 2,而六边形周长最小，则六边形的六条边在展开图上应构成一条线段，此时可以求出长方体

16、的长、宽、高，表面积也即可求得.【解答】解：根据分析，长方体展开图如下图：（AB与CE是同一条棱，P与Q是同一点）所以周长最小时，六边形的六条边在展开图上应构成一条线段,所以长方体表面积为：2 X（长X宽2 X( 2 X 3+3 X 4+4 X 2)X362+3+42-2 = 416,故答案是：416.14. （15分）如图，A、B、C分别是某学校的北门、西门和东门，从测量地图上看，线段AD、AE、DE 均为公路，B、C 分别在 AD、AE 上，DC、BE 交于 P 点， PBC、 PBD、 PCE的面积分别为 73000平方米、163000平方米和694000平方米，小叶和小峰步行速度相同.

17、一日，他们放学后同时从北门出发，小叶先跑后走，小峰一直步行，当小叶用3分钟跑到西门时，小峰恰好步行到东门，小叶继续用8分钟跑到D处，然后沿DE步行与从东门到 E再往D走的小峰会合，第二天按相同出行方式，如果小峰想在 DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前多少分钟出发？ff【分析】 首先分析各个线段之间的比例关系，找到两段距离的路程之间的关系，做差即可.【解答】解：依题意可知：坐=呈 CE_ Sabc e 建 pT300Q+69400Q 乂呂=26 ；BD CA SABAC SABCD 'AB T3000+16300033 '所以小峰走CE需要26分钟，如果小峰想在 DE路段的中点处和小叶会和，此时需要小叶提前26 - 8 18 （分）.答：如果小峰想在 DE路段的中点处于小叶会合，需要比小叶提前18分钟.第12页（共12页）4. 在黑板上按照从小到大的顺序写出所有能被17或20整除的非零自然数；17, 20, 34 ,40, 51, 60，那么这列数中排在第 289位的数是 .5. 甲农场有鸡、鸭共 625只，乙农场