多元函数微分学及其应用归纳总结

1、第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念2、多元函数的极限lim f(x,y) A (或 lim f(x,y) A)的 定义(x.y) (xo.yo)p P)掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1)令P(x, y)沿y kx趋向P(%,y0),若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，若 lim f(x, y)存在，但两者不相等，(x,y) (x0,yo)此时也可断言极限不存在。多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商, 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似:例 1

2、 .用定义证明lim (x xy 220例4 (07年期末考试 一、2, 3分)设f(x, y) x2 y4 " y ,讨论 y2)sin -1-2 0(x,y) (0,0)x2 y222例2 (03年期末考试三、1, 5分)当x 0,y0时，函数。一x一纭2x2 y2 (x2 y)2的极限是否存在？证明你的结论。xy 22例 3 设 f (x, y)2, x y 0 ，人 一，x y,讨论 lim f(x, y)是否存在?(x,y) (0,0)220,x2y2 0例5.求(X帆“so3、多元函数的连续性lim f (x, y)f(Xo,y°)(X，y) (X0，y0 )一

3、切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1.讨论函数f (x, y)33,X2 y2 0 .一x2 y2在(0, 0)处的连续性0,x2 y2 0例2.(06年期末考试H 4分)试证f (x, y)xy 2224，x y 0x y220,x y 0点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例 3.求 limx(x,y) (1,2) xy例4.(Ji%),xy 1 1xy4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数z f(x, y)关于x, y的一阶偏导数的定义(二元

4、以上类似定义)如果极限lim x,y0) f(x0,y0)存在,则有 x 0xzfx x x0x x x0y y。y y。一 、. f(% x, y°) f(x0,y°) zx x x0fx(x0, y0)lim(相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。y y°x 0x如果极限iym0f(x0,y0 yy f(x0,y0)存在，则有x x0yy y0zX x0 y yy x x0y y0fy(x0, y0)lim0f(%,y。y) f(xo,y°)12对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1 (08年期末考试 一、3, 4分)已知f

5、(x,y)(x22 xy2)xy2y2,x0,y2 0y2 0则 fx(0, y)例2 (06年期末考试 十一，4分)试证f(x,y)2xy 224 , xx y0,在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例 3 设 f (x, y)(x2 y2、)sin0,1222 , xx y2 x0 +，求 fx(x, y), fy(x,y)0例 4 设 z xy ,求 zx,zy例5 (03年期末考试,3分)x u .x (y 1)arcsin,则一在(1,2)的值为()2、二元函数zf(x,y)关于x, y的高阶偏导数(二元以上类似定义)z_z 2fxx(x, y)_ _zzxxy xx y22zz

6、fyy(x,y)_ _zz2yyx yy x22fxy(x,y)xfyx(x, y)y2 zoy x例1 .设uJ(x a)2 (y b)2 (z c)2 ,其中 a,b,c为常数,求:2u2 x2u°z例2.设z(x2,y22 arctg 一zy2)e x ,求一zox y3、z f (x, y)在点P(x, y)偏导数存在X zf(x, y)在点 P(x,y)连续(07 年,04年，02年等)222定理：若两个混合二阶偏导数二,二在区域D内连续，则有"x y y xx y4、偏导数的几何意义：fx(xo,yo)表示曲线f (x,y)在点 P(xo, yo,zo)处的 y

7、o切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、z f(x, y)在点P(xo, yo)可微分的判定方法若(x,lym(o。z fx(xo,yo) x fy(xo,yo) yo,则可判定 z f(x,y)在点P(xo,yo)可微分。其中z f(xox, yoy)f(x,y)(。8 年期末考试6 分)证明函数f (x, y)在(0,(x2o,2、,y )sin12x2 y2,xo在(。，。)处可微，但偏导数fx(x, y)oo)处不连续xy 22， ,x y 0例2 (07年期末考试 七、6分)f(x,y)Jx2 y2，证明：(1)0,x2 y2 0函数在(0, 0)处偏导数存在；(2)函数在(0, 0)

8、处不可微。2、全微分的计算方法fx(x°, y°)dx fy(x°, y°)dy若z f (x,y)在P(x0,y。)可微,则有dz其中fx(x0,y。)，fy(x0,y。)的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1 (08年期末考试，一，1, 4分) 设z x4y3 2x,则dz,12 (1,2)例 2 (07, 04 年期末考试，二，1, 3分)设 z arctan-(x 0),求dz。 x2例3 (06年期末考试，二、2, 3分)设u xy ,则du 例4 (03年期末考试，二、2, 3分)函数u ln(x y2 z2)在点(1,0,1)处的全微分

9、为例5.设zuy arcsin w , uxe , w求函数：对变量x,y的全微分dz3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系(07年，04年，02年等)一阶偏导数fx, fy在P(Xo, y°)连续 z f (x, y)在P(x°, y°)可微z f(x, y)在 P(Xo, yo)连续z f (x, y)在 P(x°, y°)有极限z f(x, y)在P(xo, yo)可微在P(xo, yo)的一阶偏导数fx, fy存在z f(x, y)在P(xo,yo)可微 在P(xo,yo)的方向导数fx, fy存在四、多元复合函数求导法则1、链式

10、求导法则:变量树状图法则(1)z f (u,v),u(t),v(t)dzdtz duu dtz dvv dt z f (u,v),u(3) z f (u,x, y), u xdz dtz duu dt(x, y), v(x,y)(x, y)z dv z ddt例1.(08年期末考试,七，7分)设z/ x、f (x, ) y具有连续二阶偏导数,2 z z 求,。x x y例2.(08年期末考试，十分)设z z(x, y)是由方程z (x y z)所确定的函数，其中(x)可导，求dz。例3.(07年期末考试，八，7分)设z xf(xy,y), f具有连续二阶偏导x2数，求,0 y y x例4.(0

11、6年期末考试，一、1, 3分)设z xyfd), f(u)可导，则xzzx y()。xy例5.(04年期末考试，三、1, 8分)设G(u,v)可微，方程G(u,v) 0,其中ux 一阶全微分形式不变性:yz, v y2 xz确定了 z是x, y的二元可微隐函数，试证明(2y24xy.。、z 2、 z 2xz)(2x yz) z xy例6.(03年期末考试，三、2, 5分)设(u,v)具有连续偏导数，证明方程(x yz, y xz) 0 所 确 定 的z f(x, y)(y xz) (xxyz) y1 z2.。f(x2t2) xf具有连续二阶偏导数，求2 u-2 , xx2 ln y ,而 xy

12、 3uaxe (y z)由22 ，而 ya bz bcosx，贝U "。dx例 10.设 zf (x2 y2, exy)又f具有连续的二阶偏导数,z z求,x y2 zox y设z f (u,v),则不管u,v是自变量还是中间变量，都有dz fudufvdv都可微,求四。dx（x,y）,相当于把F看方法2:直接对方程两边同时关于x求偏导（记住y f(x)：Fxd2y dx2dy0出FxdxdxFy(FxxdyFxy )FyFx(FFyyx F (Fy)2立) yy . )dx2. F(x,y,z) 0 zf（x，y）,求十,方法1 （直接代公式）：xFxnFz方法2:直接对方程两边同

13、时关于(y)求偏导（记住z f （x, y）：Fx Fzdz 0 dxFzdyzdyFz通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例 1.设 u F(x,y,z),z f(x,y),y(x)，其中 F,f,五、隐函数的求导法则1、F（x，y）0 y f（x）,求dx方法1 （直接代公式）：业 反，其中：Fx F dxFy成自变量x, y的函数而对x求偏导数。F(x,y,u,v)0uu(x,y)uuvv,G(x,y,u,v)0vv(x, y)xyxy建议采用直接推导法：即方程两边同

14、时关于 x求偏导，通过解关于未知数上，的二元方程组，得到 J,上。同理可求得,。 x xx xy y例1.设f(x, y, z) exyz2 ,其中z z(x, y)是由x y z xyz 0确定的隐函数，求 fx (0,1, 1)例2.设有隐函数 F" z z0 ,其中F的偏导数连续，求二，二。x y例3. (04年期末考试，三、1, 8分)设G(u,v)可微，方程G(u,v) 0,其中u x2 yz,v y2 xz确定了 z是x, y的二元可微隐函数，试证明2、 z_ 2. _ z2(2 yxz) 一(2 xyzz4xy.xy六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面

15、方程(三种形式)一一参数形式，两柱面交线, 两曲面交线x x(t) y y(t) z z(t)xxy y0j j 0x(t°)y(t°)z z0z(t0)x(t0)(x x0) y(t0)(y y0) z(t0)(z z0) 0切线向量x'(t0),y (t0),z(t。)x xy y(x)x x y y z z(x x0) y(t°)(y y0) z(t°)(z z0) 0y y( ) y y(x) z z(x)1y(t°)z(t°)z z(x)切线向量1,y(x0),z(x。)F(x,y,z) 0y y(x)G(x,y,z

16、) 0z z(x)x xy y(x)切线向量1, y'(xo),z'(xo)z z(x)y y° z 4'一 一 '一 一y (to)z(to). 一'一一 一 '一一 一.(xx°)y(to)(yy0)z(t°)(zz0)03、曲面的切平面与法线方程(两种形式)一一隐函数，显示函数Fxg(x xo) Fyg：y yo) Fzg(z zo) oF(x,y,z) o x x。y yoz z。Fx(xo, yo，zo) Fy(xo，yo，zo) Fz(xo，yo，zo)法线向量 Fx(xo, yo,zo),Fy(xo,

17、yo,zo), Fz(xo, yo,z°)z f(x,y)fx£(x xo) fyc(y yo) (z 4) o x xoy yoz zofx(xo,yo)fy(xo, yo)1法线向量fx（xo,yo）, fy（xo,yo）, 1,规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为:cos,cos,cos14例1（o8年期末考试，一、2, 4分）曲线x a costy asint在点(a,o,o)的切线方程z ct例2。8年期末考试，十、7分）在曲面z 2x2 1y2上求出切平面，使得切2平面与平面4x 2y 2z 1 o.平行。例3。7年

18、期末考试，二、5, 3分）曲面2xy 3在点（1,2,o）处的法线方程。222例4 (07年期末考试，十、8分)在第一卦限内作椭圆 与当刍1的切平 a b c面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。例5 (06年期末考试，二、3, 3分)曲面3xyz z3 a3在点(0,a,-a)处的切平面 方程。例6 (04年期末考试，三、3, 7分)在球面x2 y2 z2 9上求一点，使得过 该点的切平面与已知平面 2x y 2z 0平行。例7.在曲线x t, y 2t2, z 3t3上求点，使该点处曲线的切线平行平面 8x 7 y 4z 1 o例8设f(x, y)具有一阶连续偏

19、导数，且f： fy2 0 ,对任意实数t有 f(tx,ty) tf (x, y),试证明曲面z f(x, y)上任意一点(x0, y°, zO)处的法线与直 线上三相垂直。Xo No Zo22例9由曲线3x 2y 12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0, V3,V2)处 z 0指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式z f (x, y)在P(x, y)沿l方向的方向导数为：设P'(x x, y y)为l上一点，则f . f (P) f (P) . f (x x,y y) f(x,y)7 limo呵 设l的方向余弦为：l cos ,cos ,则fff

20、cos cos lxy可微方向导数存在，但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式z f (x, y)在P(x, y)沿什么方向的方向导数最大？沿梯度方向G ,的方向导数最大，最大值为梯度的模 x y p1G 1 ,(一)2 (一)2 ,x y例1.求函数f(x, y,z) x2z2在点Po(3,4,5)沿曲线2x2 2y2 z2 25222x y z在点Po处的切线方向的方向导数。例2.求函数f(x, y) x2y3在点(2, 1)沿方向l i j的方向导数例3.设函数z f(x,y) xey , (1)求出f在点P (2, 0)处沿P到Q (1/2, 2)方向的变化率；(2) f在P (2, 0)沿什么方向