八年级初二数学勾股定理单元测试及答案

1、-X选择题1. 如图：在ZABC中，ZB二45° , D是AB边上一点，连接CD,过A作AF丄CD交CD于G,交BC于点F.已知AC=CD, CG=3, DG=I.则下列结论正确的是() ZACD=2 Z FAB SMCD = 27 CF = 27-2 AC=AFA.B. C.D.2. 如图，在四边形ABCD中，ZB = ZC = 90，ADAB与NADC的平分线相交于BC 边上的M点，则下列结论：ZAMD = 90 ：SSADM=-ShABCDx2® AB+ CD = AD -,M到AD的距离等于BC的*：M为BC的中点；其中正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D

2、. 5个3. 如图，在BC 中，ZC = 90 ,AC = 4 cm, BC = 3Cm,点 D、E 分别在 AC、BC 上，现将ADCE沿DE翻折，使点C落在点C'处，连接AC.则AU长度的最小值()A.不存在B.等于IemC.等于2 cmD.等于2.5 Cm4. 如图，在R仏ABC中，ZBAC = 90°,以RSBC的三边为边分别向外作等边三角形ABC, B,C. ABC,若厶A9BC, ABT的面积分别是10和4,则ABC,的面积是（）C. 8D. 95. 如图，在长方形纸片ABCD中，AB =AD = 6cm.把长方形纸片沿直线AC折叠，点“落在点E处，AE交DC于点

3、F,则AF的长为（）1513B. CnIC. ICmD. Cm2225A. CHl46. 在 RtABC 中，ZC=90o , ZA=30o , BD 是ZABC 的平分线,交 AC 于点 D,若 CD=I,则AB的长是（）A. 2B. 23C. 4JD. 47. 圆柱形杯子的髙为18cm,底而周长为24cm.已知蚂蚁在外壁&处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm）,则蚂蚁从&处爬到B处的最短距禽为（A. 813B. 28C. 20D. 1228. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转，给岀 下列结论：（DBE=D

4、G：BE丄DG： DE2+BG:=2a:+2b其中正确结论有（）B. 1个C. 2个D. 3个9. 若AABC 中，AB=AC= 25> BC=4,则AABC 的而积为（）A4B. 8C. 1610. 在四边形 ABCD 中，ABCD, ZA=90% AB = It BD丄BC, BD=BC, CF 平分ZBCD 交BDV AD于E、Ft则AEDC的而积为（）C- 2- 2D 2 -1二填空题11. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股左理，创制了一副弦图"，后人称其为赵爽弦图（如图1） 图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方 形ABCD,正方形EFGH,

5、正方形MNKT的而积分别为SI, S2, S3,若S+S2+S3=10,则S2的值是弦實二圭朱及黄图1團212. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和髙分别为5 dm. 3dm和Idm, A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A点岀发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm.B13. 如图，在ZV4BC中，AC=BC= ACB = , D是BC边的中点，E是曲边上一动 点，则EC+ ED的最小值是.14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6, AD=8,矩形内一动点P使得S,.pAD=Sabcd,则点P到点久D的距离之和PA+PD的最

6、小值为15. 在ZABC中，AB=15, AC=I3»高AD=12则 MBC的周长为16. 以直角三角形的三边为边向外作正方形P, Q，K,若Sp=4, SQ=9,则SK=17. 如图，在AABC中，AB=AC, ZBAC=I20% AC的垂直平分线交BC于F,交AC于E,交BA的延长线于G,若EG=3,则BF的长是18. 如图，在ZABC 中，ZC=90o f ZABC=ASQ t D 是 BC 边上的一点，80=2,将ZACD 沿直线&£翻折，点C刚好落在A3边上的点F处.若P是直线AD上的动点，则APEB的周长的最小值是19. 如图，RtAABC中，ZBCA=

7、9Qo , AB=F Ac=2. D为斜边M上一动点（不与点A, B重合）,DELAa DFlBU垂足分别为忒尸，连接肪则处的最小值是20. 在RbABC中，ZA=90°,其中一个锐角为60。，C = 23 >点P在直线ACh （不与A，C两点重合）,当ZABP = 30°时，CP的长为.三、解答题21如图1,在"BC中，AB=AC9 ZBqC=90。，D为AC边上一动点，且不与点人点C重 合，连接3D并延长，在BD延长线上取一点F使AE=AB.连接CO（1）若 ZqFD=20。，则ZDEC=度；（2 ）若乙AED=a,试探索ZAFD与ZqEC有怎样的数量关

8、系？并证明你的猜想：（3）如图2,过点A作AF丄BE于点F, AF的延长线与FC的延长线交于点H,求证：EH如图1，D, E是等腰Rt“BC斜边BC上两动点，且ZaAF=45。，将"比绕点人逆 时针旋转90后，得到AFC,连接DF 求证：AEAafd, 当BE=3, CE=7时，求DE的长； 如图2,点D是等腰RtAABC斜边8C所在直线上的一动点，连接4D,以点A为直角 顶点作等腰Rt"DF,当8D=3, BC=9时，求DE的长.23. 如图，MBC是等边三角形，D,E为AC上两点，且AE = CDt延长BC至点F , 使CF = CD,连接BDCH2 = 2AE2.22

9、在等腰 Rt>4C 中，AB=AC. ZBAC= 90QAED(E)图3（1）如图1，当Q,E两点重合时，求证：BD = DF;（2）延长BD与EF交于点G . 如图2,求证：ZBGE = G0。； 如图3,连接BE.CG9若ZEBD = 30°. BG = 4,则MCG的而积为24. 如图，ABD为边长不变的等腰直角三角形，AB = AD. ZBAr> = 90J在MBD 外取一点E，以A为直角顶点作等腰直角AAEP,苴中P在aABD内部，ZEAP = 90。，AE = AP =近'当 E、P、D 三点共线时，BP =眉.下列结论： E、P、D共线时，点3到直线

10、AE的距离为亦： E、P、D 共线时，SxDP+Sp = l + JL SMBD = +屈 作点A关于BD的对称点C,在绕点A旋转的过程中，PC的最小值为 5+2-2 ： AAEP绕点A旋转,当点E落在上，当点P落在ADh时，取8P上一点N,使得 AN = BN,连接 ED,则 ANdED.其中正确结论的序号是 A25. 已知MBC中，ZACB=90o, AC = BC.过顶点A作射线4P（1）当射线AP在BAC外部时，如图，点D在射线AP h,连结CD、BD，已知AD = H2 - > AB = /?2 +1 * BD = 2n （ n> 1） 试证明WQ是直角三角形： 求线段C

11、D的长.（用含"的代数式表示）（2）当射线AP在ZBAC内部时，如图，过点3作BD丄AP于点D，连结CD，请 写出线段AD. BD、CD的数量关系，并说明理由.26.如图，MBC 中，ZBAC = 90o, AB=AC, P 是线段 BC 上一点,且0。 ZBAP V 45。作 点B关于直线AP的对称点D,连结BD, CD. AD.（1）补全图形.（2）设ZBAP的大小为.求ZADC的大小（用含a的代数式表示）（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.27.如图 AZkABC 和ACDE 均为等腰三角形，AC=BCz CD=CE, AoCDZ ZACB

12、=ZDCE=at 且点 A、D、E在同一直线上，连结BE.求证:AD=BE.(2) 如图 2,若 a=90°, CM丄AE 于 E.若 CM=7, BE=IOf 试求 AB 的长.(3) 如图3,若a=120o, CM丄AE于E, BN±AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b的代 数式表示).28. (知识背景)拯我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角， 两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为"勾 三、股四、弦五".像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三

13、个正整数，称为勾股 数.(应用举例)观察 3, 4, 5； 5, 12, 13； 7, 24, 25：.可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为 3 时，股 4 = (9一1),弦 5 = 1(9 + 1);2 2勾为 5 时，股 12 = -(25-1),弦 13 =丄(25 + 1)：2 2请仿照上而两组样例，用发现的规律填空：(1) 如果勾为7,则股24=弦25 =(2) 如果勾用"(n3,且“为奇数)表示时，请用含有"的式子表示股和弦，则股=,弦=(解决问题)观察4, 3, 5： 6, & 10； & 15, 17：.根据应用举

14、例获得的经验进行填空：(3) 如果d,b,c是符合同样规律的一组勾股数，a = 2m (川表示大于1的整数)，则b=, C =,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式.(4) 请你利用柏拉图公式，补全下而两组勾股数(数据从小到大排列)第一组：、24、:第二组：、37.29. 在平而直角坐标系中，点、A (0, 4) , B (m, 0)在坐标轴上，点C, O关于直线加 对称，点D在线段43上.(1) 如图1,若m = 8,求A3的长；(2) 如图2,若m=4,连接OD,在y轴上取一点F,使OD=DE,求证：CE=JiDE；(3) 如图3,若m=43 .在射线Ao上裁取&F,

15、使AF=BD,当CD+CF的值最小时，请 在图中画岀点D的位置，并直接写岀这个最小值.30. (发现)小慧和小雯用一个平而去截正方体，得到一个三角形截面(截出的而)，发现截而一泄是锐角三角形.为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师.（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个钏钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连 在一起（如图仙=4, 1C = 3）AB不动，让M从重合位置开始绕点力转动，在转动的 过程，观测BC的大小和4力BC的形状，并列出下表：BC的大小MBC的形状KBC <n BC = Tn直角三角形m<BC <n BC = n直角三角形n<BC <7 请仔细体

16、会其中的道理，并填空：=:（2）猜想一般结论 在ABC中，设BC = a, AC = b, AB = C （abSc）, 若ZMBC为直角三角形，贝回吐满足ct2 + b2=Z C2, 若ZMBC为锐角三角形，贝,b,c满足: 若ZUBC为钝角三角形，贝q,b,c满足.（探索）在许老师的启发下，小惹用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面 （如图1）,设5/1 = x, SB = y, SC = Zf请帮助小慧说明BC为锐角三角形的道理.囹1（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角得到一个新的三角形截而DEF（如图 2）,那么仙肋的形状是（）A. 一楚是锐角三角形B. 可能是锐角三角形或直

17、角三角形，但不可能是钝角三角形C. 可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一.选择题1. B解析：B【分析】过点C作CH丄AB于点H,根据等腰三角形的性质得到ZACD = I80°-2ZCzM ,根据 AF丄CD得到AFAB = 90Q-ZCDA,可以证得是正确的，利用勾股左理求出AG的 长，算出三角形ACD的而积证明是正确的，再根据角度之间的关系证明ZAFC = ZACF,得到是正确的，最后利用勾股定理求出CF的长，得到是正确的.【详解】解：如图，过点C作CH丄4B于点H,G-AHDB AC = CD, ZCAD = ZCDA, ZACD =

18、XW-2ACDA. AF 丄 CD, ZAGD = 90。， AFAB = 90o-ZCDA, ZACD = 2ZFAB,故正确；VCG = 3, DG = I,.CD = CG+DG = 3+1=4,. AC = CD = 4,在R仏ACG 中，AG = yjAC2-CG2 =169 = 7 » Scd =IAG Cr） = 27,故正确：V ZCHB = 90o. ZB = 45。， ZHCB = 45°,V AC = CD, CHLAD,. ZACH = ZHCD = - ZACD ,2 ZAFC = ZB+ZFAB = 45o+ZEAB，ZACF = ZACH +

19、AHCB = ZACH+45。，ZACH=-ZACD = ZFAB,2 ZAFC = ZACF,°. AC = AF = 4,故正确: GF = AF-AG = 4-7,在 RMGF 中，CF = JCG2+GF亍=店+（4 77）' =27-2,故正确.故选：B.【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角 形的外角和定理.2. C解析：C【分析】过M 作ME丄 AD于得出 ZDE = 1CD, MAD = BAD.求岀2 2ZD + 4D = i(CDA +ZBAD) = 90%内角和立理求岀 ZAMD，即可判断：根拯角平分线性质

20、求出MC = ME, ME = MB,即可判断和；由勾股立理求 出DC = DE, AB = AE即可判断：根据SSS证SDEM = DCM,推出S -Ift1JfjDt1W =S三和形DCM ,同理得岀S :fi,niAl-M =S三伸你ZfM ,即可判断.【详解】解：过M作ME丄AD于E,-ZDAB与ZADC的平分线相交于Be边上的M点，.ZMDE = L ZCDA, ZMAD = -ZBAD92 2. DCllAB、:.ZCDA+ZBAD = S0o,. MDA + ZMAD = -(CDA + ZBAD)=丄 ×180o = 90ot2 2AZAyWD = 180o-90o

21、= 90ot 故正确；-DM 平分 ZCDE，ZQ = 90。(MC丄DC), MEIDA,：.MC = ME,同理 AYE = MB,：.MC = MB = ME =-BC .故正确；2.M到AD的距离等于BC的一半，故错误：由勾股左理得：DC2 = MD2 -MC-» DE2=MD2-ME2又 ME = MC, MD = MD,DC = DE,同理AB = AE,.AD = AE + DE = AB + DC,故正确；DE = DC在DEW和DCM中TM = DM ,ME = MC:.ADEM = ADCM(SSS),S三和衫Q£W = S询形OCM同理 S 询形.4E

22、W =S MJfBAaW > S=:处形Aw = 2BCD ,故H :确： 故选：C.【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直泄义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判左等 知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.3. C解析:C【分析】当C'落在AB上，点B与E重合时，AC长度的值最小，根据勾股左理得到AB=5cm,由折 叠的性质知，BC' =BC=3cm,于是得到结论.【详解】解：当C'落在AB上，点B与E重合时，Ac长度的值最小，VZC=90c , AC=4cm, BC=3cm,AB=5cm>由折叠的性质知,BU=BC=3cm,.AC'

23、; =AB-BC' =2cm.故选：C.【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.4. B解析：B【分析】设 AB=C AC=b, BC=a,用 a、b、C 分别表示厶 ABC, AB'C, ABC, 而积，再利 用RlMBC得b2+c2=a2,求得C值代入即可求得的而积AABC'的而积.【详解】设 AB=c, AC=b» BC=a»由题意得厶A'BC的面积=丄"週"=10,2 2B,C的而积丄bb = 42 2940 / I 16 rr.*. a" = 3 ,少=333&

24、#163; RtABC 中，ZBAC=90of b2+c2=a2tABC'的而积=Lc旦C =至F = D强乜=62244故此题选B【点睛此题考察勾股能理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的而积，运用勾 股定理的等式求得第三个三角形的面积5. A解析：A【分析】由已知条件可uECFEAFD,得到DF二EF,利用折叠知AE二AB二8cm,设AF二XCm,则DF= (8-X)CIn,在RtAFD中，利用勾股定理即可求得X的值.【详解】J四边形ABCD是长方形，ZB=ZD=9Oo, BC=AD,由翻折得 AE=AB=Sm, ZE=ZB=90°, CE=BC=AD又 V

25、 ZCFE=ZAFDCFEAFDAEF=DF设 AF=XCm,则 DF二(8-) Cm在 RtAFD 中，Ar二DFADI AD二6cm,x2=(8-x)2+6225X = Cm4故选择A.【点睛此题是翻折问题，利用勾股立理求线段的长度.6. B解析：B【分析】根据30°直角三角形的性质，求岀ZABC的度数，然后根据角平分线的性质求出ZCBD二30° ,再根拯30°角所对的宜角三角形性质，30°角所对的直角边等于斜边的一 半，求解即可.【详解】如图 Z C=90o j Z A=30o , Z ABC=90o-30o=60o zVBD 平分ZABC, Z

26、ABD= - Z ABC= - ×60o=30o ,2 2T CD=I I Z CDB=30o BD=2根据勾股立理可得BC= BD2-CD2=271=3 Z A=30o AB=2 3故选B.【点睛】此题主要考查了 30°角宜角三角形的性质的应用，关键是根据题意画岀图形，再利用30° 角所对直角边等于斜边的一半求解.7. C解析:C【解析】分析：将杯子侧而展开，建立力关于EF的对称点根拯两点之间线段最短可知AB的长 度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧而展开,作&关于FF的对称点A ,连接A8则AB即为最短距离,A,B= AzD2÷BD2=122

27、+162=20 (Cm) 故选C.点睹：本题考查了勾股左理、最短路径等知识将圆柱侧而展开，化曲面为平而并作出A关 于EF的对称点A是解题的关键.8 . D解析:D【解析】分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角，利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等 三角形对应角相等得到Z CBM=Z MDO,利用等角的余角相等及直角的泄义得到ZBOD为直 角，利用勾股定理求出所求式子的值即可.详解：Y四边形ABCD和EFGC都为正方形， CB=CD , CE=CG I Z BCD=Z ECG=90o r Z

28、BCD+Z DCE=Z ECG+Z DCE,即Z BCE=Z DCG.在厶 BCE 和厶 DCG 中，CB=CD ZBCE = Z DCG , CE = CG r BCE旻 DCG , BE=DG ,故结论正确.如图所示，设BE交De于点松交DG于点0. Z CBE=Z CDG,即Z CBM=Z MDO.又 Z BMC=Z DMO Z Z MCB=I80o-Z CBM-Z BMC f Z DOM=I80o-Z CDG-Z MDO j Z DOM=Z MCB=90o rBE±DG故结论正确.如图所示,连接BD、EG,由知，BE丄DG r则在 Rt ODE 中，DE2=OD2+OE2 f

29、在 Rt BOG 中，BG2=OG2+OB2 I在 Rt OBD 中，BD2=OD2+OB2 f在 Rt OEG 中，EG2=OE2+OG2 f. DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2÷EG2.在 Rt BCD 中，BD2=BC2+CD2=2a2 ,在 Rt CEG 中,EG2=CG2÷CE2=2b2 f BG2+DE2=2a2+2b2.故结论正确.故选：D.点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.9. B解析:B【分析】作AD丄BC,则D为BC的中点，即BD=DC=2,根据勾股沱理

30、可以求得AD,则根据S=丄×BC×AD可以求得AABC的面积.2【详解】解：作AD丄BC,则D为BC的中点，则 BD=DC=2,* AB= 25，且 AD= yAB2-BD2 =4,. ABC 的而积为 S= y ×BC×AD= ×4×4=8,故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理的运用，三角形而积的讣算，本题中正确的运用勾股左理求AD是解 题的关键.10. C解析:C【分析】先过点E作EG丄CD于G,再判 BCDX ABD都是等腰直角三角形，并求得其边长，最 后利用等腰直角三角形，求得EG的长，进而得到AEDC的面积.【详解】解：过点

31、E作EG丄CD于G,又TCF 平分ZBCD, BD丄BC,. BE=GE,在 RtBCE 和 RtGCE 中CE = CEBE = GE' RtBCERtGCE, BC=GC,TBD丄BC BD = BC, BCD是等腰直角三角形, ZBDC=45°,T AB/CD, ZABD=45% 又T ZA=90o, AB = I,等腰直角三角形ABD中，BD= TT+F = 2 =BC, Rt BDC 中，CD=W÷(W DG = DC GC=2 2 > DEG是等腰直角三角形, EG = DG = 2 - 2 I. EDC 的而积=+ ×DC×E

32、G= y ×2× (2 - 2)=2 - 2 故选：C.本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判上，全等三角形的判怎与性 质，以及勾股宦理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG进行求解.二.填空题103【解析】试题解析：将四边形MTKN的而积设为X,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S2, S3, S1+S2+S3=10t二 得出 S=8y+×, S2=4y+×t S3=x, S1+S2÷S3=3x+12y=10,故 3×+12y=10,10所

33、以S2=x+4y=3考点：勾股泄理的证明.12.【解析】试题分析：将台阶展开，如图,-AC = 3×3 + l×3 = ZBC = 5y. ABh= -AB=A. = AC 动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线/上， + BC2 = 169,二 AB = 13,即蚂蚁爬行的最 短线路为13dmX考点：平而展开：最短路径问题.13. 如图，作&关于直线/的对称点&连接DE,则DE的长就是所求的最短距离.【解析】如图，过点C作仇丄力方于点S延长疣到点C ,使处二OC,连接0C,交必于点 E,连接少，此时+ CE= DE七EC =0C的值最小.连接必，由对称

34、性可知Z CBE= ZCBE= 45 o , BC=Bd= 2 9 ZCBC = go。根据勾股定理可得14 82【分析】根据SAP=-SM.MMSCD,得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线I上，作A关 3于直线I的对称点E,连接DE, BE,则DE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ADE中，由勾股泄理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值.【详解】设HPAD中AD边上的髙是h. _ 1 S匕/D= S ABCDf11. ADh=-ADAB,23込I ZEy在 RtAADE 中，,.,AD=S, AE=4+4=8,DE= AE2 +AD2 = 82+82 = 82，即+戸&#

35、163;的最小值为8血.故答案82 .【点睛】本题主要考査了轴对称-最短路线问题，三角形的而积，矩形的性质，勾股定理，两点之间 线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.15 . 32 或 42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：AABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求岀边BC,即 可得到答案【详解】当AABC是钝角三角形时，VZD=90o, AC=13, AD=12,-CD = SJAC2-AD2 =132-122 =5VZD=90 AB=15, AD=12,: BD = JAB2 -AD2 = Jl5'-12? =9, BC=BD-CD=9-5=4,ABC 的周长=4+1

36、5+13=32：当Aabc是锐角三角形时，V ZADC=90 AC=13, AD=12f-CD = ACI-AbI =132-122 =5 »V ZADB=90ot AB=15t AD=12,: BD = >aB2-AD2 = 152-12f = 9，/. BC=BD-CD=9+5=14tABC 的周长=14+15+13=42；综上，ABC的周长是32或42,故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股左理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.165或13【分析】根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得SH-SQ=SK为从而易求Sk.【详解】解：如下图所示根据勾

37、般立理，可得A+B=CtC=13.若 A=SP=4. C=SQ=9, B=Sk,根据勾股定理，可得A+B=C>B=9=5.S为5或13故答案为：5或13.【点睛】本题考查了勾股定理.此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的而积 和等于以斜边为边所作的正方形的而积.174【分析】根据线段垂直平分线得岀AE=EC, ZAEG=ZAEF=90求出ZB=ZC=ZG=30根据勾股泄 理和含30。角的直角三角形性质求出AE和EF,即可求出FG,再求岀BF=FG即可【详解】TAC的垂直平分线FG.AE=ECf ZAEG=ZAEF=90otVZBAC=120°, ZG=ZBAC-

38、ZAEG=I20o-90o=30VZBAC=I20o, AB=AC>ZB=ZC=4(18OO-ZBAC) =30°,2 ZB=ZG,BF=FG,T 在 RtAEG 中，ZG=30% EG=3,AG=2AE,即(2AE) 2=AE2+32,.,.AE=3 (负值舍去)即 CE= 3 ,同理在 RtCEF 中，ZC=30% CF=2EF,(2EF) 2=EF2÷ (JJ) 2, EF=I (负值舍去),BF=GF=EF+CE=l+3=4,故答案为4.【点睛】本题考查了勾股左理，含30。角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判左等知识点， 能综合运用泄理进行推理是解此题的关

39、键.18. 22+2【分析】连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得岀当P和D重合时，PE+BP的值最 小，此时ABPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB二BE+CD+DB二BC+BE,先求出BC和BE长， 代入求出即可.【详解】如图，A连接CE,交AD于M zT沿AD折叠C和E重合， ZACD二 ZAED二90° , AC=AE , ZCAD=ZEAD IAD垂直平分CE,即C和E关于AD对称，BD=2 , CD=DE= 2 ,当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE , ZDEA=90o zZDE

40、B=90o ,/ ZABC=45° , ZB=450 rV DE= 2，A BE= 2 ，即 BC=2+ 2 rPEB的周长的最小值是BC+BE=2+ 2 + 2 =2+2 2故答案为2+2 2 【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股左理，含30度角的 直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置.19. 亜5【解析】试题分析：根据勾股泄理可求出BC=I,然后根据Z BCA = 90o , DErAC I DF±BC l证得四边形CEDF是矩形，连接CD,则CD二EF,当CD丄AB时，CD最短，即EF=CD二迹 5故答案为空.5点睛：本题考查了

41、勾股左理的运用，矩形的判左和性质以及垂线段最短的性质，同时也考 査了学生综合运用性质进行推理和计算的能力.20. 23 或 2 或 4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30。角直角三角形与勾股定理解答.【详解】图1当 ZC=60o时，ZABC=30% 与 ZABP=30°矛盾; 如图2：ZCBP=60PBC是等边三角形, CP = BC = 2羽;图3当 ZABC=60°时，ZC=30o,V ZABP=30%ZPBC=60o-30o=30o, PC=PB. BC = 2®. AB = BC = y3,AC = BC2 -AB2 = (23)2 -

42、(3)2 = 3 , 在RtAPB中,根据勾股定理AP2 + AB2 = BP2,即(AC-PC)2 + AB2 = PC2f即(3-PC)2+(3)2=PC2,解得 PC = 2,如图4：VZABP=30°, ZPBC=60o+30o=90% BP = LPC2在RtBCP中，根据勾股左理BP2 + BC2 = PC21即(IPC)2+(23)2 =PC2z解得PO4 (已舍去负值).综上所述，CP的长为2J或2或4.故答案为：2石或2或4.【点睛】本题考查含30。角直角三角形，等边三角形的性质和判泄，勾股泄理.理解直角三角形30。 角所对边是斜边的一半，并能通过勾股宦理去求列外一

43、个直角边是解决此题的关键.三、解答题21(1) 45度：(2) ZAEC- ZED=45%理由见解析；(3)见解析【分析】(1) 由等腰三角形的性质可求ZBAE=I可得ZCAE=50°,由等腰三角形的性质可得 ZAEC= ZACE=65 即可求解：(2) 由等腰三角形的性质可求ZBAF=I80°-2,可得ZCAE=90° - 2a,由等腰三角形的 性质可得ZAEC= ZCf=45o+,可得结论；(3) 如图，过点C作CG丄4H于G,由等腰直角三角形的性质可得EH=迈EF, CH JJcg,由"AAF可证AAFBAcga9可得af=cg,由勾股立理可得结论

44、.【详解】解：(1) VAB=AC. AE=AB./.AB=AC=AE. ZABE=ZAEB. ZACE=ZAEC,V ZAED=20°,：.ZABE=ZAED=20 ZBAE= 140°,且ZaAC=90°：.ZCAE=SOV ZCAEZACE+ZAEC= 180o 9 且 ZACE= ZAEC9：.ZAEC= ZACE= 65°, ZDEC= ZAEC ZAED=A5故答案为：45：(2) 猜想：ZAEC- ZAED=4S理由如下：V ZAED=ZABE=a, ZBzAf= 180° - 2, ZCAE= ZBAE ZBAC=90°

45、; - 2a, ZCAE ZACE+ ZAEC= 180°,且 ZACE= ZAEC,：.ZAEC=45°+a, ZAEC ZAED=A5o(3) 如图，过点C作CG丄于G,ZFEH=45%AHBE9 ZFHE= ZFEH=45°,：.EF=FH9 且 ZffH=90°,:EH=近 EF,VZFH£=45 CG丄FH, ZGCH= ZFHE=45°,* GC=GH 9CH= 2 CG,T ZBAC= ZCGA = 90°,：.ZBAFZCAG=90 ZCAGZACG=90：.ZBAF= ZACG, RAB=AC. ZAFB=

46、ZAGC,：.AAFBACGA ( AAS)：.AF=CG.:CH=迈 AjT 在 Rt"FF 中，AE2=AF2EF2, (JiAF) 2+ (EF) 2=2AE2f.9.EH2CH2 = 2AE2 【点睹】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判迫的动点问题，三个问题由 易到难，在熟练掌握个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是 关键.2922见解析；Df= y； (2) DE的值为3点或3 17【分析】(1先证明ZDAE=ZDAI结合DA = DA. AE=AF9即可证明：如图1中，设DE= X,贝 IJ CD=7- 在 RtADCF 中，由 D

47、F2 = CD2CF2, CF=BE=3,可得 x2= (7 -) 2+32, 解方程即可；(2)分两种情形：当点F在线段3C上时，如图2中，连接3F.由AEADADC,推岀 ZA3E=ZC=ZABC=45°, EB=CD=5,推岀ZEBD=90° ,推出 DE2=BE2-BD2 = 62+32= 45,即可解决问题；当点D在C8的延长线上时，如图3中，同法可得DF2 = 153.【详解】(1)如图1中，T将"3E绕点力逆时针旋转90°后，得到MFC,：'BAE 竺 CAJ：.AE=AF. ZBAE=ZCAF,V ZAC= 90o, Zf

48、0;D=45o, ZCADZBAE=ZCAD+ZCAF=:ZDAE=ZDAF9：DA = DAf AE=AF,：.AEDAFD (SAS): 如图1中，设DE=x,则CD=7-x.9：AB=AC. ZBAC=90°.Z=ZC=45 ZABE=ZACF=45°,AZDCF= 90°,VAEDAFD (SAS),DE=DF=x,T 在 RtDCF 中，DF2=CD2+CF2, CF=BE=3,.×z= (7 -x) 2+32,29 X= 9729：.DE=:7(2) TBD=3, 3C=9 ,分两种情况如下： 当点F在线段BC上时，如图2中，连接3E.9：

49、ZBAC=ZEAD=90Q 9/.ZEAb=ZDAC9VAE=AD. AB=AC：.AEABADAC (SAS), ZABE= ZC= ZABC=AS09 f=CD=9-3=6,AZEBD=90% DE2 = BE2BD2=62+32=45.Df=35 ： 当点DCB的延长线上时，如图3中，连接BF.同理可证是直角三角形，EB=CD=3十9=12, DB=3, DE2 = EB2BD2 = 144+9 = 153,Df=317，综上所述，DE的值为3 G或3 JT本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构 造旋转全等模型，是解题的关键.23. （1）见解析；

50、（2）见解析：®2.【分析】（1）当D、E两点重合时，则AD=CD,然后由等边三角形的性质可得ZCBD的度数，根据 等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得ZF的度数，于是可得ZCBD与ZF的关系，进 而可得结论；（2）过点F作EH/BC交处于点H,连接BF,如图4,则易得"处是等边三角形，根 据等边三角形的性质和已知条件可得EH二CF, ZBHE=ZECE20。, BH=EC9于是可根据SAS 证明BHE3HECF,可得ZEBH=ZFEC,易证BAE3HBCD、可得ZABE=ZCBD,从而有 ZFEC=ZCBD,然后根据三角形的内角和泄理可得ZBGE=ZBCD,进而可得结论

51、；易得ZBEG=90°,于是可知ABEF是等腰直角三角形，由30。角的直角三角形的性质和等 腰直角三角形的性质易求得3F和3F的长，过点F作FM丄8F于点F,过点C作C丄FF于 点N,如图5,则ABEM、AEMF和ACFZV都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形 的性质和30°角的直角三角形的性质可依次求岀BM. MC、CF、FN、CN、GN的长，进而 可得'GCN也是等腰直角三角形，于是有ZBCG=90。，故所求的 BCG的而积 丄BC CG,而BC和CG可得，问题即得解决.2【详解】解：(1) V AABC 是等边三角形， ZABC=ZACB=60°

52、;,当 D、E 两点重合时，则 AD=CD, ：. ZDBC = -ZABC = 30° ,2： CF = CD，SZCDF,V ZFZCDFZACB=60q, ：. ZF=30o, ZCBD=Zf, BD = DF:(2)VABC 是等边三角形， ZABC=ZACB=60 AB=Aa过点E作EH/BC交AB于点H,连接BF,如图4,则ZAHEZABC=60ZAEH=ZACB=60°,：'AHE 是等边三角形，：.AH=AE=HE,：BH=EC,V AE = CDf CD=CF, ：. EH=CF.又 V ZBHf= ZECF=I20° , ：. ABHE

53、AECF (SAS),： ZEBH=ZFEC, EB二EF,9： BA=BC. ZA=ZACB=60,9 AE=CD.：.ABAEABCD (SAS) , ZABE=ZCBD. : ZFEC= ZCBD,V ZEDG=ZBDC, ：. ZBGE=ZBCD=60 V ZGE=60% ZEBD=30 ：. ZSfG=90%TEB=EF9 ：. ZF=ZEBF=45°,T ZEBG二30°, BG=4. .9.EG=2, BE=2 3 >：.BF=迈BE = 2书,GF = 23-2.过点E作EM丄BF于点F,过点C作C/V丄EF于点M 如图5,则 BEZVh EMF和 C

54、FN都是等腰直角三角形， BM=ME = MF = R，Vz ACB=60。，. Z MFC=30o, /. MC = 2， BC = 6 + 2 . CF = 26-6-2 = 6-2 . CN = FN = x(6-2) = 3-b2：.GN = GF-FN = 2书-2-、=怎- = CN ,. ZGCN = ZCGN = 45o, /. ZGCF=90。=Z GCB, CG = CF = 6-2,BCG 的而积=-!-BCCG=-!-(6 + 2)(6-2) = 2.2 2故答案为：2.【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的判泄和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角 三角形的判泄与性质、30。角的宜角三角形的性质和勾股