一~九题数学建模

1、2015 年山东财经大学数学建模竞赛1、求微分方程初值问题：,的解析解和数值解。完整答案如下：>> dsolve('Dy=y-2*x/y','y(0)=1','x') ans =(2*x+1)(1/2)function myfunc=func(x,y)myfunc=(2*x+1)(1/2); >> x,y=ode45('func',0 1,1);>> plot(x,y)2、.下表为正弦函数表的一部分：0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717

2、36试据此解决如下问题： （1）作出基于数据点的函数 x y sin = 的图像； （2）先对数据点进行恰当插值，再作出函数 x y sin = 的图像； （3）计算 63891 .0sin 的近似值。完整答案如下：2、(1)>> x=.4:.56464:.8;>> y=sin(x);>> plot(x,y)>> x=.4:.1:.8;>> y=sin(x);>> plot(x,y)(2)>> x=.4,.5,.6,.7,.8;>> y=.38942,.47943,.56464,.64422,.71

3、736;>> scatter(x,y)>> hold on>> plot(x,y)(3)>> x=0.63891;>> sin(x)ans = 0.59633、附件1中的函数为+的25组观测数据，试据此求参数，的值。完整答案如下：x=23.73,22.34,28.84,27.67,20.83,22.27,27.57,28.01,24.79,28.96,25.77,23.17,28.57,23.52,21.86,28.95,24.53,27.65,27.29,29.07,32.47,29.65,22.11,22.43,20.04; .

4、5.49,4.32,5.04,4.72,5.35,4.27,5.25,4.62,4.42,5.30,4.87,5.80,5.22,5.18,4.86,5.18,4.88,5.02,5.55,5.26,5.18,5.08,4.90,4.65,5.08; . 1.21,1.35,1.92,1.49,1.56,1.50,1.85,1.51,1.46,1.66,1.64,1.90,1.66,1.98,1.59,1.37,1.39,1.66,1.70,1.82,1.75,1.70,1.81,1.82,1.53'y=15.02,12.62,14.86,13.98,15.91,12.47,15.80

5、,14.32,13.76,15.18,14.20,17.07,15.40,15.94,14.33,15.11,13.81,15.58,15.85,15.28,16.40,15.02,15.73,14.75,14.35'myfunc = inline ('(exp(-beta(1).*x(:,1).*sin(beta(2).*x(:,2)+x(:,3).2','beta','x');beta = nlinfit(x,y,myfunc,0,0')程序运行的结果如下：beta = -0.09150.3169即是 k1= -0.0915

6、, k2=0.31694、某航空公司的一架货机有前、中、后三个货舱，其最大承载重量（单位：吨）和最大承载容积（单位：立方米）如下表所示：前舱 中舱 后舱 最大承载重量 10 16 8最大承载容积 6800 8700 5300 现拟用该货机装运四种货物，其规格及航空公司的运输利润如下表所示：重量（单位：吨）重量（单位：吨）体积（单位：立方米/吨）利润（单位：元/吨）货物 1184803100货物 2156503800货物 3235803500货物 4123902850问：应如何装运，才能获利最大？ 请建立上述问题的数学模型，并求解。完整答案如下：(一) 首先模型假设：1. 每种货物可以分割到任意

7、小；2. 每种货物可以在一个或多个货仓中任意分布；3. 多种货物可以混装，并保证不留空隙。(二) 其次模型建立：变量表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货仓j=1、2、3分别表示前舱、中仓、后仓。决策目标是最大化总利润，即MaxZ=3100+3500+2850约束条件包括以下4个方面：1) 供装载的四中货物的总重量约束，即：15232) 三个货仓的重量限制，即：+103) 三个货仓的空间限制，即：+68004) 三个货仓装入重量的平衡约束，即：=model: max=3100*(X11+X12+X13)+3800*(X21+X22+X23)+3500*(X31+X32+X33) +285

8、0*(X41+X42+X43); X11+X12+X13<=18; X21+X22+X23<=15; X31+X32+X33<=23; X41+X42+X43<=12; X11+X21+X31+X41<=10; X12+X22+X32+X42<=16; X13+X23+X33+X43<=8; 480*X11+650*X21+580*X31+390*X41<=6800; 480*X12+650*X22+580*X32+390*X42<=8700; 480*X13+650*X23+580*X33+390*X43<=5300; (X11+X

9、21+X31+X41)/10=(X12+X22+X32+X42)/16; (X12+X22+X32+X42)/16=(X13+X23+X33+X43)/8;5、某国有10个城市，其相互之间的距离如下表所示：123456789101-8592426722-957818423-79172274-3717585-816556-94867-8118-119-110-注：由对称性，仅给出一半数据。一对新婚夫妻拟到该国进行蜜月旅行，他们计划从城市1出发，经过其余各城市后，再回到城市1。为节约旅费，他们希望旅程尽可能短。试建立数学模型为该对夫妻设计一个最佳的旅行路线。完整答案如下：a) 最短行程是：城市1

10、城市5 城市7 城市2 城市10 城市8 城市9 城市3 城市4城市6 城市1b) 最短路径是：28思路简述：新婚夫妇到10个城市旅行（用A.B.C.D.E.F.G.H.I.K分别表示这10个城市），A.B.C.D.E.F.G.H.I.K构成了数据结构中图。要想行程尽可能的短，即是要找出从A出发，然后遍历一遍B.C.D.E.F.G.H.I.K最后回到A。 最简单的思路就是枚举法，枚举出所有可能的路线图，10个城市（从A城市出发）就有9！种路线图，然后再选出一种路径最短的路线。显然这种方法效率太低了。而且要是有20个城市，就要枚举出19！种路线图，城市越多，枚举的范围呈现出指数式增长。所以我们要

11、寻找出一中更高效的算法。 A* 算法： 对于某一已到达的现行状态, 如已到达图中的n节点, 它是否可能成为最佳路径上的一点的估价, 应由估价函数f(n)值来决定。假设g*(n)函数值表示从起始节点s 到任意一个节点n 的一条最佳路径上的实际耗散值。h*(n)函数值表示从任意节点n 到目标节点ti 的最佳路径的实际耗散值。其中ti 是一个可能的目标节点。f*(n)函数值表示从起始s，通过某一指定的n 到达目标节点ti的一条最佳路径的实际耗散值，并有f*(n)=g*(n)+h*(n)。 假设f 函数是对f* 函数的一种估计, 并有f(n)=g(n)+h(n)，其中g 函数是对g* 的估计，h 函数

12、是对h* 的一种估计。f( n) 包括两个部分，其中g(n)表示到达n 节点时，已付出代价的估计；而h(n)表示从n 节点到达目标节点ti 将要付出代价的估计。按f(n)=g*(n)+h*(n)的值来排序ff 表的节点，f 值小者优先。通常称这种算法为A算法。在A 算法的基础上，进一步限制h(n)函数，使得搜索图中的每一个节点n，能满足h(n)<=h*(n)、称h 函数取h* 的下界。这种算法叫A* 算法。对ff里的每一个节点做评估函数F分为两部分G和H：假设从A城市走到X城市，又走到Y城市，所以G可表示为：G = A到X的距离 + X到Y的距离；未走的的城市数=（总城市数+1）-目前城

13、市的层数。为什得加1，因为最后得走回初始城市，所以总路径的城市数为总城市数+1。H = 未走的城市数×目前的最小距离；F = G + H ;计算ff表里每个节点的F值，F值最小的节点作为活路径。（开发环境：Microsoft Visual C+ Windows7旗舰版64位系统）程序运行结果如下：（ABCD,分别表示城市1,2,3.10）完整源程序如下：#include "stdio.h "const int max=9999;const int ax=50;int isbest(int i,int bestpath,int p) for(int k=1;k<

14、;=p;k+) if(i=bestpathk) break;if(k!=p+1) return 1;else return 0;void main() int i;int min=max;int minf=max;int num=10;int bestpathax;/最佳路径int f=0,g=0,h=0;int ffax;/依次求每个城市的f值int ggax;/城市的g值int mataxax=0,8,5,9,2,4,2,6,7,2,8,0,9,5,7,8,1,8,4,2,5,9,0,7,9,1,7,2,2,7,9,5,7,0,3,7,1,7,5,8,2,7,9,3,0,8,1,6,5,5

15、,4,8,1,7,8,0,9,4,8,6,2,1,7,1,1,9,0,8,6,1,6,8,2,7,6,4,8,0,1,1,7,4,2,5,5,8,6,1,0,1,2,2,7,8,5,6,1,1,1,0 ; bestpath0=0;/起点为0，即城市Afor(int p=0;p<num-1;p+)for(int kk=0;kk<num;kk+)ffkk=max;for( i=1;i<num;i+)if(isbest(i,bestpath,p)continue;elseggi=g+matbestpathpi; for(int m=0;m<num;m+) if(isbest(

16、m,bestpath,p) continue;for(int t=m+1;t<num;t+)if(isbest(t,bestpath,p)continue;if(m!=0|t!=i|p=num-2) if(matmt<min)min=matmt; h=min*(num-p-1);/h值ffi=ggi+h;/第i个节点的f值min=max;for(i=0;i<num;i+)if(ffi<minf)minf=ffi;bestpathp+1=i;minf=max;g=g+matbestpathpbestpathp+1;/更新g值printf("最优路径为:"

17、;); for(i=0;i<num;i+) printf("%c ",bestpathi+65);printf("An");printf("总路程为:"); int sum=0;for(i=0;i<num-1;i+) sum=sum+matbestpathibestpathi+1;sum=sum+matbestpathnum-10;/总路程最后一个城市要回到A，所以加上其距离printf("%dn",sum);6、请从网络上搜索下列文献： （1）南水北调工程水指标分配问题的数学模型 （2）基于蚁群算法的

18、移动机器人全局路径规划方法研究答案：见附件4。7、.请利用Word软件编排附件2中的文字。完整答案如下： (3-12)通常称以式 (3-12) 为密度函数的二维随机变量服从区域G上的均匀分布。 在讨论一维随机变量时，我们曾指出，一维正态分布是实际应用中最常见的分布之一。类似地，在实际中也常常会用大二维正态分布。若二维随机变量的密度函数为其中，均为参数，且，则称服从参数为的二维正态分布，记作 例3.1.8 证明：当时，有X，Y。证 根据边缘密度函数定义得到X的密度函数为= 令u=,t=,则上式可化为 = =，可见X。对称地，可知Y的密度函数为=, 即Y。比较X和Y的联合密度函数f和边缘密度函数和，我们注意到，当且仅当时，对一切，有f=。8、.请利用你熟悉的软件绘制如下图形： 9、请为附件 3 中的学术论文拟定“题目”、“摘要”和“关键词”。完整答案如下：题目：基因组断点 Median 问题的算法研摘要：为有效解决生物信息学中的基因组断点 median 问题，针对 4 个以上环形基因组的一般情形，建立了该问题的图模 型。鉴于基因组断点 median 问题自身的 NP-困难性，从问题转化的角度，将其等价地化为图上的旅行商问题(TSP)，找出二者 之间最优解