二项式定理(二)

1、精品资源2005.1.4高三数学第一轮复习讲义（71 ）二项式定理（2）一.复习目标：1 .能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和.2 .能熟练地逆向运用二项式定理求和.3 .能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式.二.课前预习：1. H2+3/3)100的展开式中无理项的个数是( a )(A)84(B)85(C)86(D)872. 设 f(x) =x5 5x4 + 10x3 10x2 +5x + 1,贝U f,(x)等于(C )(A)1 5.x(B)1 -5 x -2(C)1 5.x -2(D) 1 -5, x3. 如果 1+2C： +22C； +2nC： =2

2、187,则 C： +C： +C： +C： =128.4. 1C： +1C2 - +(-1)nC：= 23n 1 n 19.23 42345. (3x2y+z)9 展开式中含 x2y3z4 的项为90720x2 y3z4.10021006,若(1 +2x)100 =a° +aKx1) +a2(x1)2 + +a100 (x1) 100 ,5100 _1则 a1 a3a5 ,a§9 = -.2四.例题分析: 例1.已知4是等比数列，公比为q ,设Sn=a+a2C：+a3C；+an书Cn （其中Snn >2,n w N +）,且S： =C； +C： +C2+Cn,如果“mg

3、存在，求公比q的取值 范围.解：由题意 an =a1 qn", Sn =2n,Sn 三a1 aqCn a1q2C：aKnC；= 4(1+qC： +q2C；+qnC：)=a1(1+q)n(q#0)Snai(1q)2n=a1 (上q) n.如果lim Sn存在，则|2sn1 q 1 q d 一-|<1 或-二1 ,2 <1 +q <2或 q =1 ,故3<q E1且q。0 .例2. 求多项式(3x4 -x3 -2x-3)102，(3x5)4，(7x3 5x1)67展开式各项系数和.(2)多项式x1000 -x (-x3 - 2 x2 + 2)1000展开式中x的偶

4、次哥各项系数和与x奇次哥各项系数和各是多少?解:(1)设f (x) =(3x4 -x3 -2x -3)102 (3x _ 5)4 (7x3 _5x_ 1)67=a0a1x a2x2 + +anxn(n N)其各项系数和为 a0 +a1 +a2+an .又 f (1) =a0 +a +a2 十+an = (3 1 2 3)102 (3 5)4 (7 5 1)67 = 16 3102, 各项系数和为16，3102.10003210003001(2)设 f(x)=x -x (-x -2x +2)=a0+a1x+a30mx,f(1) =a0*a+ a? * a3001= 0 , f(-1) = a0

5、-a1*a2 a3001 = 2 ,故a1+a3*+a3 0 广1-1,a。+a2+a3000= 1 ,. f(x)展开式中x的偶次哥各项系数和为1, x奇次哥各项系数和为-1.n例 3.证明：(1) Z 2kC： =3n (nW N)； k=0 2C2 十 C2n + 2C2n +C；n +C2r + 2C2： =3，产工乏 N)；(3) 2 <(1+1)n <3(n w N) ； (4) C： 12 +C2 -22 十+C： n2 = n(n+1) 2T n欢迎下载精品资源欢迎下载解3" = (1 + 2)二成2口十。：2 +比2*，+吠2" = £

6、;2及技 k=0另一方面，由得，1 I n - I 1 (n - l)(n 一 2)+ + * ¥ 4，,1 (n-D(l 2)2, 12! n 引<1 +1 + J_ +21<1 +1 +1 +1311n21n!11!1 - 12T i-l2(4延 *ka=Cjk(k7) + k卜 k(k- DC： + 吩二舒郊 + k屋岛= M1)端+司(k2)原式左端=C； + n(n 一 1) * + 口% +岫J)*十口4+gf 点+nC却欢迎下载=口+心 JXC 匕 +cL + +C鬻)+%1 + +C给 = n + n(n-1)211-2 +n(2lvl *1) = n(n

7、 +1)22例4.五.课后作业:小结:班级 学号 姓名1 .若(X3 +')”的展开式中只有第 X(A)462(B)2522 .用88除8788 +7 ,所得余数是(A)0(B)16项的系数最大，则不含 x的项为(C)210(D)10(C)8(D)803 .已知2002年4月20日是星期五，那么1090天后的今天是星期 .4 .某公司的股票今天的指数是2,以后每天的指数都比上一天的指数增加0.02%,则100天后这家公司的股票指数约为2.442 (精确到0.001).5 .已知(32x)5 =a0+aX + a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(1) a2+a3+a4+a5的值为

8、 568;(2)| a1| +1 a2| + | a3| +1 a4| +1 a51= 2882.6 .若(ax+1)2n和(x + a)2n+的展开式中含xn项的系数相等(nN*, a#0),则a的一一 1 2取值范围为(1,22 37 .求满足C0 +C： +2C： +3C3 +nC： <500的最大整数n.解由例冲题知r，C； = n,端二 C：+2C：+3C： +”或5(* + C3 +, + £；) =0 2”】，C：+C：+2C；+3C： +r+n* C： = n* 2n-1 + 1原不等式化为n2n-1<499.27=128,. n=8 时,8 - 27=2

9、10=1024>500.当 n=7 时，7 - 26=7X 64=448< 449.故所求的最大整数为n=7.8 .求证：（CO）2 （cn）2 （C：）2 （Cn）2 =c2n证明 由（1+x） n （1+x） n=（1+x）2 n,两边展开得：（4+cb+c：/+或 V1,+c：i）（C：+c3+c：/+黑】4+需才=或+c；记+ c* 9比较等式两边xn的系数，它们应当相等，所以有：£ + C： cf +C"+ +或 * c： =c.由C；=C；得（C：）、（C；y+武尸+©）=或9,已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的解：末三项的二项式系数分别为cy, C：L c：由己知，可得 cy+c? + c： = 121二 C： + C： + l = 121 即/+ "-240 = 0n = 15 或 n = -16（舍）工