线性代数课件：ch3-2可逆矩阵

1、3.2 3.2 可逆矩阵可逆矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 11daddaa ,ABBAE则称则称A A为可逆矩阵，为可逆矩阵，B 为为A的的在数的运算中，除法可以看成是乘法的逆运算，在数的运算中，除法可以看成是乘法的逆运算，(0)a 有有矩阵乘法中单位矩阵矩阵乘法中单位矩阵E相当于数的乘法运算中的相当于数的乘法运算中的1 1，那么，对于那么，对于n n阶方阵阶方阵A A，如果存在一个如果存在一个n n阶矩阵阶矩阵B B, , 使得使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 概念的引入概念的引入上式说明，只要定义上式说明，只要定义了数的了数的倒数倒数 ，除法可以通过乘法来实现。，除法可以通

2、过乘法来实现。1a 若记若记1,ba 则数的倒数由下式唯一确定，则数的倒数由下式唯一确定，1abba 可以把这种通过可以把这种通过倒数倒数来实施除法来实施除法的思想延拓到矩的思想延拓到矩阵中来哦阵中来哦逆矩阵逆矩阵.逆矩阵相当于数逆矩阵相当于数中的倒数哦中的倒数哦_ 定义定义: 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 ， 则说矩阵则说矩阵 是是可逆的可逆的，并把矩阵，并把矩阵 称为称为 的一个的一个逆矩阵逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA使得使得例例 设设111 21 2,111 21 2AB ,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束 逆矩阵的定义逆矩阵的定义数的倒数是唯一的，数的倒数是唯一的，那矩阵的逆矩阵是那矩阵的逆矩阵是不是唯一的呀不是唯一的呀若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵的逆矩阵B是是唯一唯一的，并记的，并记B=A-1.若若 和和 都是都是 的逆矩阵，的逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个数只有不为零的时候才有倒数，一个数只有不为零的时候才有倒数，那么一个方阵什么时候才有逆矩阵那么一个方阵什么时候才有逆矩阵呀呀?证明：证明：()定理定理1 1

4、 方阵方阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0.A A可逆，则有矩阵可逆，则有矩阵B使得使得ABE 两边取行列式有两边取行列式有1ABA BE因此因此0A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA 引进引进其中其中Aij为行列式为行列式|A|=|aij|n中元素中元素aij的代数余子式，的代数余子式，称称A*为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵.机动 目录 上页 下页 返回 结束 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA A AAaAaAann 111212111

5、1AAaAaAannnnnnnn 2211机动 目录 上页 下页 返回 结束 11121222120nna Aa Aa A0A.00.0A0.0|A E 所以所以|AAA E ，同理同理,|.A AA E EAAAAA 按可逆矩阵的定义得按可逆矩阵的定义得A可逆，且可逆，且证毕证毕.1AA*A1 1 EAAAAAA *1*1 A是可逆矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 0A 由由于于推论推论 若若A为可逆矩阵，则它的唯一逆矩阵是为可逆矩阵，则它的唯一逆矩阵是 其中其中A*为为A A的伴随矩阵的伴随矩阵. .1*1,|AAA 例例: : 设设,abAcd 机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、dac b ，A为可逆矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用伴随矩阵求逆矩阵，利用伴随矩阵求逆矩阵，对二阶矩阵非常方便，但对二阶矩阵非常方便，但对三阶以上的矩阵就麻烦对三阶以上的矩阵就麻烦了了机动 目录 上页 下页 返回 结束 写成矩写成矩阵形式阵形式12TnXxxx 是未知量矩阵是未知量矩阵,是方程组的一个解是方程组的一个解.12.,Tnccc 令令是方程组的一个解是方程组的一个解.求方程组的解求方程组的解x1,x2,.,xn,也即求矩阵也即求矩阵X使使得得AXb，我们以后会经常把线性方程，我们以后会经常把线性方程组写成矩阵形式组写成矩阵形式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 比如线

7、性方程组比如线性方程组123123232450 xxxxxx 2 33 12 1.AXb 213145,其中，A 123,xXxx 20.b 比如比如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用逆矩阵，还可以用来求解矩阵方程：利用逆矩阵，还可以用来求解矩阵方程：0,AA 可逆0,AA 可逆00,ABA B可逆机动 目录 上页 下页 返回 结束 一定得注意左乘还是右乘 哦1A BAAXA11 得到,矩阵方程的解为由矩阵方程AX=B可知，若矩阵A可逆，则在方程两边左乘左乘机动 目录 上页 下页 返回 结束 210110002,A 101021B 例例 ：解矩阵方程解矩阵方程 XA=B，其中，其中解：

8、解：1,A 11XA ABA 得到,矩阵方程的解为由矩阵方程XA=B可知，若矩阵A可逆，则在方程两边右乘右乘20,A 因1XBA 并且1110120001 2,/A 1110101120021001 2/XBA 111 2241 2/./ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231321221205334331,ABC 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解123A22120,343, 013512 B.,11都存在都存在 BA机动 目录 上页 下页 返回 结束 11323 235 2111,A 且13152,B 课堂练习：课堂练习：CAXB 又由又由1111 CBAAXBBA.11

9、 CBAX于是于是11 CBAX13213313 235 2205211131 E机动 目录 上页 下页 返回 结束 1131025202 21104104. 解：解：左边合并同类项左边合并同类项,2()A X3E右边分解因式右边分解因式,3322()()AEAE 因因这样的矩阵方程这样的矩阵方程一般是一般是先化简先化简，再代入求解再代入求解哦哦机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABE , 0 A故故,1存存在在因因而而 A于是于是EBB BAA1 ABA1 ,ABE 推论推论证明：证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 重要推论重要推论1,AB 则则A可逆，可逆，1.BA 1, 1A E

10、 1.A 该推论的优点是一个条件两该推论的优点是一个条件两个结论，从而要证个结论，从而要证A可逆且可逆且求求A-1,只要找一个矩阵只要找一个矩阵B使得使得ABE 即可。即可。若若n阶方阵阶方阵A，B满足满足且且B可逆，可逆，A是可逆矩阵，是可逆矩阵，同样可以证明同样可以证明B是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且B1=A. 2,0, AA若方阵 可逆 数则可逆 且 3,A BAB若为同阶方阵且均可逆 则亦可逆 且1111ABB AA BBA1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明: 1ABB1 1 A111AA机动 目录 上页 下页 返回 结束 1122.AA推广1AmA1 mA1 1A 111

11、1,.AAAA若方阵 可逆 则亦可逆 且逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质TTT11AAA ATE ,E .11TTAA 证明证明 .,4AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 .AA,A115 则有则有可逆可逆若若证明证明1AAE11 AA.AA11 因此因此 6,AABAC 若 可逆 且则有则有BC 证明：证明：ABAC 两边同时左乘两边同时左乘A-1，则有，则有11A ABA AC 则有则有BC 7,AABO 若 可逆 且则有则有BO 证明：证明：ABO 两边同时左乘两边同时左乘A-1，则有，则有11A ABA O 则有则有BO 不可以去掉可逆不可以去掉可逆这个条件这个条件若若A、B都可逆，则都可逆，则AB可逆吗？可逆吗？若若A可逆，可逆， B不可逆，则不可逆，则AB可逆吗？可逆吗？不一定可逆，如正负单位不一定可逆，如正负单位矩阵相加。矩阵相加。不可逆，可求不可逆，可求AB即可即可证明：22,AAEO由由 EEAA2 得得EEAA )(21可逆，A1 A由重要推论知由重要推论知12()AE 1A 22AAEO又又由由 234AEAEEO EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA