北京市2020年中考数学真题模拟题汇编专题17图形的变化之解答题(含解析)

1、专题17图形的变化之解答题一.解答题（共14小题）1 . （ 2019?门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点 D关于直线AB的对称点为点E,连接AD DE在AD上取点F,使得/ EFD= 60°,射线EF与AC交于点G.（1）设/ BAD=a，求/ AGE勺度数（用含 a的代数式表示）；（2）用等式表示线段 CG与 BD之间的数量关系，并证明.【答案】解：(1 ) ABC是等边三角形，/ BAC= 60°,BAD=a,FAG 60°_a,/ AFGZ EFD= 60°, AGE= 180° - 60° (

2、 60°_a) = 60° + a；(2) CG 2BD理由是：如图，连接 BE过B作BP/ EG交AC于 P,则Z BP=Z EGP点D关于直线AB的对称点为点E, Z ABE=Z ABD= 60°,Z C= 60°, Z EBDZ C= 180°, EB/ GP四边形EBP(是平行四边形， BE= PG/ DFG/ O 120° +60°= 180°,/ FGC/ FD= 180 ° ,/ ADB=Z BGP=Z BPC/ AB= BC, / ABD=Z C= 60 ° , ABD BCP(

3、 AAS, BD= PC= BE= PG CG= 2BD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的 性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.2. ( 2019?东城区二模)如图，在 ABC中, AB= AC D为 BC中点，AE/ BD 且 AE= BD.(1) 求证：四边形AEBD!矩形；(2) 连接CE交AB于点F,若/ ABE= 30°, AE= 2,求EF的长.四边形AEBD1平行四边形, AB= AC D为BC的中点， ADLBC/ ADB= 90°,四边形AEBD!矩形.(2)解：四边形 AEBD1矩形,

4、/ AEB= 90°,/ ABE= 30°, AE= 2, BE= 2, BC= 4, EO 2,: AE/ BQ AEMA BCFEF AE 1I= =【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.3. ( 2019?东城区二模)如图， ABC为等边三角形，点 P是线段AC上一动点(点P不与A C重合)，连接BP,过点A作直线BP的垂线段，垂足为点 D,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE连接DECE(1) 求证：BD= CE(2) 延长ED交BC于点F,求证：F为BC的中点;(3) 在(

5、2)的条件下，若 ABC的边长为1,直接写出EF的最大值.【答案】证明：(1 )T将线段 AD绕点A逆时针旋转60°得到线段 AE AD= AE / DAE= 60° ADE是等边三角形 AB= AC / BAG / DAE= 60°/ DAB=/ CAE 且 AB= AC AD= AE ADB2A AEC( SAS BD=CE(2)如图，过点 C作CG/ BP,交EF的延长线于点 G/ ADB= 90°，/ ADE= 60°/ BDG 30°/ CG/ BP / G=/ BDG= 30°,/ ADB2A AEC BD= C

6、E / ADB=/ AEC= 90° / GEG/ AEC- / AED= 30° / G=/ GEG30° GO CE CG= BD 且/ BDG=/ G / BFD=/ GFC BFDA CFG( AAS BF= FC点F是BC中点(3)如图，连接AF, ABC是等边三角形，BF= FC AF丄 BC/ AFC= 90°/ AFC=Z AEC= 90°点A,点F,点C,点E四点在以AC为直径的圆上， EF最大为直径，即最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质， 添加恰当辅助线构造全等

7、三角形是本题的关键.4. ( 2019?平谷区二模)在等边三角形 ABC外侧作射线 AP / BAP=a，点B关于射线AP的对称点为点D, 连接CD交AP于点E.(1) 依据题意补全图形；(2) 当 a = 20° 时，/ ADC= 40 ° ;Z AEC= 60 ° ;(3) 连接 BE 求证：/ AEC=Z BEC(4) 当0°vav 60°时，用等式表示线段 AE CD DE之间的数量关系，并证明.【答案】解：(1)如图，补全图形:17(2)连接AD三角形ABC为等边三角形， AB= AC= BC / BAC=Z ABC=Z ACB= 6

8、0°,由对称可知，AD= AB AD= ACBAP=a= 20°,/ DAB= 40°,DA= 40° +60° = 100°,180°- 100°/ AD(=Z ACD£/ AEC=Z ADC/ DAE= 40° +20°= 60故答案为40, 60;(3)由对称可知，/ BAE=/ DAE=a,/ AD= AB= AC/ ADC/ AEC= 60°,ACB= 60°,/ ACD=/ ADC= 60°-aBCE=a,/ ABC= 60/ ABE=/ AD

9、C= 60°_a,/ AEC=Z BEC(4)当 0°VaV 60° 时，CD= 2DHAE,证明：在CD上截取BG= BE/ BEC= 60°, BGE是等边三角形，:丄 BGC=Z AED- 120 ° ,/ BCE=Z DAE=a, BCQA DAE(AAS, AE= CG/ EG= BE= DE CD- 2DECG即 CD- 2DEnAE【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键.5. ( 2019?顺义区二模)已知：在厶 ABC中, Z BAC= 90°, AB= AC(1) 如图1，将线段AC绕点A逆时

10、针旋转60。得到AD连结CD BD Z BAC的平分线交BD于点E,连结CE 求证：Z AEZ CED 用等式表示线段 AE CE BD之间的数量关系(直接写出结果)；(2) 在图2中，若将线段 AC绕点A顺时针旋转60°得到AD连结CD BD Z BAC的平分线交BD的延长线于点E,连结CE请补全图形，并用等式表示线段AE CE BD之间的数量关系，并证明.国1司2【答案】证明：（1）匡1 将线段 AC绕点A逆时针旋转60°得到AD AC= AD / DAC= 60°BAD=/ BAC/ CAD= 150 °，且 AB= AC= AD -Z 3=/ 5

11、 = 15°/ BA(= 90°, AB= AC AE平分/ BAC./ 1 = / 2 = 45°,/ AB(=Z ACB= 45°又 AE= AE ABEA ACE( SAS / 3=/ 4 = 15° / 6=/ 7 = 30° / DEC=/ 6+/ 7 = 60 °/ AED=/ 3+/ 1 = 60° / AED=/ CED BD= 2CEHAE理由如下：过点A作AHL BD于点H,/ EBC=Z ECB BE= CE/ AED= 60°, AHI BD AE= 2EH / AB= AD AH

12、L BD BD= 2BH= 2 (B曰EH = 2BEAE= 2EGAE(2)补全图形如图，2CE- AE= BD理由如下：AF交DB延长线于点F.如图2,以A为顶点，AE为一边作/ EA& 60°,/ BAC= 90°, AB= AC AE平分/ BAC/ BAE=Z CAE= 45°,/ ABC=Z ACB= 45°. 将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD AC= AD / DAC= 60° / DAE=/ DAC-/ CAE= 15°, AB= AD / ABD=/ ADB / BAD= 30°

13、/ ABD=/ ADB= 75° / AED=/ ADB- / DAE= 60°/ EA& 60°又/ EA= 60°,/ F= 60° AEF是等边三角形. AE= AF= EF./ AC= AD / CAE=Z DAF= 45°, AE= AF, CAE DAF(SAS. CE= DF./ AB= AC / BAE=Z CAE= 45°, AE= AE, BAEA CAE(SAS. BE= CE BE= CE/ DF+BE- EF= BD 2CE- AE= BD【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定

14、和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.6. ( 2019?石景山区二模)如图在 ABC中, Z ACB= 90°, AC= BC E为外角/ BCD平分线上一动点(不与点C重合)，点E关于直线BC的对称点为F,连接BE连接AF并延长交直线 BE于点G(1) 求证：AF= BE;(2) 用等式表示线段 FG EG与 CE的数量关系，并证明.【答案】解：(1)如图，连接CF.，/ ACB= 90°, CE平分Z BCD Z BCE= 45°,点E、F关于直线BC对称， CE= CF,/ FCB=/ BCE= 45/ FC

15、A= 45°,在厶FCAM ECB中CF = CE ZJ-CA /.ECUL AC-BC FCAA ECB(SAS, AF= BE(2) FG EG与 CE的数量关系：GE+GF = 2CE,证明： FCAA ECB/ AFC=Z BEC/ AF(+Z CFG 180 ° ,CFG/ CEG 180 ° ,:丄 ECF+/ EGG 180 ° ,/ ECG 45° +45 ° = 90°,/ EGG 90°,连接EF, gE+gF= eF,/ CE= CF, cE+cF= 2cE= eF, gE+gF= 2CE.【

16、点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与 性质是解题的关键.7. ( 2019?朝阳区一模)如图，在 Rt ABC中, / A= 90°, AB= AC将线段BC绕点B逆时针旋转 a°( 0 VaV 180),得到线段 BD 且 AD/ BC(1)依题意补全图形;(2) 求满足条件的a的值;(3) 若AB= 2,求AD的长.(2)作AF丄BC于F, DEL BC于E.则四边形 AFED是矩形. AF= DE / DEB= 90°,/ AB= AC / BAC= 90°, AFL BC BF= CF,1二一

17、AF :BC/ BC= BD AF= DE1 DE :BDDBE= 30° , / D' BC= 120° +30°= 150° ,满足条件的a的值为30°或150 ° .(3)由题意 AB= AC= 2 , BC=2, AF= BF= DE, BE DE 阀 AD-否-Q , AD = 2®【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.，属于中考常考题型.8. ( 2019?石景山区一模)如图，在等边厶 ABC中，D为边AC的延长线上一点(C

18、D< AC,平移线段 BC使点C移动到点D,得到线段ED M为ED的中点，过点 M作ED的垂线，交BC于点F,交AC于点G(1) 依题意补全图形；(2) 求证：AG= CD(3) 连接DF并延长交AB于点H用等式表示线段 AH与 CG勺数量关系，并证明.【答案】解：(1 )补全的图形如图1所示.(2) 证明： ABC是等边三角形， AB= BC= CA / ABC=Z BCA=Z CAB= 60°由平移可知ED/ BC ED= BC/ ADE=Z ACB= 60°./ GMB90°,如图 1,. DG= 2DMk DE/ DE= BC= AC DG= AC

19、AG= CD(3) 线段AH与 CG的数量关系：AH= CG 证明：如图2,连接BE EF./ ED= BC ED/ BC四边形BED(是平行四边形. BE= CD / CBE=Z ADE=Z ABC/ GM!直平分ED EF= DF./ DEF=Z EDFED/ BC/ BFE=Z DEF / BFH=Z EDF/ BFE=Z BFH/ BF= BF, BEFA BHF(ASA. BE= BH= CD= AG/ AB= AC AH= CGS2【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造

20、全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型.9. （ 2019?西城区一模）如图，在 ABC中，/ ABC= 90° , BA BC将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD E是边BC上的一动点，连接 DE交AC于点F,连接BF.(1)求证：FB= FD;(2)点H在边BC上，且BH= CE连接AH交 BF于点N.判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论;连接CN若AB= 2,请直接写出线段 CN长度的最小值.1 中,/ BA= BC / ABC= 90 °,/ BAC=Z ACB= 45 °,线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD/ B

21、AD= 90°, BA= AD/ FAD=Z FAB= 45°,/ AF= AF, FADA FAB( SAS ,- BF= DF.(2)解：结论：AHL BF.理由：如图2中，连接CD图2/ ABC/ BAD= 180 AD/ BQ AD= AB= BC,四边形ABCDi平行四边形，/ ABC= 90°,四边形ABCDi矩形， AB= BC四边形ABCDi正方形，/ BA= CD / ABH=Z DCE BH= CE ABH DCE( SAS , / BAH=/ CDE/ FCD=/ FCB= 45° , CF= CF CD= CB CFD CFB(S

22、AS , / CDF=/ CBF / BAH=/ CBF/ CBF+/ ABF= 90 ° , / BAH/ ABF= 90 ° , / ANB= 90° , AHL BF.如图3中，取AB的中点O,连接ON OC图3/ ANB= 90° , AO= OB1 ON AB= 1 ,在 Rt OBC中, OC I,/ CN> OC- ON CN,CN的最小值为加- 1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的 三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问 题

23、，属于中考压轴题.10.(2019?平谷区一模)在厶 ABC中，/ ABC= 120°,线段 AC绕点A逆时针旋转60°得到线段 AD连接CD BD交 AC于 P.(1) 若/ BAC=a，直接写出/ BCD勺度数(用含 a的代数式表示)(2) 求AB BC BD之间的数量关系；AC BD的关系.【答案】解：(1 )T线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段 AD ACD是等边三角形,/ ACD= 60° ,/ ABC= 120 ° ,/ BAG/ BCA= 60 ° ,-Z BCD=/ ACD/ BCA= 60 ° +60&

24、#176;_a= 120 ° -a, 即/ BC= 120 ° -a.(2) BD= ABnBC如图1,延长BA使 AE= BC连接DE由（1）知厶ADC是等边三角形,二 AD= CD/ DAB/ DCB=/ DAB/ DAE= 180°/ DCB=Z DAE ADE CDB(SAS. BD=BE BD= ABbBC(3)如图2,AC BD的数量关系是:AC = -BD2位置关系是:ACL BD于点P.理由如下:/ BAC= 30，/ ABC= 120 ° ,19 / ACB= 30° AB= BC/ AD= DC BD垂直平分AC / ABD

25、= 60°，/ DAB= 90 ° ,DAJ3一 -.ir. fjOr 一DB2【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答 此题的关键.11.（2019?通州区一模）如图，在等边厶 ABC中，点D是线段BC上一点作射线 AD,点B关于射线 AD的对称点为E.连接CE并延长，交射线 AD于点F.(1) 设/ BA=a，用a表示/ BCF的度数；(2) 用等式表示线段 AF CF EF之间的数量关系，并证明.【答案】解：(1)连接AE点B关于射线AD的对称点为E AE= AB / BAF=Z EAF=a, ABC是等边三角形， A

26、B= AC / BAC=/ ACB= 60°,/ EAC= 60°- 2 a, AE= AC1ACE 180 ° -( 60°- 2 a) = 60° +a,-Z BCF=Z AC / ACB= 60° + a - 60°=a.(2)结论：AF= EF+CF.证明：如图，作/ FCG= 60°交AD于点G连接BF/ ABC=Z AFC= 60°,ADB=Z CDF FCG是等边三角形, GF= FC ABC是等边三角形,- BC= AC / ACB= 60°,:丄 AC=Z BCF=a,在厶 A

27、CGA BCF中,CA =CB 乙ACG = eECFCG = CFACH BCF AG= BF, 点B关于射线AD的对称点为E BF= EF, AF- AG= GF AF= EF+CF.【点睛】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.12. (2019?门头沟区一模)如图，/ AO= 90°, OC为/ AOB的平分线，点 P为OC上一个动点，过点 P作 射线PE交OA于点E.以点P为旋转中心，将射线 PE沿逆时针方向旋转 90°,交OB于点F.(1) 根据题意补全图1,并证明PE=

28、 PF；(2) 如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段 OE OP和OF之间的数量关系，并证明；(3) 如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE OP和 OF之间的数量关系.A【答案】解：（1 ）补全图形（如图1）;理由：如图1中，作PQL P0交OB于 Q/ OPQ/ EPB 90°/ EPOZ FPQ又 0C平分/ AOBZ AOBf 90°,/ EOP=Z POBp45°,又/ POQ/ OQR90°,/ PQ8 45°, / POE=/ PQF=/ POQ PO=PQ EPO FPQ(ASA, PE= PF,Of+O

29、EOP（2）结论：线段 OE OF和OF之间的数量关系是理由：如图1中， EP3A FPQ OE= FQ又 OQ= OF+FQ= OF+OE又 OQOP OF+OE= /OP(3)结论：线段 OE OF和OF之间的数量关系是 OR OE-JOR29/ OPQ/ ERF= 90°:丄 EPO=/ FPQ又 OC平分/ AOBZ AOB= 90°,/ AOP=Z POB= 45°,又/ POQ/ OQ住 90°,/ PQ8 45°,/ POAf/ PQ8/ POQ 45°, PO= PQ / POF/ PQE= 135°, EP

30、O FPQ(ASA, PE= PF, OE= FQ又 OQ= OF- FQ= OF- OE又 OQ OP:.of- oe- Fop【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.x轴交13. (2019?延庆区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2- 4ax+3a- 2 (a*0)的对称轴与于点代将点A向右平移3个单位长度，向上平移 2个单位长度，得到点 B.(1) 求抛物线的对称轴及点 B的坐标；(2) 若抛物线与线段 AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

31、4a【答案】解：（1 ）抛物线的对称轴为直线 x-2,点A的坐标为（2, 0）.将点A向右平移3个单位长度，向上平移 2个单位长度，得到点 B,点 B的坐标为（2+3, 0+2）,即（5，2）.（2）分a> 0和av 0两种情况考虑：ffll 25a- 20a+3a- 2>2,12 2/ y = ax - 4ax+3a - 2= a （x - 2）- a - 2,阳+3d 三2,- aw - 2.ri> 一综上所述：a的取值范围为a 或aw - 2.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移：掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点A的坐标；（2）分a> 0和av0两种情况，利用数形结合找出关于a的一元一次不等式（或一元一次不等式组）14. （2019?北京模拟）在 Rt ABC中，/ ACB= 90°,