2022年初三数学一轮复习知识点串讲专题35 投影与视图

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线2022年初三数学一轮复习知识点串讲专题35 投影与视图专题35 投影与视图【知识要点】知识点一 投影一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。n 平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.平行投影变化规律:1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下

2、的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西西北北东北东，影长也是由长变短再变长.2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.n 中心投影概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的

3、长度还短.考查题型（求点光源的位置）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.中心投影与平行投影的区别与联系：n 正投影正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.1.线段的正投影分为三种情况.如图所示. 线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、 线

4、段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.3.立体图形的正投影.物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.知识点二 三视图三视图的概念：

5、视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.三视图之间的关系1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，

6、遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：1.确定主视图的位置，画出主视图；2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.由三视图想象几何体的形状由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.利用三视图计算几何体面积利用三视图先想象出

7、实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。【考查题型】考查题型一 与平行投影有关的计算典例1（2020·贵州贵阳市·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（ ）ABCD【答案】D【提示】根据太阳光下的影子的特点：（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可【详解】选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且

8、树高与影长成正比，则选项D正确故选：D变式1-1（2020·山西晋中市一模）和是直立在水平地面上的两根立柱，米，某一时刻测得在阳光下的投影米，同时，测量出在阳光下的投影长为6米，则的长为（ ）A米B米C米D米【答案】B【提示】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题【详解】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，ABCDEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m，DE=（m）故选：B变式1-2（2020·甘肃张掖市模拟）下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ）ABCD【答案】

9、C【提示】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长所以正确的是故选：C考查题型二 与中心投影有关的计算典例2（2020·银川二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A逐渐变短B先变短后变长C先变长后变短D逐渐变长【答案】B【提示】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长【详解】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长故选B变式2-1（2020·盐城市三模）如图，位似图形

10、由三角板与其在灯光照射下的中心投影组成，已知灯到三角板的距离与灯到墙的距离的比为，且三角板的一边长为，则投影三角形的对应边长为（ ）ABCD【答案】A【提示】根据位似图形的性质得出相似比为2：5，则对应边的比为2：5，即可得出投影三角形的对应边长【详解】由于三角板与其在灯光照射下的投影是位似图形，且相似比为，三角板的一边长为，所以投影三角形的对应边长为.故选A.变式2-2（2020·辽宁沈阳市模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）则木杆AB在x轴上的投影长为（）A3B5C6D7【答案】C【提示】利用中心投影，延长PA、PB分

11、别交x轴于A、B，作PEx轴于E，交AB于D，如图，证明PABPAB，然后利用相似比可求出A'B'的长【详解】延长PA、PB分别交x轴于A、B，作PEx轴于E，交AB于D，如图P（2，2），A（0，1），B（3，1）PD1，PE2，AB3，ABAB，PABPAB，即AB6，故选：C考查题型三 确定正投影的图像典例3（2020·南通市三模）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )ABCD【答案】A【解析】根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形变式3-1（2020

12、·河北邢台市二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）ABCD【答案】C【提示】根据正投影特点以及图中正五棱柱的摆放位置即可求解【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致故选C变式3-2（2020·福州模拟）如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的几方向如箭头所示，它的正投影是（ ）ABCD【答案】D【提示】水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图有圆形【详解】解：依题意，光线是垂直照下的，它的正投影图有圆形，只有D符合，故选D考查题型四 判断几何体的三视图典例4（2020·辽宁朝阳市·中考真题）如图所示的主视图对应的几

13、何体是（ ）ABCD【答案】B【提示】根据主视图是在正面内得到的由前向后观察物体的视图，逐一判断即可【详解】A：的主视图为，故此选项错误；B：的主视图为，故此选项正确；C：的主视图为，故此选项错误；D：的主视图为，故此选项错误；答案故选B变式4-1（2020·广东广州市·中考真题）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（ ）A该圆锥的主视图是轴对称图形B该圆锥的主视图是中心对称图形C该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形D该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形【答案】A【提示】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可

14、得答案【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，故选A变式4-2（2020·广东深圳市·中考真题）下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是（ ） A圆锥B圆柱C三棱柱D正方体【答案】D【提示】分别得出圆锥体、圆柱体、三棱柱、正方体的三视图的形状，再判断即可【详解】解：圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，而俯视图是圆，因此选项A不符合题意；圆柱体的主视图、

15、左视图都是矩形，而俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；三棱柱主视图、左视图都是矩形，而俯视图是三角形，因此选项C不符合题意；正方体的三视图都是形状、大小相同的正方形，因此选项D符合题意；故选：D考查题型五 画三视图典例5（2020·河北中考真题）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（ ）A仅主视图不同B仅俯视图不同C仅左视图不同D主视图、左视图和俯视图都相同【答案】D【提示】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案【详解】第一个几何体的三视图如图所示：第二个几何体的三视图如图所示：观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都

16、相同，故选D变式5-1（2020·贵州毕节市·中考真题）下列图是由5个大小相同的小立方体搭成的几何体，主视图和左视图相同的是（）ABCD【答案】D【提示】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案【详解】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故A错误；B、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故B错误；C、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故

17、C错误； D、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故D正确；故选D变式5-2（2020·山东德州市·中考真题）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（ ）A主视图B主视图和左视图C主视图和俯视图D左视图和俯视图【答案】D【提示】根据从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案【详解】解：从上边看得到的图形都是第一层一个小正方形，第二层是三个小正方形，从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D变式5-3（2020

18、3;黑龙江牡丹江市中考真题）如图是由5个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）ABCD【答案】A【提示】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，有1个立方块；中间有2竖列，其中1列有2个立方块；右边是1竖列，有1个立方块；结合四个选项选出答案【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有2竖列，其中1列有2个立方块，右边是1竖列故选：A考查题型六 由三视图还原原图形典例6（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）已知某物体的三视图如图所示，那么与它对应的物体是ABCD【

19、答案】B【提示】本题可利用排除法解答.从俯视图看出这个几何体上面一个是圆，直径与下面的矩形的宽相等，故可排除A，C，D.【详解】从上面物体的三视图看出这是一个圆柱体，故排除A选项，从俯视图看出是一个底面直径与长方体的宽相等的圆柱体，故C、D选项不符合题意，故选B变式6-1（2020·山东烟台市·中考真题）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）ABCD【答案】B【提示】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项【详解】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形故选：B变式6-2（2020·浙江中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几

20、何体可能是（）ABCD【答案】A【提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案【详解】主视图和左视图是三角形，几何体是锥体，俯视图的大致轮廓是圆，该几何体是圆锥故选：A变式6-3（2020·湖北荆门市·中考真题）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A1B2CD4【答案】A【提示】由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2，则，等腰直角三角形的底面

21、积，体积=底面积×高，故选：A考查题型七 与三视图有关的计算问题典例7（2020·江苏南通市·中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A48cm2B24cm2C12cm2D9cm2【答案】B【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积××6×824（cm2）故选：B变式7-1（2020·四川中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（）A20B18C16D14【答案】B【提示】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，根据图中给定数据求出表面积即可【详解】由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥和圆柱组合体，且底面半径为，这个几何体的表面积=底面圆的面积+圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=22+222+32=18，故选：B变式7-2（2020·四川达州市·中考真题）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ） ABCD【答案】A【提示】直接利用已知视图的边长结合其面积得出另一边长，即可