高考理科数学全国新课标卷2word解析

1、2013年高考理科数学全国新课标卷2word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国卷II新课标）注意事项：？ ？1 .本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在本试卷和答题卡相应位置上。2 .回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3 .回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一

2、项是符合题目要求的.1. （2013 课标全国 n,理 1）已知集合 M=x|（x1）2v4, xCR, N = 1,0,1,2,3,则 MAN=（）.A. 0,1,2B. 1,0,1,2C. 1,023D. 0,1,2,3答案：A解析：解不等式（x- 1）2<4,得一1vx<3,即 M = x|- 1<x<3,而 N= - 1,0,1,2,3,所以 MAN = 0,1,2,故选 A.2. （2013课标全国n,理 2）设复数z满足（1 i）z=2i,则z=（）.A . 1 + iC. 1+ i答案：A解析：z=1 iB . 一 1 一 iD. 1-i2i 1 i1 i

3、 1 i2 2i2=1 + i.17 / 113. （2013课标全国n,理 3）等比数列an的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1，a5=9,则a1=（）.A. 1 B.1 C, 1 D,13399答案：C解析：设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3 = 27,而a2+10a1 = 99,不满足题意，因此qw1.,qw1 时，S3 =a1（1 q3）=a1 q+ 10a1,= q+10,整理得 q2= 9.- a5= a1 q4= 9,即 81a1 = 9, -.a1=1.94. （2013课标全国n,理 4）已知m, n为异面直线，m,平面 % n,平面0直

4、线l满足 Um, l±n,卜- % l - 3,则（）.A . a/ 3且 l / aB. a, 3且 l, 3C. a与3相交，且交线垂直于lD. a与3相交，且交线平行于l答案：D解析：因为m_L a, l_Lm, 2 a,所以l /a.同理可得l/8）又因为m, n为异面直线，所以 “与3相交，且l平行于它们的交线.故选 D.5. （2013课标全国n,理 5）已知（1 + ax）（1 + x）5的展开式中x2的系数为5,则a=（A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：D r r2 21解析：因为(1 + x)5的二项展开式的通项为 C5X (0WrW5, rCZ),则含x

5、2的项为C5X + ax C5X =(10+ 5a)x2,所以 10 + 5a=5, a=- 1.6. (2013课标全国n,理6)执行下面的程序框图，如果输入的N=10,那么输出的S=().彳1 A. 1 + -2彳1 C. 1 + -2答案：B131310111彳1 B. 1 + 2!,1 D. 1+ 2!3!13!解析：由程序框图知，当k=1,当k=2时,当k=3时,1S=1+ 一;2当k=4时,当k=10时,2 3 4, 1满足k>N,输出S,2所以7. (2013课标全国n ,理是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)S= 0, T=1 时,11+ -221 +23

6、 4 L 1010!111!T=1, S= 1；1 + 12!3!B正确.7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系10!O xyz中的坐标分别(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投k增加1变为11影面，则得到的正视图可以为 ().答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz的图像为下图：影即正视图为则它在平面 zOx 上的投,故选A.8. (2013 课标全国 n,理 8)设 a=log36,A . c> b>aB. b>c>ab=log5l0, C=lOg7l4,则()C. a>c>b答案：DD. a>b>c

7、解析：根据公式变形,5>'g 3 T 案lg6 d lg2 u lg10 a 1 , b lg3 lg3 lg 5lg 2 r一，,即 cvbva.故选 D.lg39. （2013课标全国n,理 9）已知a>0, x, y满足约束条件lg 2lg14lg21c1lg5lg7lg7x 1,x y 3, 若z= 2x + y的最小值为lg 7>lg=()1A .一4答案：BB.解析：由题意作出C. 1 D. 21,所表示的区域如图阴影部分所示,y 3作直线2x+y=1,因为直线2x+y= 1与直线x= 1的交点坐标为(1, 1),结合题意知直线y=a(x3)过点(1, 1

8、),代入得a10.(2013课标全国n ,理1 1一,所以a .2 210)已知函数f(x)=x3+ ax2 + bx+ c,下列结论中错误的是().A .B.C.D.xo R, f(x0)=0函数y=f(x)的图像是中心对称图形若xo是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(一00, xo)单调递减若xo是f(x)的极值点，则f(xo)= 0答案：C解析：.xo是f(x)的极小值点，则y=f(x)的图像大致如下图所示，则在(一xo)上不单调，故 C不正确.11. (2013课标全国n,理 11)设抛物线C: y2 = 2px(p>0)的焦点为F,点M在C上，|MF|=5,若以MF为直径的

9、圆过点(0,2),则C的方程为().A , y2 = 4x 或 y2 = 8x C. y2 = 4x 或 y2= 16xB. y2=2x 或 y2=8xD. y2=2x 或 y2=16x答案:解析:设点M的坐标为(X0 p一pyO),由抛物线的定义，得|MF|=x。+上=5,则xo=5-.又点F的坐标为 E,022,所以以MF为直径的圆的方程为(x- xo) x -2+ (yyo)y= 0.2将 x=0, y=2 代入得 px0+84y0 = 0,即y0-4yo+8=0,所以 yo = 4.2,21 4 _ p -、-p= 2,或 p= 8.由 yo =2px。，得 16 2p 5 -p ,解

10、之得2所以C的方程为y2= 4x或y2= 16x.故选C.12. (2013课标全国n,理 12)已知点相等的两部分，则b的取值范围是A. (0,1)B.A(-1,0),).,2 12 ,2B(1,0), C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将4ABC 分割为面积D.本卷包括必考题和选考题两部分， 第24题为选考题，考生根据要求做答。2C. 1 2答案：B第n卷第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.uuir uuur则点 A的坐标为 uuirBD = (2,2),所以BD =13. (2013课标全国n,理13)已知正方

11、形 ABCD的边长为2, E为CD的中点，则 AE 答案：2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，uur(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则AE =(1,2), uuir uurAE BD 2.14. (2013课标全国n,理14)从n个正整数1,2,，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等n=，一一 1于5的概率为一，则14答案：8解析：从2Cn1,2,2n n 12n中任取两个不同的数共有Cn种取法，两数之和为 5的有(1,4), (2,3)2种，所以41,解得n=8.nn11415.(2013课

12、标全国n ,理15)设。为第二象限角，若tan1 皿一,则 sin 0+ cos 0=2答案：二°516.解析：由tan1 tantansin0=1一 cos 93将其代入 sin2 0+ cos2 0= 1,因为。为第二象限角，所以102得 一 cos 1 .93 10cos 0=10(2013课标全国n ,理 16)等差数列an的前sin100=10n项和为Sn,sin已知100+ cos 0=.S10=0, S15=25,则nSn的最小值为答案：4910 9 一一解析：设数列an的首项为a1,公差为d,则S10=10a1Hd =10a+45d = 0,215 14$5= 15a

13、l d = 15a1+ 105d= 25.2联立，得a1 = -3, d -,3qqn(n 1) 2 1 2 10所以 Sn= 3n - nn.2 3 3320一 n.3人，1310 2，令 f(n)= nSn,则 f(n) 一n n ,f'(n)3人，m八20令f (n) = 0,得n= 0或n .20 ,一n 百 时，f(n)取最小值，而nC N + ,则 f(6) =3,20 ., 八 20 , 一，当n 时，f(n)>0,0<n<时，f(n)v0,所以当33-48, f= 49,所以当n = 7时，f(n)取最小值一49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过

14、程或演算步骤.a, b, c,已知 a17. (2013课标全国n,理17)(本小题满分12分)4ABC的内角A, B, C的对边分别为 =bcos C + csin B.求B;(2)若b=2,求 ABC面积的最大值.解：(1)由已知及正弦定理得sin A= sin Bcos C+ sin Csin B.又A=兀一(B + C),故sin A= sin(B+ C)= sin Bcos C+cos Bsin C.由，和CC (0,兀得 sin B= cos B,又BC (0, nt)所以(2)AABC的面积S花B .41.- acsin B2由已知及余弦定理得4= a2 + c2 2ac.4花2

15、accos-.4又 a2+ c2> 2ac,故4，ac 广，当且仅当a=c时，等号成立.22因此4ABC面积的最大值为 J2+1 .18. (2013课标全国n,理 18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别是 AB, BBi2的中点，AAi = aC=CB=AB .2(1)证明：BCi /平面 AiCD;(2)求二面角 DAiCE的正弦值.解：(1)连结ACi交AiC于点F,则F为ACi中点.又D是AB中点，连结 DF ,则BCi /DF .因为DF?平面AiCD, BCiL 平面AiCD,所以BCi/平面AiCD.(2)由 AC=CB= 殳 AB

16、得,ACXBC.uur以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz.设 CA=2,则 D(1,1,0), E(0,2,1), Ai(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1), CCAr =(2,0,2) .设n = (x1, y1, zi)是平面AiCD的法向量，uur n CD 则 uur n CA10,XiVi 0,即10,2xi 2zi 0.可取 n=(1, 1, 1).同理，设m是平面A1CE的法向量,uuum CE 0,则LULT可取 m=(2,1 , -2).m CA 0,从而 cos n , mn m 屈|n|m|3if

17、3即二面角D A1C E的正弦值为.619. （2013课标全国n,理19）（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每 1 t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以X（单位：t,100WXW150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.将T表示为X的函数；（2）根据直方图估计利润 T不少于57 000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求

18、量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量 XC 100,110）,则取X= 105,且X=105的概率等于需求量落入100,110）的频率），求T的数学期望.解：（1）当 XC 100,130）时,T=500X300（130 X）=800X39 000,当 XC 130,150时，T= 500X 130= 65 000.800X 39000,100 X 130,所以T65000,130 X 150.（2）由知利润T不少于57 000元当且仅当120WXW150.由直方图知需求量 XC 120,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的

19、估计值为0.7.（3）依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 ET = 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 + 65 000 X 0.4 = 59 400.22x y20. (2013课标全国n,理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系 xOy中，过椭圆M： 今=1(a>b> a b10)右焦点白直线x y 73 0交M于A, B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为一.2(1)求M的方程；ACBD的对角线 CDXAB,求四边形ACBD面积的最大值.(2)C, D为M上

20、两点，若四边形解：(1)设人1, y1)，B(x2, y2), P(xo, y0),2巨=1 ,2=1，y2_YibX2Xi222则%a=1,笺a b a1,2b &ky2 y1由此可得 丁一-2 =1.a V2 y1x2 Xi因为 xi+x2=2xo, y + y2=2y0,一,Xo2所以a2 = 2b2又由题意知，M的右焦点为(J3, 0),故a2b2=3.因此 a2 = 6)b2= 3.22所以M的方程为=1 .63x y .3 0,由x2y21,4.30,663x解得y因止匕|AB| =4 ；63由题意可设直线 CD的方程为y= x n5、3 n3设 C(x3, y3), D(

21、x4, y4).y x n,由 X2y2得 3x2+4nx+2n2-6=0.63 1 2n ,29 n2于是 X3,4=.3因为直线CD的斜率为1,所以 |CD|=6|x4 x3| 459 n2 .3. ，一_ 1 -8.6 一由已知，四边形 ACBD的面积S |CD | |AB|二一J9 29当n = 0时，S取得最大值，最大值为 .3所以四边形ACBD面积的最大值为 8叵.ex - ln(x+ m).3(2013课标全国n,理 21)(本小题满分12分)已知函数f(x) =(1)设x= 0是f(x)的极值点，求 m,并讨论f(x)的单调性；(2)当 mW 2 时,证明 f(x)>0.

22、1解：(1)f(x)=ex .由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0,所以m= 1.是 f(x)= ex- ln(x+ 1),定义域为(一1, 十°°), fx)=ex一一，x 1，r ，函数f'(x)=ex 在(-1, +8)单调递增，且f(0) = 0.x 1因此当 xC (1,0)时，f'(x)V0；当 xC (0, + 8)时，f(x)>0.所以f(x)在(一1,0)单调递减，在(0, +8)单调递增.(2)当 mW 2, xC(m, + 8)时，ln(x+ m)w|n(x+2),故只需证明当 m=2 时，f(x) >0.当m

23、= 2时，函数f'(x)= ex1，在(- 2, + 00 )单倜递增.x 2又 f(-1)<0, f'(0)>0,故 f'(x)=0 在(2, 十 8)有唯一实根 x。，且 x0C(1,0).当 xC(2, x°)时,f'(x)0;当xC(x0, +8)时，f(x)>0,从而当x= x0时，f(x)取得最小值.由 f'(x0)= 0 得 e"故 f(x) > f(xo)=x01x0 2一,ln(x0+2) = x0,2+ x0=0>0.x0 222.八、5综上，当mW 2时，f(x) > 0.请考

24、生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题(2013课标全国n,理22)(本小题满分10分)选彳41:几何证明选讲如图，CD为 ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线 CD于点D, E, F分别为弦AB与弦AC上的 且 BCAE=DCAF, B, E, F, C 四点共圆.证明：CA是 ABC外接圆的直径；(2)若DB=BE=EA,求过B, E, F, C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值.解：(1)因为CD为那BC外接圆的切线，所以/DCB = /A,由题设知BC DC,FA EA故CDBsAEF,所以/dbc = /efa.因为B, E, F, C四点共圆，所以/CFE=/DBC,故/EFA=/CFE = 90 :所以/CBA=90；因此CA是"BC外接圆的直径.(2)连结CE,因为/CBE = 90°,所以过B, E, F, C四点的圆的直径为 CE,由DB= BE,有CE= DC , 又 BC2=DB B