CH102一阶微分方程1

1、12第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0f x y yyf x yp x y dxq x y dyv1 1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程v2 2、齐次方程齐次方程v3 3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程3( )( )( )( )dyf xg yg y dyf x dxdx或一、可分离变量的微分方程与分离变量法一、可分离变量的微分方程与分离变量法 ,dyxdxy 2cos ,dyyxdx ,xydyedx 2(1)0,y dxxdy22dyxydx( )( )dyf x dxg y( ) ( )dyf x g ydx可分离变量的微分方程的解法可

2、分离变量的微分方程的解法两边积分，得两边积分，得1( )( )dyf x dxcg y则则如果如果 ( )0.g y 方程的通解方程的通解,必须予以补上。必须予以补上。0yy在分离变量时，解在分离变量时，解可能它不包含在可能它不包含在.dyxdxy .ydyxdx 22,22yxc 22,(0).xyc c2.ycx 2dyxydx 0y 2dyxdxy 21ln yxc1c21xcye 21ecxye 令令1cec，得，得2(0).xycec此外，此外， 0y 也是方程的解也是方程的解. .因此原方程的通解为因此原方程的通解为2xyce其中其中为任意常数为任意常数. . c练习练习. 解微分

3、方程解微分方程yxxy23dd解解: 当当 y0 时分离变量得时分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lncxy即即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c0 )另外另外 y=0 也是原微分方程的解，因此通解为也是原微分方程的解，因此通解为3xecy ( c为任意常数为任意常数 ).xyy ydyxdx 22111222yxc 22xyc9( )( )( ) ( )0m x n y dxp x q y dy, 0)()()1( xpyn( )( )0( )( )m xq ydxdyp xn y00(2)() ()0,n yp x 00,yyxx也是解。也

4、是解。10求解方程求解方程 2(1)0,y dxxdy并求满足初始条件并求满足初始条件 0,1xy的特解的特解. .解解 当当2111dydxyx 两边积分得两边积分得 1ln|1|xcy因而，通解为因而，通解为 1ln|1|yxc( (这里这里 c c 为任意常数为任意常数) )此外，方程还有解此外，方程还有解 . . 0y (1)0y x 时，时， 将将 0,1xy代入通代入通解中，得解中，得 . .1c1ln|1| 1yx因此所求特解为因此所求特解为11kydxdy 解解: 当当 y0 时分离变量得时分离变量得kdxdyy 1ckxy lnkxbe 另外另外 y=0 也是原微分方程的解，

5、因此通解为也是原微分方程的解，因此通解为( b为任意常数为任意常数 ).kxbey 微分方程微分方程分离变量分离变量是否可分离变量是否可分离变量 y 2xy 3x2 5x y 0 (x2 y2)dx xydy=0 y 1 x y2 xy2 y 10 x y练习：下列方程那些是可分离变量的微分方程？练习：下列方程那些是可分离变量的微分方程？ xyyxy是不是不是是是是y1dy2xdxdy(3x25x)dxy(1x)(1y2)10ydy10 xdx13第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0f x y yyf x yp x y dxq x y dyv1 1、可分离

6、变量的微分方程可分离变量的微分方程v2 2、齐次方程齐次方程v3 3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程14形如形如)(ddxyxy的方程叫做齐次微分方程的方程叫做齐次微分方程.tandyyydxxx，22(2)dd0yxyxxy ，15)(ddxyxy令令,yux,xuy 则ddyxd,duuxx代入原方程得代入原方程得)(dduxuxud,( )0 .( )udxuuuux两边积分两边积分, 得得dd.( )uxuux积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 便得原方程的通解便得原方程的通解.分离变量分离变量: 0)( uu 16如果如果 有实根有实根 12,.,ku uu那末那末 iyu x

7、（i=1，2，k）也为方程的解。）也为方程的解。0)( uu 17 解微分方程解微分方程tanduudxxtan.yyyxx ,yux 令令,yuxutanuxuuu xxuuuddsincoscosddsinuxuux ln sinlnln,uxcsin,0.uc x c即即, 0tan utan0,u sin0.u 18sin,uc x sinyc xx ，tanduudxx 19xyxyxydxdy222 ,212xyxyxy ,xyu 令令uuudxduxu212 .222yxydyxyxdx 求解微分方程求解微分方程整理得整理得,uudxdux212 ,212xdxduuu 即：即：

8、).0( u,lnln21cxuu 积分：积分：代入：代入：将将xyu . 0lnln2 cyxyyyx20第二节 一阶微分方程( , ,)0 ,( , ) ,( , )( , )0f x y yyf x yp x y dxq x y dyv1 1、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程v2 2、齐次方程齐次方程v3 3、一阶线性微分方程一阶线性微分方程21ynndyd y,dxdx( , ,)0nndyd yf x ydxdx 220d ydyydxdx22220d ydyxyxdxdx22d( )( )dyp x yq xx( )0,q x ( )0,q x 是非齐次线性方程 y3x25

9、x 是非齐次线性方程 (2)3x25xy0 (3)yycos xesin x (4)yxdxdy10 不是线性方程 (1)ydxdyx )2( 021yxdxdy 是齐次线性方程 021yxdxdy 是齐次线性方程 不是线性方程 23d( )( )dyp x yq xx( )0,q x ( )0,q x ,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的; ;非线性的非线性的. .24. 0)( yxpdxdy,)(dxxpydy ,ln)(ln1cdxxpy 齐次方程的通解为.)( dxxpcey分离变量积分 dxxpexuy)()(d( )( )d

10、yp x yq xx25d( )( )dyp x yq xx()d( )( ),p xxy xu x e 则则令令,)()()(cdxexqxudxxp ),()()(xqexudxxp 两边积分得两边积分得xxpeud)()(xpxxpeud)()(xqxxpeuxpd)()(一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为: :()d()()( )( )p xxp x dxp x dxyu x eeq x edxc 26d( )( )dyp x yq xxd( )0dyp x yx( ) dp xxyc e ( ) dp xxyu x e ddyp x yq xx u x()(

11、)( )p x dxp x dxyeq x edxc 常数变易法常数变易法27例例5 解方程解方程 解解1: 先解先解,012ddxyxy即即1d2dxxyy积分得积分得即即2) 1( xcy用用常数变易法常数变易法把把c换成换成 u(x)，即令，即令,) 1()(2xxuy则则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得代入非齐次方程得 u=(x+1)1/2解得解得cxu23) 1(32故原方程通解为故原方程通解为cxxy232) 1(32) 1(52d2(1)d1yyxxx ,ln1ln2lncxyln2ln1lnyxc3222(1)(1)3yxxc28例例5 解方程解方程 解解2:

12、公式法公式法52d2(1)d1yyxxx 这里12)(xxp 25) 1()( xxq 由通解公式得由通解公式得 ) 1(122512cdxexeydxxdxx ) 1() 1() 1(2252cdxxxx) 1(32) 1(232cxx) 1() 1() 1(2252cdxxxx) 1(32) 1(232cxx 即 ) 1(32) 1(232cxxy ()()( )p x dxp x dxyeq x edxc 29 解方程解方程 d(1) .d1xnynyexxx 先解先解d,d1ynyxx 即即dd1yn xyx 积分得积分得lnln1ln,ynxc即即(1)nyc x令令 ( ) (1)

13、*nyu xx则则1( ) (1)( ) (1)nnyu xxnu xx 代入非齐次方程得代入非齐次方程得( )xdu xedx ( )xu xec代入代入( (* *) )式得原方程通解为式得原方程通解为(1)nxyxec30例例. . 解方程解方程 d(1) .d1xnynyexxx d( )( )dyp x yq xx()d()d( )dp xxp xxyeq x exc 1np xx (1)xnq xex()d()d( )dp xxp xxyeq x exc 31d( )( )dyp x yq xx()d()d( )dp xxp xxyeq x exc ()d()d()d( )dp x

14、xp xxp xxceeq x ex ( ) ( )dyf x g ydx( )( )( ) ( )0m x n y dxp x q y dyxyu ()dyydxx d( )( )dyp x yq xx( )0,q x ( )0,q x 33 dxdyxydxdyxy22练习：练习：解下列微分方程解下列微分方程（1 1）（2 2）（3 3）2433xdxydyx ydy2d.d2yyxxy 34解：原方程可写成 1)(222xyxyxxyydxdy 令uxy 即 yux 则得 12uudxduxu 即1-=uudxdux分离变量 得 xdxduu )11 ( 两边积分 得 uln|u|cln

15、|x| 或写成 ln|xu|uc以xy代上式中的 u 得 cxyy |ln dxdyxydxdyxy=+22练习1（p378-例4）：解方程35的的通通解解求求方方程程ydyxydyxdx2334 cyxln43)1ln(22 两两边边积积分分得得：为任意常数）为任意常数）则其通解为：则其通解为：ccexy(24321 练习练习2 2分离变量得分离变量得：3ydydxx14x2 dyxyxdx)(2134 整理方程得整理方程得：解解36 解方程解方程 2d.d2yyxxy 将方程改写为将方程改写为2d22,dxxyxyyyy 2xcy 令令2( ),xc yy代入方程（代入方程（1 1）得）得

16、2( )c y yy 解得解得( )ln|c yyc 所以原方程通解为所以原方程通解为2|xycln y与（与（1 1）对应的齐次方程的通解为）对应的齐次方程的通解为（1 1）另外，另外， y=0也为解。也为解。()d()d( )dp xxp xxyeq x exc 37练习：判别下列方程类型练习：判别下列方程类型.xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyxxyyydd1xyxyxylndd2d1d22yxyxx2d1d22xyxyy38第二节 一阶微分方程v1 1、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程

17、v2 2、齐次方程、齐次方程v3 3、一阶线性微分方程、一阶线性微分方程v4 4、一阶微分方程的平衡解及其稳定性、一阶微分方程的平衡解及其稳定性( )dxf xdt40d( )( )dyp x yq xx()d()d( )dp xxp xxyeq x exc ()d()d()d( )dp xxp xxp xxceeq x ex dxxpexuy)()(的通解。的通解。求方程求方程)()(22112yxdxdy 解解 分离变量得分离变量得：dxxdyy22)1(211 两端积分得两端积分得： dxxdyy22)1(211为为任任意意常常数数）得得通通解解为为：ccxy()1(32arctan3

18、例例2 2例例 5 5 衰变问题衰变问题: : 放射性元素铀放射性元素铀衰变速度与未衰变原衰变速度与未衰变原子含量子含量 m成正比成正比, ,已知已知 00mmt , ,求衰变过程求衰变过程中铀含量中铀含量 )(tm随时间随时间 t变化的规律变化的规律. . 解解：,dtdm衰变速度衰变速度由条件：由条件：)0(衰衰变变系系数数 mdtdmdtmdm 分分离离变变量量：, dtmdm 积积分分：00mmt 代入代入,lnlnctm ,tcem 即即00cem 得得,c temm 0衰变规律衰变规律m0mto;yxdxdy 1解：解：. yxdydx 方方程程变变形形为为一阶线性非齐次一阶线性非

19、齐次微分方程微分方程)1()1(cdyeyexdydy yceycc 1e-yeedyyeeyyyyy练习练习例例6 6 求方程cos sincos sinxydyyxdx 的特解.满足初始条件 解解 分离变量, 得 sinsincoscosyxdydxyx 两边积分，得lncoslncoslnyxc 于是原方程的通解为coscosycx 04xy 又将初始条件 故满足初始条件的特解为04xy 代入通解中, 得 22c xcos22cosy 例例7 已知需求价格弹性为 = - -1/q2, 且当 q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求q的函数关系 p = f(q).解解 由需求

20、价格弹性的定义, 有 21p dqq dpq这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得1q dqdpp 211lnln2qpc 即2121qpc e 又将初始条件q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为212100qpe 三三、设设曲曲线线上上点点),(yxp处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为q, ,且且线线段段pq被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cqdtdqrdtqdl是是_阶微分方程；阶微

21、分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练练 习习 题题四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,为为任任意意常常 数数, ,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 cc三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddceexy即01)(yxece( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分cxeuu1dcxeuu)1