勾股定理典型例题详解及练习(附答案)2

1、典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF1）题意分析！本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理.,2）解题思踣:可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断,在理AEAF中，AF=1, AE=Z根据勾股定理，得掰=4A出十/、=亚十/=夙同理月3 =2忑,= '陌 1 CD = 25计算发现（垂）"十住喀=（丁尸,即工十EF。= GH2,根据 勾股定理的逆定理得到以AE、E

2、F、GH为边的三角形是直角三角形曲选 B. .解懿后的思考：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形. 因此，解题时一定要认臭分析题目所给条件，看是否可用勾股定理来解口,工在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 f 就是斜边而“固执”地运用公式=/十/，其实，同样是上§， /C不一定就等于如。I不一定就是斜边，不一定就是直角三角 形,精选文档3,直第三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形"（一个三角形是直角三角形）到 管 B =的过程，而亘第三角形的判定是一个从寻数, （一个三角形的三

3、边常足1 =十的条件）到.形"这个三篇形是直角三角形）的过程.一4在应用勾股定理解题时，要全面地考虑问题，注意m题中存在的多种 可能性，避免漏解.，田泰如图,有一块直角三角形纸板封口两直;用边人CMScm, BLScm. 现稿直角边AC沿直线AD折春,使它落在斜边AB上n且点C落到点£处, 则等于A. 2cmC. QTLB. 3cmn髭意分析，本题若查勾股定理的应用2）解题思路；本题若直接在HCD中运用勾股定理是无法求得密的 长的,因为只知道一条边RC的长，由题意可知，和A4ED关于直 线对楙 因而&1CD0dEQ,进一步则有花=<0=6由1 CZ>ED

4、, ED±AP,谀<7J>=E£Mccm,则在现可月C中，由勾股定理可得A印30+5。=仔/号=10口，# AB=10cmJ在匾也回阳中，有炉/门口一 口= （8x）工解得尸30川解答过程，的解题后的思考:"勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求 线段的长度或解决实际问题时，经

5、常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。例3: 一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会

6、就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答设直角三箱形的三边长分别为鼻拉J当=千瓦）,&）=:（io解得2以4 20 （米）.*这是一道阅读理解类试题.这种题生特点鲜明、内容丰富、超越常规, 源于谟本，高于谟本，不仅若查阅谡能力，而且还算合考查数学意识和额学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识.解题时，一般是通 过阅读，理解概念，掌握方法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题,+知识点二.构造直角三角形使用勾股定理例4,如图,一个长方体形的木柜放在堵启处（与墙面和地面

7、均没有健隙）, 有一只蚂蚁从柜角工处沿着木柜表面照到柜角G处."（1）谛你画出蚂蚁能魄最快到达目的地的可能路径二小（2）当抽=4 3c =4 CG=5时,求蚂蚊J®过的最短路径的长评6求点员到最短路径的距离口备用图1）题意分析:本题考查勾股定理的应用. v第解题思路；解决此羹问题的关诞是把立体图形间题转化为平面图形 问题.从而利用勾股定理解决.路径虽无数最短却唯一，要注意弄港哪一 条路役是最矩的.一解答过程 （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和 达CCHl中f蚂蚁能够最快到达目的地的可旨儒径有如图的G和匚工（2）蚂蝌沿着木柜表面经续速4%到5,爬过的路径的长是 d

8、69;+5丫二凤.蚂蚁沿着木柜表面经线段到5,爬过的路径的长是12 = «4/4丫一V二展£E = =1 AA = = 5 = 3病作斗_L/G于玛则 g， 牺.招"为 所求.u解题后的够一转化的思想是将复杂间题转化、分解为荷单的I可题，或将陌生的间题 转化为熟悉的闻题来处理的一种思想方法.如.在许多实际向题中.首先 将炳可题转化为数学问题，另外1当问题中没有给出直角三龟形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。例5.有一块直角三角形的绿地，就得两直角边长分别为6m，.现在 要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形， 案

9、扩充后等腰三角形绿地的周长. 思踏分析：此题如有图形将变得很简勘接图形解答艮呵,但若没有 图形，则需要讨论几种可能的情况,这正是,无图题前细思考，分类讨论 保局到:解答迥程;在Rt咒5c中，ZACB - 90a, AC-, BC-6 f由勾 股定理有；AS = 10,扩充部分为RtAdS,扩充成等腰肥,应分以 P三种情况.如图L当助二月0=10时，可求CO=C5 = 6,得 四刀的周长为羽皿 如图3当川目=3。=10时，可求CZ)=4.由勾股定理得,心1 = 4后得起。的周长射2。+ 46皿例唱3.25当MB为底时.设功=近口 =用则CZ二工-6,由勾股定理得.一百，80解题后的思考：分类讨论

10、思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法, 可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重 不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6: (1)图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是 5,求中间 小正方形的面积。(2)现有一张长为6.5cm宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成 6 块，再拼合成一个正方形。(要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据)乙2）解黑思路.本题考查市岬勾股定理进行图形的拼制电接口 注意拼接过程中而初是不变的/门）设直编三角形

11、的较长直角边长为&较近直启边长为b,电小正 方形的边长为i.由题意得打由勾股定理，得病+ =13 *02。$ = 12.所以S-3y 二炉 +-2ab = 13- 12= 1*即所求的中间小正方形的面积为WC2）所拼成的正方形的面积为85 乂 2 = 1即八 所以可按照图申制 作口 由得口-8 = 1/由、组成方程组解福口 = 3- & 二 2中结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片5 5cm的长边上 截取，去掉四个直角三龟形后，余下的面积为，恰好等于中间的小正方形的面积.13 -k3x2x4 = 13- 12 = 1（£周口）于是，得到原下分割拼合方法：u3

12、 cm 3 cm 15cm解题后的思考:这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决 问题的，但是，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决. /知识点四，9应用甸股定理卡倒工如图，以等腰三陶形EQB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角 三角形ABAp再以等腰直角三角形耻A的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形AiBBp ，如此作下去p若。A=OB=L则第口个等腰直第三:©形的面积鼠=n p6-BB1 yI）题意分析,本Si考查利用勾股定理进行归纳推理“”解题思路：先在设AABCi中m由CIA=OB=1求出AE=应：再 在出自屈 %中，由= A A产

13、底求出A1B=2, ；再分别求出 AO0-, AABAl AAiBEr的面积，从中发现规律！猜想出结论."解答过程在中，由£4口8 =% OA=OB = 1,可求出i AB= 我,S22>Ob-2 >41= 2 =21；在母八AB 4 中，由NAiAB=g。，AB=AAi = J_0 可求出人声=入Sa=2xV2 x-JS =1=20）在施A1BE中，由/1AiBBi=3O% AiB=BBi = 2,可求出 4m1=2近，区=22=2=2、在母A3氏氏中，由上当为% = 9/，AWi=Al氏=2应，可2求出3卡5x2衣/2点=4=2% ,由此可以猜想%=2&qu

14、ot;/解题后的思考:类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似 的对象进行S寸比，作出10纳判断的一种科学St究方法.在申若教学中考查 类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由线织成网，庾知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的规律.， 而习导笑下一讲我（门将讲解四边形的应用，本讲内容是中考重点之一，如特殊 四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、雁梯形）的性质和判定, 以及运用这些知识解决实际间题.中考中常以选择题、埴空题、解答题和 证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开诙题“应用题、阅读理解题、 学科间综合题、劭点问题、折窸问题等，这些都是热点题型

15、，应引起同学 们高度关注.口同步练习（答题时间,6。分钟）山一、选择题11 .如图，每个小正方兆的边长为1,4夙D是小正方形的顶点.刚N7万C的度数为)“A. 50°B.仙"C. 45"D 沏，J2如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1。0米，BC=60O米, AC=S00米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 代活动中心，要求这三个村庄至4活动中心的距离相等，则活动中心F处的位置应在()+1A. AB中点处C. AC中点处2(B. BC中点处D.的平分线与蚀的交点处a3.如图，长方体的长为15,宽为10,高为现，点E到点U的距离为5,

16、一只蚂蜗如果要沿着长方体的表面从点月爬到点月，需要爬行的最短距离 是：耳B. 25C. 105+5 d 35 *j二、埴空题4.某楼悌的侧面视图如图所示.其中3H=4米，/助O ,次二助,因某种活动要求铺设红色地毯，则在工E段楼梯所铺地域的长度应为5,已知及AaBC的周长是4 + 4总.斜边上的中线长是2,叫s娅L- +J也如图,长方体的底面边长分别为lom和3cm高为如m,如果用一根 细昊乩煮月升始经过4卜处面球土一圈到壮与小那上好用妇其最/需要 皿 如果从点A开始姬过4个侧面姓绕理圈到达点B,那么所用细装最短 需要怎3cm 小7.图甲是我国古代著名的"赵震弦图”的示意图，它是由四

17、个全等的直 角三角形围成的.在及ABC中，若直角边必Ci, BC=6,将四个直角三 角形中诙长为6的直角边分别向夕樨长T黑得到图乙所示的.数学风车V 则这个风车的夕周周长（图乙中的实线）是1 卡图甲图乙。S.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走"捷径R, 在花圃内走出了一条"路。他们仅1尺少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. a29.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是彳,高为2.若一只小虫以工点 出发沿着圆柱体的侧面爬行到e点，则小虫爬行的最短路程是（结 果保留相号L平三、解答题，10如图，4B是公路?"为东西走向11两旁的两个村由，卫村到

18、公路工 的距离月41km, 3村到公路F的距离班=2km, B村在R村的南偏东4y 方向上*卡（1）求出出E两村之间的距离；,（2）为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站凡要求诙 车站到两村的距离相等，谓用尺规在图中作出点P的位置（保留清惭的作 图痕迹，井筒要骂明作法L 4你热爱生命吗T那么别浪费时间，因为时间是组成生 命的材耨-富兰克林试题答案产1,（卜2石）米一2,3 10, 2的白6,（或后两中 ）【解析】由题意得.细线从点月 开始经过4个恻面寝绕一圈到达点B、具最短长度为将长方体的四个恻面展 开即可构成一个直用也分别为名和6m的直角三角形，所以细线的最短 长度双为lOcnii当班客过四个侧面联口 朝，到达点B的最理长度为 2J9+16/ f或。36+64/）cm，4 76【解析】如图，&= Jl2*+二=13dq= 6,*D，风车的外围周长引乂133=7和546一 2 收 ¥7.解析；(1)方法一；设59与的交点为。，根据题意可得 4=N6=W_ tj二小。和B。都是等膻直角三角形.，二 AO = 2 , BO = 22 B . A 3两村之间的距离为国二月。十二五十26二3&(km)n 方法二:过点J作直线1的平行线交WC的延长线于百(图略)0 丫