高中数学参数方程知识点大全

1、高考复习之参数方程、考纲要求1 .理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2 .理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x0,y 0),倾斜角为“的直线1(如图)的参数方程是xV。tcosa（ttsina为参数)(2) 一般式 过定点Po(x o,y。)斜率k=tg a =b的直线的参

2、数方程是 ax x0 tcosay y0 tsina(t为参数)xx。at（t不参数）yy。bt在一般式中，参数 t不具备标准式中t的几何意义，若 a2+b2=1,即为标准式，此 时，It |表示直线上动点 P到定点P。的距离；若a2+b2wi,则动点P到定点P。的距离是22va b I t I .直线参数方程的应用设过点R(xo,y。)，倾斜角为”的直线l的参数方程是若Pl、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为 tl,t 2,则 (1)P 1、P2两点的坐标分别是(x o+t 1C0S a ,y o+t 1Sin a )(x o+t 2cos a ,y o+t 2Sin a );(2)

3、I P1P2 I = I t1-t 2 I ;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则t=一 _ t1 t2中点P到定点R的距离| PR | = | t 1 = 1 J-2 |2(4)若Po为线段P1P2的中点，则 t 1+t 2=o.2.圆锥曲线的参数方程,x ,x a r cos , 一(1)圆 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是(。是参数)y b rsin4是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，。e 0,2 tt(见图)22(2)椭圆 椭圆二y 1(a>b>0)的参数方程是a2b2x a cosy bsin （ 4为参数）22椭圆 与 4 1(a>b>

4、0)的参数方程是a2b2bcos asin3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 O,从。引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角 度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向 ),这样就建立了一个极坐标系， O点叫做极点, 射线Ox叫做极轴.极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用p表示线段 OM的长度，0表示射线 Ox到 OM的角度，那么p叫做 M点的极径，0叫做 M点的极角，有序数对(p ,。)叫做M点的极 坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的

5、正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式222x y x cos'y sin ' tg y(x 0)x三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点A和B,使它们到直线 4x+3y+19=0的距离分别最 短和最长.解：将圆的方程化为参数方程:x 2 5 cos y 1 5sin（为参数）则圆上点 P 坐标为（2+5cos, 1+5sin）,它到所给直线之距离120 cos 15 sind=,423230即。故当 cos（）- 0 ）=1 ,即（）=0 时，d 最长，这时，点 A 坐标为（6,

6、4）;当 cos（ （）- 0 ）=-1, =4-兀时，d最短，这时，点 B坐标为（-2 , 2）.（二）极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.1例2极坐标方程p =尸一1所确定的图形是（）2.3 sin cosA.直线B.椭圆C.双曲D.抛物解:_1P-,3121 (- -cos )22（三）综合例题赏析1 sin(x 3 cos例3 椭圆（是参数）的两个焦点坐标是y 1 5sinA.(-3 , 5) , (-3 , -3)C.(1 ,1) ， (-7 ,1)B.(3 , 3) , (3,-5)D.(7 ,

7、-1) , (-1 , -1)解：化为普通方程得（x 3）9(y 1)225 a2=25,b2=9,得 c2= 1 6 ,c=4.F(x-3,y+1)=F(0, 土 4)在xOy坐标系中，两焦点坐标是 （3, 3）和（3, -5）.应选B.例4参数方程x cos sin -22(02 )表示1y n1 sin )B.抛物线的一部分，这部分过（1 ,A.双曲线的一支，这支过点(1 ,)21)2C.双曲线的一支，这支过(-1 , 1)2D.抛物线的一部分，这部分过(-1 ,1)2解：由参数式得 x2=1+sin0 =2y(x > 0)即 y= 1x2(x > 0).2应选B.x sin

8、 例5 在方程(。为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()y cosA.(2,-7)B. ( 1 , 2)C.( 1 , 1)D.(1 ,0)3322解：y=cos2 =1-2sin2=1-2x2将x=1代入，得y= 122应选C.例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是xtx costA.B.2C.yty cos tx tgt1 cos 2t y 1 cos2txD.ytgt1 cos2t1 cos2t解：普通方程 除A.和B.x2-y 中的 xCR, y > 0, A.中 x=|t | > 0, B.中 x=cost 6-1,1，故排1tg 2t,2

9、cos212c.中 y=厂=ctg t=2sin t12人-2 = ,即xy=1,故排除C.x应选D.例7曲线的极坐标方程p =4 sin。化 成直角坐标方程为()A.x2+(y+2) 2=4 B.x2+(y-2) 2=4C.(x-2) 2+y2=4D.(x+2) 2+y2=4解：将 P = Jx2 y2 , sin 0 = j y =代入 p =4sin 0 ,得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2) 2=4. 22,x y应选B.例8 极坐标p =cos()表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为 P= 1 (cos 0 +sin 0 )J2 2 = P c

10、os 0 + P sin 0 ,2，普通方程为 2 （x2+y2）=x+y , 表不圆.应选D.例A.C.在极坐标系中,sin 0 =2cos 0 =-2例9图与圆pB.D.=4sin。相切的条直线的方程是（）cos 0 =2cos 0 =-4解：如图.OC的极坐标方程为P=4sinCOLOX,OA为直径，| OA| =4,1和圆相切,l交极轴于B(2, 0)点P( p ,。）为1上任意一点,则有|OB|2cos 0 =-|OPp cos 0 =2,，应选B.例104 p sin 2 2 =5表示的曲线是（）A.圆线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物解：4 p sin 2 2 =54P . co

11、s 122cos 5.把 P = , x2 y2p cos 0 =x,代入上式，得=2x-5.225平方整理得y2=-5x+3.它表不抛物线.4应选D.例11 极坐标方程4sin 2 0 =3表示曲线是（A.两条射线 线B.两条相交直线C.圆D.抛物2解：由4sin 02=3,得 4 2y 2 =3,即 y2=3x yy=± Ux,它表示两相交直线.，应选B.四、能力训练（一）选择题1.极坐标方程Pcos 0 =4表示（）3A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线C. 一个圆D.一条抛物线2.直线:3x-4y-9=0x 2cos .与圆：（为参数）的位置关系是y 2sin ,

12、A.相切 线不过圆心3.若（xB.相离C.直线过圆心D.相交但直0 ）（ P R）分别是点M的直角坐标和极坐标,表示参数，则下列各组曲线。=_和sin60；。=和tg 0 =上33)p2-9=02t32和1t2其中表示相同曲线的组数为A.14.设 M(pB.2C.32）两点的极坐标同时满足下列关系:p 1+ pD.42=0 , 0 1+0 2=0,则M N两点位置关系是（）A.重合B.关于极点对称C.关于直线0D.关于极轴对称5.极坐标方程pA.直线=sin 0+2cos 0所表示的曲线是（）B.圆'C.双曲线D.抛物线6.经过点M（1, 5）且倾斜角为的直线，以定点3M到动点P的位移

13、t为参数的参数方程A.1t23t2B.1t23t2C.黑23t2yD.t 21 t22m27.将参数方m 2m 2 （m是参数，abw0）化为普通方程是（）2m 2m2 2m 2*2 A.-a2-yy 1(xa)b22 x B.- a2yr 1(xba)2y21(x a)b22 x D.- aa)8.已知圆的极坐标方程p=2sin（ 0 +）,则圆心的极坐标和半径分别为A.(1, - ),r=2B.(1,),r=16C.(1,-),r=1D.(1,-),r=29.参数方程(t为参数）所表示的曲线是（）A. 一条射线 直线B.两条射线C. 一条直线D.10.双曲线2 tg2sec0为参数）的渐近

14、线方程为（）A.y-1= (x22)B.y=C.y-1 =2(x 2)D.y+1= 2(x2)11.若直线atbt(t为参数）与圆x2+y2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为A.一35或3B.C.一或3D.12.已知曲线2pt2 2pt(t为参数）上的点M, N对应的参数分别为t 1, 12, JeL 11+t 2=0,那么M N间的距离为A.2p(t 1+t 2)D.2p(t 1-t 2) 2()B.2p(t21+t 22)C.2p(t 1-t 2)13.若点P（x, y）在单位圆上以角速度3按逆时针方向运动, 圆上运动，其运动规律是 （）点M(-2xy , y2-x 2)也在单位A.角速

15、度3,顺时针方向C.角速度2co ,顺时针方向B.角速度3,逆时针方向D.角速度2co,逆时针方向14.抛物线y=x2-10xcos 0 +25+3sin 0 -25sin 2 0与x轴两个交点距离的最大值是（）A.5B.10D.315.直线p与直线lA.C.2cos sin32 cos sin3cos 2 sin二）填空题关于直线。=-（4R）对称，则l的方程是（）B.D.32 cos cos3cos 2sin16.若直线l的参数方程为4t5 （t为参数）, 3t5则过点（4 , -1）且与l平行的直线在y轴上的截距为x17 .参数方程cos1 cos （sin1 cos为参数）化成普通方程

16、为18 .极坐标方程P=tg 0 sec 0表示的曲线是x 119.直线y 23t （t为参数）的倾斜角为3t;直线上一点 P（x , y）与点M（-1 ,2）的距离为_ （三）解答题x 4 cos20.设椭圆厂y 2.3 sin（0为参数）上一点P,若点P在第一象限，且/ xOP,求3x 8 4sec点P的坐标.x21 .曲线C的方程为y2 Pt （p>0, t为参数），当2pt-1 , 2时，曲线C的端点为A, B,设F是曲线C的焦点，且Saafb=14,求P的值.2x 222 .已知椭圆 y2=1及点B（0, -2）,过点B作直线BD,与椭圆的左半部分交于CD两点，又过椭圆的右焦点

17、 F 2作平彳T于BD的直线，交椭圆于G, H两点.试判断?t足I BC - BD =3 GF2 -F2Hl成立的直线 BD是否存在？并说明理由.（2）若点M为弦CD的中点，Ssmf=2,试求直线BD的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线（0为参数）的左焦点y 3tg和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为9,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.422x y24.A, B为椭圆 今=1, (a >b>0)上的两点，且。屋OB求 AO即面积的最大a b值和最小值.2225.已知椭圆匕=1直线i ： 土 L=i p是i上一点 射线op交椭圆于点R,2416128又点Q在OP上且满足| OQI I OP1 = OR 2,当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程. 并说明轨迹是什么曲