高三数学第一轮复习单元测试—《集合与函数》全国通用

1、高三数学第一轮复习单元测试集合与函数一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1设集合A1,2 ,则满足 AB 1,2,3 的集合 B 的个数是（）A 1B 3C 4D 82已知集合 M x|x0 ， N y|y 3x2 1，xR，则 MN （）( x1) 3A B x|x 1C x|x1D x| x 1 或 x 03有限集合 S 中元素个数记作card S ，设 A 、 B 都为有限集合，给出下列命题： AB的充要条件是 cardA B = cardA + card B ； AB 的必要条件是 cardAcard

2、B ； AB 的充分条件是 cardAcardB ； AB 的充要条件是 cardAcardB .其中真命题的序号是A 、B 、C、D、4已知集合 M x|x 3， N x|log2x1，则 MN（）A B x|0 x 3C x|1x 3D x|2 x 35函数 ylog2x( x 1)的反函数是（）x 1A y2x(x 0) B y2x( x 0) C y2x 1( x 0) D y2x12x2x12x2x(x 0)16函数A f ( x)3x2（）1lg( 3x 1) 的定义域是x( 1, )B( 1,1)C (1,1)D( , 1)333337下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数

3、的是（）A yx3 , xRB ysin x, xRyx, xRD y( 1) x , xR28函数 yf (x) 的反函数 yf1 ( x) 的图象与 y 轴交于点P(0,2) （如图 2 所示），则方程f ( x)0 的根是 x（）用心爱心专心A4B3C 2D 19已知函数 f (x)ax22ax 4(0 a3), 若 x1x2 , x1 x2 1 a, 则（）A f (x1)f (x2 )B f (x1)f ( x2 )C f (x1)f (x2 )D f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定10为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解

4、密），已知加密规则为：明文a,b, c, d 对应密文 a2b,2 bc,2 c3d ,4 d.例如，明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9,23,28 时，则解密得到的明文为（）A 7,6,1,4B 6,4,1,7C 4,6,1,7D 1,6,4,711如图所示，单位圆中弧AB 的长为 x， f（ x）表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2 倍，则函数y=f（ x）的图象是（）12x22x21k01，给出下列四个命题：关于 x 的方程存在实数 k ，使得方程恰有2 个不同的实根；存在实数 k ，使得方程恰有4 个不同的实根；存在实数 k ，使得

5、方程恰有5 个不同的实根；存在实数 k ，使得方程恰有8 个不同的实根 .其中假命题的个数是（）A 0B 1C2D 3二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上 .13函数 fx 对于任意实数x 满足条件fx 21，若 f 15, 则 f f 5 _.xf14设 f（x） log 3（x6）的反函数为f1（ x），若 f 1 1（ m） 6 f（ n） 6 27，则 f（m n） _ 15设 g (x)ex , x0. 则 g( g( 1) _ lnx , x0.2用心爱心专心16设 f xlg2x，则 fx2的定义域为 _ 2x2fx三、解答题：本大题共6

6、 小题，共 74分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）已 知 函 数 f (x)x2(lg a2) xlg b 满 足 f ( 1)2 且 对 于 任 意 x R ,恒 有f ( x) 2x 成立 .（1）求实数 a, b 的值 ;（ 2）解不等式 f ( x)x 5 .18（本小题满分 12 分） 20 个下岗职工开了 50 亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳力和预计的产值如下：每亩需劳力每亩预计产值蔬11100 元菜21750 元棉花3水1600 元稻4问怎样安排， 才能使每亩地都种上作物， 所有职工都有工作， 而且农作物

7、的预计总产值达到最高？19（本小题满分12 分）已知函数f ( x)ax 2bx1 (a,b为实数 ), xR,f (x)(x0)F ( x)f (x)(x0)（1）若 f ( 1)0, 且函数 f (x) 的值域为 0,) ,求 F (x) 的表达式 ;（2）在（ 1）的条件下 , 当 x 2,2 时 , g( x)f ( x) kx 是单调函数 , 求实数 k 的取值范围 ;（ 3）设 m n0 , m n0, a0 且 f ( x) 为偶函数 , 判断 F (m) F (n) 能否大于零 ?2220（满分12 分）已知定义域为R 的函数 f（ x）满足 f（ f（ x） x +y_= f

8、（ x） x +x.用心爱心专心（ 2）设有且仅有一个实数x0,使得 f（ x0） = x0,求函数 f（ x）的解析表达式 .21（本小题满分12 分）设函数 f ( x)x 24x5 .（ 1）在区间 2,6 上画出函数f ( x) 的图像；（ 2）设集合 Axf ( x)5 ,B (, 2 0, 4 6,). 试判断集合 A和B之间的关系，并给出证明；（ 3）当 k2 时，求证：在区间1, 5 上， ykx3k 的图像位于函数f (x) 图像的上方 .22（本小题满分14 分）设 a 为实数，记函数f (x)a 1x 21 x1 x 的最大值为 g（a） .（ 1）设 t 1x1 x，求

9、 t的取值范围，并把f（ x）表示为 t 的函数 m（ t）；（ 2）求 g（ a）；（ 2）试求满足 g( a) g ( 1 ) 的所有实数 a a用心爱心专心参考答案（ 1）1CA1,2 ，AB1,2,3 ，则集合 B 中必含有元素 3，即此题可转化为求集合A1,2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有224 个.故选择答案 C2 C M x|x1 或 x0， N y|y1故选 C3 B 选由 cardAB = cardA + cardB + cardAB 知 card AB = car d A +cardBcardAB =0AB.由 AB 的定义知 cardA card B .4D

10、Nx log 2 x1x x2 ,用数轴表示可得答案 D5 A ylog 2xxy2xx1x12即 y12x x1x11即 ylog2x0x111x1x函数 ylog 2x( x1) 的反函数为 y2x( x0) .x12x 16 B 由 1 x01x1，故选 B3x1037 B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数 ,是减函数 ;故选 A 8 C利用互为反函数的图象关于直线y=x 对称，得点（2， 0）在原函数 yf ( x) 的图象上，即 f (2)0 ，所以根为 x=2. 故选 C9 B取特值 a1, x12, x22, f2f

11、2 ，选 B；或二次函数其函数值的大小关系，分类研究对成轴和区间的关系的方法，易知函数的对成轴为x1, 由 x1 x2 ,开口向上的抛物线x1+x2=0，需分类研究 x1x2 和对成轴的关系 ,用单调性和离对成轴的远近作判断,故选 B;10 B理解明文密文（加密），密文明文（解密）为一种变换或为一种对应关系，用心爱心专心xa2b构建方程组求解，依提意用明文表示密文的变换公式为y2bc，于是密文14， 9， 23，z2c3dm4d14a2bd728 满足，即有92bc,c1，选B；232cb43d284da611 D当 x=时 ,阴影部分面积为1 个圆减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积,故

12、24此时 f ( )2122,即点（,2 ）在直线 y=x 的下方 ,故应在 C、 D 中选 ;而当242222x= 3时 , 阴影部分面积为3 个圆加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积, 即24f ( 3 )222 23,即点（ 3 ,2）在直线 y=x 的上方 ,故选 D 22212B本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令x21t (t0) ，则方程化为 t2tk 0，作出函数 yx21 的图象，结合函数的图象可知：（1）当 t=0 或 t>1 时方程有2 个不等的根；（2）当 0<t<1 时方程有 4 个根；（ 3）当

13、t=1 时，方程有3个根.故当 t=0 时，代入方程，解得k=0 此时方程有两个不等根t=0 或 t=1,故此时原方程有 5 个根；当方程有两个不等正根时，即011大于 0，k此时方程有两根且均小于41故相应的满足方程x21t 的解有8 个，即原方程的解有8 个；当 k时，方程有两个相等正根 t 1 ，相应的原方程的解有44 个；故选 B2113 由 f x 2得 f x41f ( x ) ， 所 以f ( 5 ) f( 1 )， 则fxf x 2f f 5f ( 5)f ( 1)12)1 .f ( 1514 f 1（ x） 3x6 故 f 1（ m） 6 f 1（ x） 6 3m 3n 3m

14、 n 27 mn 3 f（ m n） log3（ 3 6） 2ln115 g( g ( 1 )g(ln 1)21 e2222x0 得， f (x) 的定义域为2x2 。故2x2, ，解得 x 4, 116由21,4 .2x222.x故 fxf的定义域为4,11,4.22x17 （ 1） 由 f ( 1)2, 知,lg blg a10, a10. 又 f (x)2x 恒成b用心爱心专心立, 有 x2x lg a lg b 0 恒成立 ,故(lg a) 24 lg b 0 将式代入上式得 : (lg a)22 lg b1 0 , 即 (lg b 1)20, 故 lg b1即 b10 , 代入 得

15、, a100（ 2） f ( x) x24x 1,f (x) x 5, 即 x 24x 1 x 5, x 23x 4 0,解得 :4 x 1 ,不等式的解集为 x| 4 x 1 18设种蔬菜、棉花、水稻分别为x 亩， y 亩， z 亩，总产值为u，依题意得 x+y+z=50， 1x1y1z20 ，则 u=1100 x+750 y+600z=43500+50 x.234 x 0,y=90 3x 0,z=w x 40 0,得 20 x 30,当 x=30 时，u 取得大值 43500，此时y=0,z=20.安排 15 个职工种30 亩蔬菜， 5 个职工种20 亩水稻，可使产值高达45000 元19

16、 （ 1） f (1)0, ab10, 又 xR,f ( x)0恒成立 , a0, b24(b1) 0, b2, a1 f (x)x 22x1( x 1) 2 .b2 4a0(x1) 2( x0) F ( x)(x 1)2( x0)（ 2） 则 g( x)f ( x) kx x22x 1 kx x 2(2 k )x 1( x2 k) 21 (2 k) 2,24当 k22 或 k22 时, 即 k6或 k2 时 , g( x ) 是单调函数 .22（ 3） f (x) 是偶函数f ( x)ax 21, F ( x)ax211(x0) ,ax 2( x0) m n 0, 设 mn, 则 n0 .又

17、 m n 0, mn 0, | m |n | F (m) F ( n)f (m)f (n)(am 21)an21a( m2n 2 )0 , F(m ) F( n) 能 大于零 .20（ 1）因为对任意 xR，有 f（ f（ x） x2 + x）=f（x） x2+x，所以 f（ f（ 2）22+2）=f（ 2） 22+2.又由 f（ 2） =3，得 f（ 3 22+2） 3 22+2 ，即 f（ 1） =1.若 f（0） =a，则 f（a 02+0） =a 02+0，即 f（ a）=A（ 2）因为对任意 x R，有 f（ f （x）22x +x） =f （x）x +x.又因为有且只有一个实数x0

18、,使得 f（ x0） x0.所以对任意 x R，有 f（ x） x2+x= x0.用心爱心专心在上式中令x= x0,有 f（ x0） x 20+ x0= x0,又因为 f（ x0）x0，所以 x0 x 20 =0，故 x0= 0 或 x0=1.若 x0=0，则 f（x） x2 + x=0，即 f（x） = x2 x. 但方程 x2 x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故 x2 0.若 x2=1,则有 f（ x） x2+ x=1，即 f （x） = x2x+1. 易验证该函数满足题设条件 .综上，所求函数为2x+1（ xR） .f（ x）= x21（ 1）（ 2 ） 方 程 f (x)5的解

19、分别是214,0,4 和214，由于 f (x) 在 (, 1和2,5 上单调递减，在 1, 2和 5,) 上单调递增，因此A, 2140, 4214,.由于2146,2142,BA .（ 3） 解法一当x 1,5时 ，f ( x)x24x 5 .g( x)k ( x3)(x 24 x5)x2( k4) x(3k 5)4k2k220k36 ，x24k2,4k. 又 1x5 ，12当14k1 ，即2k6时，取 x4k ，22g( x) mink 220k 361k10 264.4416(k10)264,(k10) 2640，则 g( x) min0.当4k1，即 k6 时，取 x1 ，g( x)

20、2k0 .2m i n由 、可知，当k 2 时， g( x)0， x1,5 .因此，在区间 1,5 上， yk( x3) 的图像位于函数f (x) 图像的上方 .解法二 当 x1,5 时， f ( x)x 24x 5 .yk ( x3),得 x2( k 4) x ( 3k 5) 0 ，由x 24xy5,令(k4) 24(3k 5)0 ，解得k2 或 k18 ，用心爱心专心在区间 1,5 上，当 k2 时， y2( x3)的图像与函数 f (x) 的图像只交于一点(1, 8) ；当 k18 时， y18( x3) 的图像与函数f (x) 的图像没有交点 .如图可知，由于直线yk(x3)过点 (3, 0 ) ，当 k2 时，直线 yk(x3) 是由直线y 2( x3)绕点 (3,0)逆时针方向旋转得到 .因此， 在区间 1, 5 上， yk(x3) 的图像位于函数 f (x) 图像的上方 .22（ 1） t1x1x ，要使 t 有意义，必须1 x0且 1x 0，即1 x 1 t 22 2 1x22,4，且 t0 t 的取值范围是 2,2。由得：1x21t 21， m(t )a(1t 21) t1at 2ta ， t2,2 。222