理论力学质点的振动PPT课件

1、目录第1页/共93页9-1 概 述第2页/共93页振动是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。第3页/共93页 振动振动 是指运动在其稳定位置附近所作的周期性往复运动。 线性振动线性振动的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似的运动微分方程都是线性的。实际系统往往要经过近似处理才能化成线性的。处理才能化成线性的。在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向这平衡在质点受到扰动而脱离其平衡位置后，会受到一个恒指向这平衡位置而促使质点返回的力，这种力称为位置而促使质点返回的力，这种力称为恢复力恢复力。几几 个个 概概 念念 当恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为当

2、恢复力的大小和质点到平衡位置的距离成正比时，则称为线性线性恢复力恢复力。 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比的的线性阻力线性阻力。第4页/共93页9-2 质点的自由振动 第5页/共93页km 自由振动自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。第6页/共93页9-2 质点的自由振动 质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在弹簧力维持下的运动，即为自由振动。 自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如图(a)所示的质量一弹簧系统。l0OM(a)(b)xMOx第

3、7页/共93页9-2 质点的自由振动一、自由振动的微分方程及其解一、自由振动的微分方程及其解 取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a ）所示。当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成xkF 因F 恒指向平衡位置O，故它可写成cxFx于是，质点M的运动微分方程写成xkxm 或0 xmkx 式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。l0OM(a)(b)xMOx第8页/共93页9-2 质点的自由振动引入参量mk20则上式可写成标准形式 这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。其通解为把上式对时间求导数，得020 xx tCtC

4、x0201sincostCtCxv002001cossin 第9页/共93页9-2 质点的自由振动当 t=0时，质点的初坐标和初速度令t=0且 和 ，就可以确定积分常数0 xx 0 xx 01xC 和002xC这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是,0 xx 0 xvtxtxx00000sincostxtxx00000cossintCtCx0201sincostCtCxv002001cossin l0OM(a)(b)xMOx第10页/共93页9-2 质点的自由振动这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是通常把上二式写成)sin(0tAx)cos(00tAx 利用三角变换，可以

5、确定,)(20020 xxA000tanxxtxtxx00000sincostxtxx00000cossin第11页/共93页9-2 质点的自由振动可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。TAAOtx)sin(0tAx,)(20020 xxA000tanxxtxtxx00000sincos第12页/共93页9-2 质点的自由振动二、自由振动的基本参数二、自由振动的基本参数（1）振幅和相角 由式（a）可见质点相对于振动中心（平衡位置）的最大偏离 Axmax20020)(xx称为振幅。（0t+）称为相角，而称为初相角。由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始扰动 ( ) 有关。00

6、 , xx)sin(0tAx（a）,)(20020 xxA000tanxx（b）TAOtxA第13页/共93页9-2 质点的自由振动（2）周期和频率每重复一次运动状态所需的时间间隔，称为周期，并用T 表示。每隔一个周期T，相角应改变 0T=2。因此，周期可以表示成周期一般以s计。kmT220 周期仅和系统本身的固有参数（质量m与刚度）有关，而和运动的初始条件无关。TAOtxA 周期第14页/共93页9-2 质点的自由振动210Tf每2秒内振动的次数称为圆频率，表示为mkf 20 单位时间内振动的次数，称为频率，记作 f。 0 只和系统的固有的性质有关，而和运动的初始条件无关系。因此，0称为系统

7、的固有频率或自然频率。频率TAOtxA第15页/共93页9-2 质点的自由振动 用s代表当物块在重力G 和弹簧力F0的作用下在平衡位置静止时弹簧所具有的变形，即静变形（如图a）。)(xkmgxms 以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F在轴x上的投影 Fx=-k( s+x)（如图b）。skmg（1）显然，由平衡条件G -F0=0有可得物块的运动微分方程Ml0s（a）MxxO（b）三、铅直悬挂质量一弹簧系统三、铅直悬挂质量一弹簧系统第16页/共93页9-2 质点的自由振动xkxm 或 020 xx 其中 ，可见，M 仍在平衡位置附近作无阻尼自由振动。mk20利用

8、弹簧自由悬挂时的静伸长s，来求出系统的固有频率，有,0 kmggmksg0考虑到关系式 ，上式写成skmg 与水平质量一弹簧系统比较，铅直悬挂质量一弹簧系统质点上只有增加了一个常力，这力只引起平衡位置的改变，而不影响振动的规律（如周期、频率、相位）。即)(xkmgxms xxO第17页/共93页 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转动惯量为J。第18页/共93页第19页/共93页解：圆盘绕杆轴转动微分方程为或振动周期knO 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kn ，圆盘对杆轴的转动惯量为J。第20页/共93页例9-1 求单摆(数学摆)的运动规律。Om

9、0l第21页/共93页 把单摆看成一个在圆弧上运动的质点 M，设其质量为 m，摆线长 l 。又设在任一瞬时质点 M具有速度 v ，摆线 OM与铅垂线的夹角是 。 通过悬点 O 而垂直于运动平面的固定轴 z 作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理动量矩解：力矩tmlllmmvlLOzdd)(2OM0lmgF第22页/共93页从而可得化简即得单摆的运动微分方程动量矩力矩,dd2tmlLOz动量矩定理OM0lmgF第23页/共93页单摆的运动微分方程微小摆动中， 值始终很小，可以认为 sin ，则考虑初始条件：t = 0,。得单摆的运动规律与幅角和初始条件无关。OM0lmgF第24页/共93页 例9-

10、2 利用静变形求并联弹簧和串联弹簧两种情形的直线振动系统的固有频率。k1k2k1k2k=k1+k2第25页/共93页ssskkkkW)(2121mkkmk21021211. 并联情形。固有频率上式说明并联弹簧的等效刚度系数为k1k2s解： 设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ，在W重力作用下作铅直平动，静变形为s ，有sk 选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有sskkkW)(2121kkk第26页/共93页 设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ，在W重力作用下，两弹簧的总静变形s等于单个弹簧的静变形之和，有,2211kW kWss2. 串

11、联情形。s2s1sk1k21 s+2 s由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是 选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形s等于串联的两弹簧静变形之和1 s+2 s。k s kWs第27页/共93页2211,kW kWss)(212121kkmkkk212121111kkkkkkks2s1s固有频率串联弹簧的等效刚度系数为得, kWs,21kWkWkW,11121kkk弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。c1c21 s+2 s s第28页/共93页k1Ok21212k1Ok2第29页/共93页m 提升重物系统中，钢丝绳的横截面积S2.89104 m2，材料的弹性模量E

12、200 GPa。重物的质量m6000 kg，以匀速v0.25 ms1下降。当重物下降到l25 m时，钢丝绳上端突然被卡住，求重物的振动规律。l 例题第30页/共93页 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统，弹簧的刚度为16mN10312. 2 lESkmk静平衡位置Ox 设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为0 xkxm 解：方程的解为mkt Ax00,sin 例题第31页/共93页利用初始条件vvx(0)(0)求得0vAmk静平衡位置Ox00 xxm 方程的解为mkt Ax00,sin 例题第32页/共93页 如图为一

13、摆振系统，杆重不计，球质量为 m ，摆对轴O的转动惯量为J。弹簧刚度系数为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求此系统微小振动的运动微分方程及振动频率。 例题dlkFmgOm第33页/共93页 例题第34页/共93页解： 摆于水平位置处，弹簧已有压缩量0，由平衡方程MO(Fi)=0，有)(0a dkmgl以平衡位置为原点，摆在任一小角度处，弹簧压缩量为0+ d。摆绕轴的转动微分方程为ddkmgltJ)(dd022将式(a)代入上式，得222dddktJ 例题dlkFmgOm第35页/共93页222ddkdtJ上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由振动微分方程)b( 0dd222Jkdt则此摆振系统的

14、固有频率为Jdk0 例题dlkFmgOm第36页/共93页9-3 质点的衰减振动第37页/共93页9-3 质点的衰减振动 本节将讨论质点在有阻尼时的自由振动，但只限于与速度一次方成正比的介质阻力，这种阻力称为线性阻力（或粘滞阻力）。 如图示系统在介质里运动中，质点M将受到介质阻力的作用。vFcd其中，c称为粘滞阻力系数（以 为单位），表示质点在单位速度时，所受的阻力值，其大小与介质和物体的形状等因素有关，可由实验测定。式中负号表示阻力与速度的方向恒相反。skgMMxxkdvOl0 +s 在微振动情况下，速度不大，可以认为阻力Fd与速度v 的一次方成正比，即有一、一、质点的衰减振动质点的衰减振动

15、第38页/共93页9-3 质点的衰减振动 取物块的平衡位置作为坐标原点O，轴Ox沿直线向下。当物块在位置O时，弹簧拉力F0= ks,与表观重力G（已扣除浮力）相互平衡，即有skG物块运动时， ， xcRx)(xkFsxxcxkGxms )(考虑到， 上式简化成skG0 xkxcxm 代入参量,20mkmc2则上式写成质点的运动微分方程写成0220 xxx (称为阻尼系数)MMxxkdvOl0 +s（1）第39页/共93页9-3 质点的衰减振动 这就是在线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的线性恢复力和线性阻力作用下质点运动微分方程的标准形式标准形式。式中称为阻尼系数。 此式是二阶常数线性

16、齐次方程，这个方程具有形式如 ezt 的解，把 ezt 代入，得到特征方程，即z值与比值/k有关。有三种不同的情形：02202zz（1） 0 称为大阻尼。2022, 1z特征方程的解为0220 xxx 第40页/共93页9-3 质点的衰减振动当 0 时，特征方程具有一对共轭复根2202,1iz 引入参量 ，则式(1)的通解可以写成220d我们将只讨论小阻尼 0情形。tititztzeBeBeBeBxd)(2)(121d21)(dd21tititeBeBe式中，B1和B2是积分常量，由运动的初始条件来决定。0220 xxx (1)02202zz特征方程2022, 1z第41页/共93页9-3 质

17、点的衰减振动sincosiei令B1+B2=C1，i(B1B2)=C2，则上述通解可改写成)sincos(d2d1tCtCext式中，新的积分常量C1和C2仍可以由运动的初始条件来决定。根据欧拉公式把上式对时间t求导数，得质点速度的一般表达式)sincos(d2d1tCtCext)cossin(d2d1tCtCetd)(dd21tititeBeBex第42页/共93页9-3 质点的衰减振动,10Cx 2d10CCx从而解得,01xC d002xxC于是，质点的运动方程写成或者通过三角函数的变换，把上式写成运动的初始条件：当t=0时， ；将它们代入上式，得到0 xx 0 xx txextd0co

18、s()sindd00txx(2)sin(dtAext(3)sincos(d2d1tCtCext)sincos(d2d1tCtCext)cossin(d2d1tCtCetd第43页/共93页9-3 质点的衰减振动2d0020)(xxxA000dtanxxx1. 由式(2)或式(3)可以看到，由于小阻尼的影响，物块不再进行振幅不变的简谐运动。teAteAT1A2A1txextd0cos()sindd00txx(2)sin(dtAext(3)第44页/共93页9-3 质点的衰减振动 2. 因子sin(t+)表明物块仍周期性地通过平衡位置O而交替地向点O的两侧偏离。 这样的运动称为衰减振动，但习惯上仍

19、把 称为它的周期，而Aet称为它的振幅。与无阻尼自由振动相比较，衰减振动也称为有阻尼自由振动。1d2T)sin(dtAext(3)teAteAT1A2A1 3。 因子Aet表示这些偏离的可能最大值，但它是随时间而不断减小的，最后趋近于零。第45页/共93页9 9-3 质点的衰减振动二、阻尼对周期二、阻尼对周期Td的影响的影响220dd22T上式可改写成212021200d)(1)(12TT式中，T是无阻尼自由振动周期。teAteAT1A2A1因为衰减振动中 0，可见，由于小阻尼的存在，使振动的周期 Td相对于无阻尼时的周期 T 来说有所增长。,20mkmc2第46页/共93页9-3 质点的衰减

20、振动例如，当 时，05. 00,00125. 1)05. 0(2112dTTT 可见，当阻尼系数 比 0 小得多时，阻尼对周期的影响并不显著，在初步计算中甚至可以直接用 T 代替 Td 。20d)(211TT 1。当 0 时，周期 Td 无限地增长，(Td),),从而运动失去往复性。teAteAT1A2A1,2mck mn22。而当 很小时，即 0 时，Td可近似地表示为仅增加0.12 5 %.212021200d)(1)(12TT第47页/共93页9 9-3 质点的衰减振动在任意瞬时t1，振幅是三、阻尼对振幅三、阻尼对振幅Ae-t的影响的影响 由于阻尼的存在，振幅 Ae-t 随时在减小。为了

21、说明振幅衰减的快慢，可作如下分析11tAeA时间逐次增加半周期 ，则瞬时振幅将分别是d21T212)2(2dd1d1TTt TteAeAeAeA22)22(3dd1TTteAAeA因此，有比值 2312AAAA2dTe=常数teAteAT1A2A1即，每隔半个周期的振幅按等比级数递减。)sin(dtAext(3)第48页/共93页9 9-3 质点的衰减振动 减缩率（或对数减缩率）表示每经过半个周期后振幅的衰减程度。由于振幅是按等比级数递减的，即使阻尼很小，振幅的衰减也是迅速的。即，每经过半个周期，振幅就缩减15%。经过10个周期，振幅将变成原来振幅的(0.855)20=0.043，只有原来的4

22、.3%。通过以上讨论可见，小阻尼（ 0）对周期的影响很小，可以忽略不计，而对振幅的影响却是非常显著的。当 0 时，运动将失去往复性。 公比 称为减缩率。2dTe2lnd2dT eT称为对数减缩率。仍以 = 0.050 为例，这时减缩率是8550eT.2d1. 小阻尼 ( 1)情形, 1202, 1vz临界阻尼(v1)情形,21 zzt-etCCx210220 xxx 2022, 1z0v大阻尼( 0)情形与临界阻尼( 0)情形令第50页/共93页9 9-3 质点的衰减振动 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减v1v1ttCCx21-z2-z1ee大阻尼(v1)情形临界阻尼(v1)

23、情形21zzt-etCCx21大阻尼( 0)情形与临界阻尼( 0)情形, 1202, 1vz第51页/共93页cMAB 例9-3 图示为一种液体减振器装置的简化模型。悬挂在弹簧下端的物块M与圆筒A内的活塞B相固连，简内充满粘性液体。活塞上钻有许多圆孔，当物块M上下振动时，液体从孔中往复流过，给活塞一正比于速度的阻力。设物块连同活塞的质量 m=1 kg，弹簧的刚度系数k=3 920 Nm。已知物块开始运动后经过10个周期，振幅减到初值的1 40。求阻尼系数和阻力系数c。 第52页/共93页解：由题意知，物块M的运动是衰减运动。阻尼系数可通过减缩率来求出。已知经过10周期，振幅减缩到初始的140，

24、即有401)(202d Te220dd22T220d2T1)(20kMAB故有取自然对数，求得对数减缩率另一方面，考虑到401ln2012lnd2dTeT=0.184 4第53页/共93页kMAB因而阻尼系数为 (2) 1)(2007.171)1844. 0142. 3(20srad6 .62139200 mksrad67. 307.176 .6207.170 即以值代入式（2），求得但固有频率于是，求得阻尼系数为c=2 m=213.67=7.34 kgs(1)(1)220d2T1)(20第54页/共93页 其实，当 0 时，在式（1）和式（2）的根式中，与 (0 )2 相比较可以忽略1，用这

25、种近似计算求得的结果是足够精确的。1844. 0220dTT,0587. 01844. 00srad 68. 36 .620587. 0056. 00在本例中 0，可以取Td近似地等于T。于是有因而kMAB(2) 1)(20) 1 (1)(20 第55页/共93页9 9-4 质点的强迫振动第56页/共93页9 9-4 质点的强迫振动 假定振动物块 M 还受到扰力S的作用 Sx=Hsinpt，其中 H 称为力幅，表示扰力的最大值；p 称为扰力变化的频率。H 和 p 都可以认为仅决定于扰力的来源而与物块的运动无关。 取物块M的平衡位置作为原点O，轴Ox铅直向下。在任意瞬时t，物块M的运动微分方程写

26、成ptHxxcGxmssin)( MMxxcvOl0 +s第57页/共93页9-4 质点的强迫振动ptHxxcGxmssin)( 考虑到平衡关系 ，仍引用 ，并引入新的参数 ，则上式化为scG,2mck mn2mHh 这就是质点强迫振动的微分方程的标准形式，它是非齐次的二阶常系数线性微分方程。pthxkxnxsin22 (9-25)21xxx方程的通解由两部分组成，即其中x1是与方程（9-25）相对应的齐次方程的通解。022xkxnx )sin(11tkAexnt第58页/共93页9-4 质点的强迫振动21xxx特解x2可以写成)sin(2ptBx把特解x2及其导数),cos(2ptBpx )

27、sin(22ptBpx )sin()cos(2)sin(22ptBkptnpBptBppthsin代入微分方程方程的标准形式得方程的通解由两部分组成，即pthxkxnxsin22 第59页/共93页9-4 质点的强迫振动cos)(22hBpk222224)(pnpkhB222pknptg从而可以解得故得在小阻尼 n 1 ，即扰力频率 p 远大于固有频率k时， 表示强迫振动的振幅几乎等于零（高频强迫振动）。, 022220).2()1 (1kpknkpBB222)2()1 (1vzz引入无量纲参数kpz knv zv来不及振动第66页/共93页9-4 质点的强迫振动,2nknkhB2 可见，这时

28、强迫振动的振幅 B 和阻尼系数成反比。特别是如n0,0,则B（共振）。（3）当z=1，即 p=k 时，由式可得222224)(pnpkhB222)2()1 (1vzzzvkpz knv 第67页/共93页9-4 质点的强迫振动当 1-2v2 0 0 时， z = 0 给出的极小值。而 给出的极大值，这时强迫振动的振幅也达到最大值，即所谓峰值。对应的扰力频率称为峰值频率，用pp代表，则由式(c)得221vz（4）放大系数具有极大值。222221nkvkpp222)z 2()1 ()(zzf取函数求导数)21 (48)1 (4d)( d2222zzzzztzf（a）)321 (4d)( d2222ztzf（b）由极值条件，得0d)( dtzf221 , 0zz（c）222)2()1 (1vzzkpz knv 第68页/共93页9-4 质点的强迫振动在式(9-27)中，令P=Pp，可得强迫振动的振幅峰值，以Bp代表，有如果阻尼很小，nk，则由式（9-33）和式（9-34）可得222224)(pnpkhB(9-27)222nknhBp(9-34)(9-35)222221nkvkppkknkvkpp22)(2121kpz knv nkhknnkhnk