“以错纠错”的案例分析

1、“以错纠错”的案例分析“以错纠错”的案例分析文/罗增儒在文1中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习 活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业 务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者 相辅相成构成完整的解题教学” 下面发生在特级教师身上 的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，贝i促 使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务 素质都提出了更高的要求.一、出示案例我们先引述3处典型做法.1.早在1990年，文2曾对一道数列极限题指出“思 维定势在解题屮的消极影响"；然后在文3、4屮表达 了同样的看法.最近又在文5中将欠妥的认识原原本本 发表出来

2、：例1若=8, =1,求.学牛对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉， 受其影响，产生了下列错误解法：由=8,得a n + 4 b n = 8,a n- b n =1.x2，可得b n=15 / 9,并求得a n = 4 / 9.a =3 a n+ b n= 12 / 9 + 15 / 9 = 3.这是一种错误的解法.因为按照极限运算法则，若an =a , b n= b ,则才有=an+bn=a + b .反之不真， 而由=8,=1,不一定保证a n与b n存在.比如a n = 4 / 3+ n 2, b n=l n 2,则有=8,但是a n与b n均不存在极限.正解：=+=8 / 3+1

3、/ 3 = 3.某些法则或定理，其结论是在限定条件下产牛的.如 果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件, 造成对法则、泄理理解的偏差，产生泄势思维.教师在课堂 教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第 一位讲，就是让学生认识到条件在结论屮的重要地位，把条 件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明.要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入 手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一 些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思 考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑 问题，拓展思维的深度与广度.数学通报1999年第11期文6记述了

4、一次公开课： 在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法 则” 一课时，曾举了这样一个例子：例2已知=5, =2,求.当时有位学生提出这样一种解法：解：设an=a, b n= b ,则由题设可知=2 a n+3 b n = 2 a+3 b =5,=anbn=a b=2.联立，解得a = ll/5, b=l/5.= a n+ b n= a + b = 11 / 5+1 / 5 = 12 / 5.对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引 导学生提出了问题：a n和bn定存在吗？随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断an和b n是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的.关于这类

5、问题，我们常用“待定系数法”求解.另解：设 an+bn=x + y,贝a n+ b n= a n+ b n,从而有x + y =1,x y =1.解之得 x=2/5, y=l/5.a n+ b n = +,.= + = + =2/5x5+1/5x2=12/5.这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分 暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深 受评委们的一致好评.江苏省常州高级屮学数学组根据多年教学积累的经验 写了一本书数学题误解分析，其第6章题30如下：例3已知=7, =4,求之值.误解：t=7, =4, a n + 3 b n = 7,a n 2 b n = 4.%1 x2

6、+x3,得13 a n = 26, a. n 2 代入式，得 b n=l.a =2 a n+ b n = 2x2 + l = 5.正确解法：设m+p = k.其中m, p , k均为待定的整数，则比较an, bn的 系数得m + 3 p =2 k ,m-2 p = k 由式、消去k，得m+3 p =2 = 6m4 p ,/.4m = 7 p 当m, p分别取7和4时，k=13a 2 a n+ b n= 4-.*. = + = 7 / 13x7 + 4 / 13x4 = 5.错因分析与解题指导：已知=7, =4,并不意味着an、 b n存在，在误解中利用数列极限的运算法则：=a n土 b n,

7、默认an与bn存在，这是错误的.要求，就必须将2 a n+ bn去用与表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定 系数法来解.显然m、p的值不是惟一的，但是对不同的m、 p之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便 的整数值.以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师的看法是完全一致的.类似的看法还可参见文812.虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文6的 作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断a n和bn是否存在吗？”冋答是否定的.教师的“纠错”比学 生错得更多.二、案例分析我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师 的错误、错误的性质和应吸取的教训等.1.

8、学生解法的认识学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住 两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则； 得出的极限值也确为所求.缺点是默认了 an与bn的存在；也不会整体使用极限 运算法则，这可以从3个方面来分析.知识性错误表现在：没有验证an与bn极限的存在性就使用极限 运算法则；没有证明或证明不了 an与bn极限的存在性；还不会变通使用极限运算法则.逻辑性错误 表现为逻辑上的“不能推出”：跳过an与bn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则.但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”.对此，“教师”的错误性 质比学生的默认更有问题，下面会谈到.心理性错误表现为“潜在假设”，

9、默认an与bn极限的存在性， 既未想到要证明，更未给出证明.由于在已知条件下，an与bn的极限确实存在，所以, 学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤.这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知 识和经验为基础的主动建构活动.其“对而不全”的解法， 正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的 一个产物，既有一定的合理性，又需要完善.接下来的反审 活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行 元认知调控.教师认为“不一定保证a n与b n存在”是不对的事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求， 而且可以求，取a =1, b =0或a =0, 0=1只不过是一 种更简

10、单的特殊情况.我们来给出一个更一般的结论.命题1若=c 1, = c 2,则当a 1 b 2 a 2 b 1h0时，两个极限a n与b n均存 在，且an=clb2c2bl / alp 2 a 2 0 1, bn=alc2- a 2 c 1 / a 1 32- a 20 1.证明：设=a n+ b n,令alx + a2y=l,blx + b2y =0.解得x = b2/, y=-bl/.从而x+ y =x + y=x c 1+ y c 2= / 即a n= /同理可确定bn极限的存在性，并计算出b n= / 取 a 1 = 3, 01 = 4, c 1=8, a 2 = 6, 3 2 = 1

11、, c 2 =1,可得an=4/9, b n=5 / 3.这就是例1.也可以用文 2正解的方法求出a n= + = + =8 / 27 + 4 / 27 = 4 / 9 b n=一 =16 / 91 / 9 = 5/ 3.取 a 1 = 2, 3 1 = 3, c 1 = 5, a 2 = 1, p 2 = 1, c 2 =2,这便得例2,有a n= + b n= l/5x5-2/5x2 = l/5.取 a 1 = 2, b 1 = 3, c 1 = 7, a 2 = 3, b2 = 2, c 2 =4,这便得例3,确实有a n = 2, b n=l.应该说，求an、bn与求道理是一样的，为什

12、么会有 这么多的教师长期坚持"an、bn不一定存在”呢?这除有 知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云 亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误.我们说，失去 自信比缺少知识更为可怕.反例“ a n = 4 / 3+ n 2 / 3, bn=ln2/4” 的错误 根源上面已经严格证明了 an与bn的存在性，因而文2 作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该 找出错误的原因，弄清错误的性质.检验可以发现错误把 an = 4/3+n2/3, bn=l n2/4 代入已知条 件，有= 8 = 8.但=不存在，更不等于1.所以，文2的反例并不能成为反例.其之所以成为

13、反例，是作者根据不充分的前提得出的，逻辑上犯有“不能 推出”的错误.误举反例的原因分析%1 首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时, 主要依据“若an. bn存在，则=a n+b n,反之不真”.这 对只有个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个 条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维 定势的负迁移.%1 其次是对下而的结论不知道，或未认真思考过：命题2若=c 1, = c 2.则有当 a 132-q23 1 0 时，an、bn 均存在；当 a 1 b 2 a 2 b 1 = 0 且 a 1 c 2 a 2 c 1 = 0 时，则 a n, bn的极限不一定存在.当 a

14、lb2a2bl = 0 且 ale 2 a 2 c 17 0,贝 lj a n, bn的极限均不存在.这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植 或线性方程组理论的简单应用.对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为 主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从 而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少 数学针对性.所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平 是一个永无止境的课题.试作一个探究性的教学设计本文"以错纠错”的例子，持续了 10年以上的时间， 发表在多家刊物上，还出现在文6正确纠正之后，这对 读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创

15、新精神的机会.我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提 出一个教学设计，分为7步.提出问题，暴露学生的真实思想.其过程是给出例1,让学生得出不完整的解法.反思，引发认知冲突.教师与学生起检查每一步的依据，发现使用极限运 算法则需耍an、bn的存在性做前提.前提存在吗?有两种 可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定.分两大组自主探索，自我反省.按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五 人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将 是一个十分牛动的过程.得出a n、b n的求法.这样，学生的求解就完整了.可以分成三步：%1 求a n = = 4 / 9；%1 求 b n = -

16、 = 15 / 9；进行解题分析，得出改进解法.引导学生认识到：%1 求an、bn所使用的方法也可以直接用到求上来.%1 先分别求an、bn,再合并得结论有思维回路：a nbn删除中间步骤，可得=+ =+ =8 / 3 + 1 / 3 = 3.探索一般性.%1 考虑例1的结论一般化改为，求；%1 考虑条件、结论均一般化，讣学生发现命题1;%1 再加一个层次，允许alb2a2bl = 0,让学生再 发现命题2.运用建构主义和元认知的观点进行总结.参考文献1罗增儒.解题分析谈错例剖析.中学数学教学参 考，1999, 12赵春祥.思维定势在解题中的消极影响举例.中学教研,1990, 6赵春祥.从整休结构上解数列题.教学月刊中学理科版，1998, 10赵春祥.数列与数列极限中应注意的几个问题.教学月 刊屮学理科版，1999,