第22章一元二次方程教学设计

1、第 22 章 一元二次方程教材内容1本单元教学的主要内容。概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题2本单元在教材中的地位与作用一元二次方程是在学习一元一次方程 、二元一次方 程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法学好一元二次方程是学好二次 函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程应该说，一元二次方程是本书的重点内容教学目标1知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次 方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法； 应用熟练掌握以上知识解决问题(1) 通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型?根据数学模

2、型恰 如其分地给出一元二次方程的概念(2) 结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等(3) 通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法直接开方法，？导入用配方法解一元二次 方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程(4) 通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0 (0)导出解一元二次方程的求根公式，接着讨2 2 2论求根公式的条件： b -4ac>0 ， b-4ac=0 ， b -4ac<0 (5) 通过复习八年级上册整式的第5 节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解 一元二次方程，并用练习巩固它(6) 提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并

3、用该模型解决实际问题3情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解 一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会 到建立数学模型解决实际问题的过程， 从而更好地理解方程的意义和作用， 激发学生的学习兴趣教学重点1一元二次方程及其它有关的概念2 用配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程.3利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题教学难点1. 一元二次方程配方法解题.2 .用公式法解一元二次方程时的讨论

4、.3.建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别.教学关键1 .分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型.2. 用配方法解一元二次方程的步骤.3. 解一元二次方程公式法的推导.课时划分本单元教学时间约需 19 课时，具体分配如下：22. 1一元二次方程2 课时22. 2降次解一元二次方程8课时22. 3实际问题与一元二次方程3 课时一元二次方程小结与复习2 课时一元二次方程单元测试4课时第1课时一元二次方程（1）1、使学生了解一兀二次方程的意义。2、通过提供实际问题的情境，让学生感受到在我们的生活、学习中方程知识的学习 曰 标头际意义。目标3、能够根据具体问题中的数学关系，

5、列出程体会一兀二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。学习重点建立一兀二次方程的概念，认识一兀二次方程的一般形式。学习难点在一兀二次方程化成一般形式后，如何确定次项和常数项。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知鼓励学生独立解【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，决问题，让学生则绿地的长和宽各为多少？初步感受一兀二【分析】设宽为x米，则列方程得：;次方程，冋时让学生体会方程这整理得一刻画现实世界【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到的数学模型.7.2万册，求这两年的年平均增长率。【分析】设这两年的年平均增长率为X,则列方程得: ;整理

6、得【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【分析】全部比赛共场，设应邀请X个队参赛，则每个队要与其它队各赛1场，全场比赛共场，列方程得：;整理得二、自主交流探究新知主体活动，探索【探究】（1）上面一个方程左右两边是含未知数的（填“整式”一兀二次方程的“分式” “无理式”）；定义及其相关概（2）方程整理后含有个未知数；念.（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是次。【归纳】1、一兀二次方程的定义等号两边都是，只含有个求知数（兀），并且求知数的最咼次数是（二次）的方程，叫做 一

7、兀二次方程。2、一兀二次方程的一般形式一般地，任何一个关于 X的一兀二次方程，经过整理,都能化成如下形式：2ax +bx+c=0(az 0)这种形式叫做 一兀二次方程的一般形式 。其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。2【注意】方程ax+bx+c-0只有当a丰0时才叫一兀二次方程，如果 a=0,bz0时就是一兀一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a丰0这个条件。判断一个方程是H齐、用十【补充练习】 判断下列方程，哪些是一兀二次方程？不是兀一次方(1) x3 2x 2+5 = 0;(2) x2=l;21232(3) 5x2-2x- =x2-2x+_ ；(4)2( x+l

8、) =3( x+l);452 2 2(5) x 2 x= x + l;(6) ax + bx+ c=0程，首先要对其 整理成一般形 式，然后根据定 义判断。二、自主应用巩固新知【例1】将方程3x (x-1) -5(x+2)化成一兀二次方程的一般形式，并写出进一步巩固一兀其中的二次项系数、一次项系数及常数项.二次方程的基本【分析】一兀二次方程的一般形式疋ax +bx+c=0 (0).因此，方程3x概念(x-1) =5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.【例2】将方程(x+1) 2+ (x-2) (x+2)

9、 =?1化成一兀二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项.【分析】通过完全平方公式和平方差公式把(x+1) 2+ (x-2) (x+2) =?1化成ax2+bx+c=0 (a丰0)的形式.2 2【例3】求证：关于x的方程(m-8m+17) x +2 mx+仁0 ,不论m取何值，该方程都是一兀二次方程.【分析】要证明不论m取何值，该方程都是一兀二次方程，只要证明2m -8m+17?工 0 即可.四、自主总结拓展新知1、0是ax +bx+c=0成为一兀二次方程的必要条件，否则，方程ax+bx+c-0变为bx+c-0, |就不是一元二次方程。2、找一元二次方程中

10、的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。 五、课堂作业教学反思第2课时一元二次方程(2)学习 目标1、会进行简单的一兀二次方程的试解；理解方程解的概念。2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。学习重点一兀二次方程解的探索。学习难点一兀二次方程近似解的探索。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【冋题1】把方程3x(x 1)=2(x+2)+8化成一般形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数及常数项。【问题2】判断下列方程哪些是一元二次方程？为什么？2 x2+4x+-=0 x2+3x 2= x2x x2 2xy 3=0 a x2+bx+c=0复习巩固一元二 次方程

11、的相关概 念。二、自主交流探究新知【探究】猜测方程X2 x56 =0的解是什么？【归纳】使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程 的解，又叫作一兀二次方程的根【冋题3】下面哪些数是方程 2x2+i0x+12=0的根？-4,-3, -2, -1 , 0, 1, 2， 3, 4.【分析】要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或2 、x=-3是一兀二次方程 2x +10x+12=0的两根.【问题4】认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出 你的理由。x -16=0(x+3)(x

12、-2)=022(x-2) =49 x -2x+ 仁25【分析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根或两个数的积为0的意义来思考解题.探究一元二次方 程根的概念以及 作用.进一步巩固方程 的根的含义.方程的根可以起 到检验的作用一 检验一个数是 否是方程的根.二、自主应用巩固新知【例1】若x= 2是方程ax2 +4x 5 = 0的一个根，你能求出 a的值吗？方程的根的另一【分析】根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代个作用一一代入入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一兀一次方程，进而解方程使等号成即可.立.【例2】右x-1是关于x的一兀一次方

13、程 ax+bx+c=0(a 0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。【分析】如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解。四、自主总结拓展新知1、一兀二次方程根的概念；2、要会判断一个数是否是一兀二次方程的根；3、要会用一些方法求一兀二次方程的根.五、课堂作业【补充练习】1、 方程x (x-1) =2的两根为【】.A .xi=0,X2=1B. xi=0,X2=-1 C.xi=1 ,X2=2D .xi=-1 ,X2=22、 方程x2-81=0的两个根分别是 xi=, X2=.23、已知方程5x +mx-6=0的一个根是x

14、=3，贝U m的值为.2 、4、 若一元二次方程 ax+bx+c=O(a 0)有一个根为 i,贝U a+b+c=;若有一个根是-i,则b与a、c之间的关系为；若有一个根为0,则c=。2 25、如果x=i是方程ax +bx+3=0的一个根，求(a-b) +4ab的值.教学反思第3课时解一元二次方程一一配方法（1）学习 目标1、使学生会用直接开平方法解一兀二次方程。2、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握直接开平方法解一兀二次方程。学习难点灵活运用直接开平方法解一兀二次方程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知创设问题情境，【冋题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶

15、漆恰好刷激发学生兴趣，完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？引出本节内容.设正方体的棱长为 xdm，则一个正方体的表面积为dm，根据一列出方程后，让桶油漆可刷的面积列出方程：学生讨论方程的 解法，由于所列由此可得:出的方程形式比 较简单，可以运根据平方根的意义，得X-用平方根的定义即x1-,x2-（即开平方法）可以验证和是方程的两根，但棱长不能为负来求出方程的值，所以正方体的棱长为dm。解.二、自主交流探究新知鼓励学生独立解【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x-1）2-5及决问题，在解决方程 x2+6x+9-4?问题的过程中体方程（2x-1）

16、-5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根会解简单的一兀的意义，可将方程变形为，即将方程变为和两二次方程的思想从而得到方程（2x-1）2-5的两个解为X1-, X2-。“降次”一一把个兀一次方程，二次降为一次，在解上述丿J程的过程中，头质上是把丨元二次丿J程 降次，转化为两个 元 次方程，这样问题就容勿解决了。进而解元次方程x2+6x+9-4的左边是完全平方式，这个方程可以化成（X+3 ）2-4，进方程即可.行降次，得到，方程的根为X1-, x2-。【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一 次方程.即，如果方程能化成 x2 = p或（mx + n）2 = p（

17、p0）的形式，那么可得x =或 mx + n.三、自主应用巩固新知帮助学生掌握并【例1】解下列方程：巩固一兀二次方 2y2-82 2(x-8) -50程的解法，同时(2 x-1) 2+4-0 4x2-4x+ 仁0通过教师规范的【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成X2=p或板书引导学生不仅要会解方程还 要注意正确的解 题格式。强调所求未知数 的值要使实际问 题有意义，让学 生能进行根的取 舍。2 .(mx n) = p( p _ 0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解。【例2】市区内有一块边长为 15米的正方形绿地，经城市规划，需扩大绿化 面积，预计规划后的正方形绿地面积将达到300平方米

18、，这块绿地的边长增加了多少米？(结果保留一位小数)【例3】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率.【分析】设每年人均住房面积增长率为x. 年后人均住房面积就应该是m2；二年后人均住房面积就应该是 m2第4课时解一元二次方程一一配方法（2）四、 自主总结拓展新知1用直接开平方解一元二次方程。2、理解“降次”思想。3、理解x2=p或(mx+n)2=p(p>0)为什么p > 0 ?五、课堂作业教学反思学习 目标1、会用配方法解数字系数的一兀二次方程。2、掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技

19、能学习重点掌握配方法解一兀二次方程。学习难点把一兀二次方程转化为形如（x-a） 2=b的过程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】填空熟悉完全平方（1）/-8x+=（ x-）2； （2）9x2+12x+=（ 3x+）2；|式。（3） x2+ px+= （x+）2.【问题2】若4x2-mx+9是个完全平方式，那么 m的值是。【问题3】要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm,则长为m,根据矩形面积为16m2,得到方程，整理得到。实例引入，发现问题。二、自主交流探究新知【探究】怎样解方程x2+6x-16=0 ?对比这个方程与前面讨论

20、过的方程x2+6x+9=2，可以发现方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x +6x-16=0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项得：x2+6x=16两边都加上9即（），使左边配成x +bx+b的形式，得：22x +6x+9=16+9_左边写成平方形式，得：（x+3）2=25开平方，得：x+3= 士 5（降次）即 x+3=5 或 x+3= -5解一次方程，得：xi=2, X2=£【归纳】通过配成完全平方式的形式解一兀二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一兀二次方程转化为

21、两个一兀一次方程-三、自主应用巩固新知【例1】用配方法 解下列方程： x2-8x+ 仁0 x2-4x+1=0 9x2+6x-3=0【分析】显然这两个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式。【例 2如图，在 Rt ACB 中，/ C=90 °, AC=8m, CB=6m，点 P、Q 同时由A , B?两点出发分别沿 AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都 是1m/s, ?几秒后 PCQ?的面积为Rt ACB面积的一半.【分析设x秒后 PCQ的面积为Rt ABC面积的一半， PCQ也是直 角三角形.？根据已知列出等式.在学生解决问题 的过程中，适时 让学生讨

22、论解决 遇到的问题（比 如遇到二次项系 数不是1的情况 该如何处理），然 后分析归纳利用 配方法解方程时 应该遵循的步 骤。应用提高、拓展 创新，培养学生 应用意识.四、自主总结 拓展新知左边不是含有X的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有X的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、课堂作业教学反思第5课时解一元二次方程一一配方法(3)学习 目标1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一兀二次方程。2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。学习重点掌握配方法解一兀二次方程。学习难点把一兀二次方程转化为形如(x-a) 2

23、=b的过程。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。 X2+ 6x+=(x+3)2 x2+8x+=(x+)22 x2-12x+=(x-)2 x2-x+=(x-)25a2+2ab+=(a+)2 a2-2ab+=(a-)2【冋题2】解下列方程： x2-4x+7=0 2x2-8x+ 仁0复习相关内容， 实行知识储备。复习基本方法， 逐步加深难度。二、自主交流探究新知【探究】利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？ 3x2 6x + 4 = 0 ; 2x2+l=3x(2x-1)(x+3)=5 .【归纳】利用配方法解方程时应该遵循

24、的步骤：(1) 把方程化为一般形式ax2+bx+c=0 ；(2) 把方程的常数项通过移项移到方程的右边；教师书写完整的 解题过程，给学 生以示范作用。在直接开平方时 强调符号，这是 易错之处。第6课时解一元二次方程一一公式法（1）(3) 方程两边同时除以二次项系数a;(4) 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5) 此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元 二次方程化为两个一兀一次方程来解.主体探究、归纳 配方法一般过 程.二、自主应用巩固新知【例1】用配方法解下列方程： x(2x-5)=4x-10 /+5x+7=3x+11【例2】绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，

25、开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？解：设绿地的宽是x米，则长是(x+ 10)米，根据题意得：x (x+10)= 900.整理得2x +10x =900 ,配方得(x+5)2 =925 .解得x1 = 5 +5V37,冷=一5 5>/37 .由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是 -5+5/37米，于是绿地的长是5+5J37米.应用提高、拓展 创新，培养学生 应用意识.四、自主总结拓展新知(1)把方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 ；(2 )把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3 )方程两边同时除以二次项系数a;(4 )方程

26、两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个 一元一次方程来解.(6 )如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，则原方程无解。五、课堂作业教学反思学习1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。目标2、会用公式法解简单系数的一兀二次方程。学习重点求根公式的推导和公式法的应用。学习难点一兀二次方程求根公式法的推导。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题】用配方法解方程：学生板演，复习 X2+3x+2=o 2x2-3x+5=o旧知二、自主交流探究新知【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0

27、（a工0）【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。解：移项,得： ax2+ bx=-c解有些二次项系因为0，所以方程两边同除以 a得：数是具体数字的2 bc方程不必写。x + -x=-aa2 bb 、2 cb、2配方时方程两边配方得：X + x+ ( )=- + ()a2aa2a同加上一次项系2数一半的平方。即（b 、 2 b 4acx+) 2=22a4a2配方到这一步，/ 022b -4ac4a2>0当 b2-4ac > 0 时，2> 0两边要进行开平4a方运算。被开方 数必须是非负x+b , Jb2

28、-4ac卄-b 士 Jb2-4ac数。所以，要对=±即 x=2a2a2a2b _4ac进行分4a_b + Jb2 _4ac-b-Jb2_4ac xi = ,x2=2a2a析。由上可知，2兀二次方程ax +bx+c=0 （0）的根由方程的系数 a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式2b -4ac> 0时，？将a、b、c代入式子2ax +bx+c-0，当通过解方程发现 归纳一元二次方 程的求根公式.b±pb 4ac / 2x=2a （b-4ac，0）就可求出方程的根.(2 )这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方

29、程的方法叫公式法.(4 )由求根公式可知，一兀二次方程最多有两个实数根.【强调】用公式法解一兀二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。式子b2-4ac> 0是公式的一部分。二、自主应用巩固新知【例】用公式法解下列方程.(1) 2x2-x-1=0(2) x2+1.5=-3x (3) x2-T2x+ 丄=0(4) 4x2-3x+2=02【分析】用公式法解 兀二次方程，需先确疋a、b、c的值、再算出b -4ac的值、最后代.入求根公式求解.解：【说明】(1) 一元二次方程 ax2+bx+c-0 (a工0)的根是由一兀二次方程 的系数a、b、c确定的；(2)

30、 在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac> 0的前提下，把a、b、c的值代入x-(b2-4ac>0)中，可求得2a方程的两个根；(3) 由求根公式可以知道一兀二次方程最多有两个实数根.【练习】P 371主体探究、探究 利用公式法解一 兀二次方程的一 般方法，进一步 理解求根公式.四、自主总结 拓展新知1、求根公式的推导过程；2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定.a、b、c的值、再算.出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解.五、课堂作业教学反思第7课时解一元二次方程一一公式法(2) 2x2-3x=0-b b2 -4acxi= _2a即有两个不相等的实

31、根当2b -4ac=0时，？根据平方根的学生在思考的 基础上分组讨 论，利用一元 二次方程的知 识解决上述问 题，同时熟悉 一元二次方程 的两种解法一 公式法和配 方法，进一步 体会一元二次 方程的根与 b2-4ac的关系.使学生能用"=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。学习重点使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。学习难占从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0 (0) 的" =b2-4ac 的情况与根学习难点的情况的关系。a 学 互 动 设 计设计意图、自主学习 感受新知【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ 3x2-2 . 3

32、x+1=0 4x2+x+1=0、自主交流探究新知【探究】根据问题填写下表:方程2b -4ac的值2b -4ac的符号XI、X2的关系(填相等、不等或不存在)2x2-3x=09>0不相等3x2-2 J3x+ 仁00=0相等4x2+x+1=0-15<0不存在【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0 ( <0 , =0)与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：/ 2求根公式：x= - 4ac，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，2a2b 亠：b24ac-4ac等于一个具

33、体数，所以一元一次方程的xi=丰2a意义Jb2 -4ac=0，所以xi=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根2a据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解.【结论】当/ =b2-4ac>0时，一元二次方程 ax2+ bx+c=0 (a工0 ?有两个不相等实数根即Xi= 4 + W 4ac , X2= -b4ac。2a2a22当/ = b -4ac=0时，一兀一次方程 ax +bx+c=0 (a工0有两个相等头数 根即 Xr=x2= 。2a22当/ =b -4ac<0时，一兀一次方程 ax +bx+c=0 (a工0 ?没有实数根。又合称有实数根；反过来也成立

34、。二、自主应用巩固新知【例1】不解方程，判定方程根的情况 16x2+8x=-3 9x2+6x+1=0 2x2-9x+8=0 x2-7x-18=0【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的， 所以首先必须将方程化为一般形式。解：【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0, m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ 方程有两个相等的实数根？ 方程没有实数根？解：【例3】右关于x的一兀一次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0 的解集(用含a的式子

35、表示).【分析】要求ax+3>0的解集，就是求 ax>-3的解集，那么就转化为要判 疋a的值疋正、负或 0.因为一兀一次方程(a-2) x -2ax+a+1=0没有实数根， 即(-2a) -4 (a-2) (a+1) <0就可求出a的取值范围.四、自主总结拓展新知” .2 - 2 ./ b-4ac>0-兀一次方程 ax +bx+c=0 (a工0有两个不相等的头根；2 . 2 -/ b -4ac =0<- 一兀一次方程 ax +bx+c=0 (a工0有两个相等的头根；2 2/ b -4ac <0<- 一兀一次方程 ax +bx+c=0 (a工0没有头数根

36、及其应用。五、课堂作业教学反思第8课时解一元二次方程一因式分解法学习 目标1、使学生理解用因式分解法解一兀二次方程的基本思想，会用因式分解法解某 些一元二次方程。2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高 分析问题和解决问题的能力。学习重点用因式分解法一兀二次方程。学习难点理解因式分解法解一兀二次方程的基本思想。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过 xs物体离地的咼度(单位： m)为10x-4.9x2。你能根据上 述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)?设物体经过x

37、s落回地面，这时它离地面的高度为0,即210x-4.9x =0【思考】除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？【分析】方程的右边为 0,左边可以因式分解得：x(10-4.9 x)=0于是得x=0或10-4.9 x=0二 xi=0x2= I00 st2.0449上述解中，x2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而xi=0表示物体 被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的咼度是0m。创设问题情境， 激发学生兴趣， 引出本节内容.二、自主交流 探究新知【探究】解下列方程，从中你能发现什么新的方法？(1) 2x2- 4x= 0;(2) x2-4= 0.【归纳】利用因式分解使

38、方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次这种解法叫做因式分解法.在学生解决冋题 的基础上引导学 生探索利用因式 分解解方程的方 法，感受因式分 解的作用以及能 够解方程的依 据.二、自主应用巩固新知【例1】解方程: X -3x-10=02x -11x+28=013(x+3)(x-1)=5 5x2-2x- ' =x2-2x+344应用提高、拓展 创新，培养学生 的应用意识和创 新能力.【说明】用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另边可以分解因式。解：【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0,即两个因式的积是 0,

39、两个因式才分别是 0，从而得到两个一元一次方程。【小结】因式分解法解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。 将方程左边进行因式分解，由一元二次方程转化成两个一元一次方 程。 对两个一元一次方程分别求解。【例2】解方程： x(x-2)+ x-2=0 3x(x+2)=5(x+2)(3x+1) -5=0x -6x+9= ( 5-2x)【分析】这几个方程可以展开整理成一元二次方程的一般形式，然后再 用公式法或因式分解法来解，但这样做比较麻烦，根据这两个方程的特点， 直接应用因式分解法较简便。解：【说明】用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的 因式分解的几种方

40、法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了 x=0这一个根。【练习】P401 2四、自主总结拓展新知1、 用因式分解法解方程的根据由ab-0得a-0或b-0，即“二次降为一次”。2、正确的因式分解是解题的关键。五、课堂作业教学理念/教学反思第9课时一元二次方程的根与系数的关系(1)学习 目标1、掌握一兀二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一兀二次方程的 两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。2、经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力， 渗

41、透整体的数学思想，求简思想。学习重点一兀二次方程的根与系数的关系及运用。学习难点定理的发现及运用。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【冋题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中X1+X2,X1X2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你 能发现什么规律？通过学生计算一 些特殊的一元二 次方程的两根之 和与两根之积， 启发学生从中发 现存在的一般规 律，渗透特殊到 一般的思考方 法。一兀二次方程XiX2Xi+X2Xi X22X +6x-16=0X2 -2x-5=022x -3x+仁05 x2 +4x-仁0二、自主交流探究新知【探九】 般地，对于关于 x的

42、兀次方程 ax + bx+ c 0(aM 0)用 求根公式求出它的两个根Xi、X2 ,由一元二次方程ax2 + bx+ c 0的求根公式r 2/ 2知 Xi= b +"b -4ac , X2= b W -4ac ,能得出以下结果：2a2aXi+ X2= -一，即：两根之和等于aXi?X2=c，即：两根之积等于a _2特殊的：右一兀二次方程 x +px+q=0的两根为X|、x2，则：让学生自己发现 规律，找到成功 感，再从理论上 加以验证，让学 生经历从特殊到 一般的科学探究 过程。Xi+ X2= -pX1?X2= q如果把方程ax2 + bx+ c= 0(a丰0)的二次项系数化为 1

43、,则方程变形为X2+ bx + c = 0(a丰 0),aa则以X!, X2为根的一兀二次方程(二次项系数为1 )是：2x - (X1+X2) x+ XiX2= 0( a* 0)二 二 =二二、自主应用巩固新知【例1】求下列方程的两根之和与两根之积2 2(1) X -6x-15=0(2) 5x-1= 4 X22(3) x =4(4) 2 X =3x2(5) x -(k+1)x+2k-仁0 (x是未知数，k是常数)【例2已知方程5X2 + kx-6 0的一个根为2,求匕的另一个根及 k的值； 解：设方程的另一个根是 X1，那么2禺=-65X1 =pk乂 X +2=5 k=【例3利用根与系数的关系

44、，求一兀二次方程2x2+ 3x-1 0的两个根的(1)平方和(2)倒数和解：设方程的两个根分别为X1, X2,那么X1+X2=, X1X2 =(1) T(X1+X2) 2= X12+2+X222 2/ 、2X1 +X2 = (X1 + X2)-2=1 1(2) + = =X|x2x1x2让学生初步学会 运用根与系数的 关系来求两根和 与两根积，比较 简便，(3)、(4)、(5)的设计加深 学生对根与系数 关系的本质理 解。进一步巩固根与 系数的关系，体 会“整体代入” 思想在解题中的 运用，可起到简 便运算的作用。四、自主总结拓展新知不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求

45、得一些代数式的值； 求得方程的另一根和方程中的待定系数的值。1、先化成一般形式，再确定 a,b,c.2、当且仅当b -4ac> 0时，才能应用根与系关系.3、要注意比的符号：两个根的和比前面有负号，两个根的积比前面没有负号。五、课堂作业） 教学反思第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2）学习 目标1、熟练掌握一兀二次方程根与系数的关系；2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.学习重点一兀二次方程根与系数关系的应用.学习难点某些代数式的变形.教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题1】若 元二次方程 X +10x+1

46、6=0的两根是Xi、X?, J则Xi + X2 =；Xi ? X2 =【冋题2】关于X的方程2x2 +kX-4=10的一个根是一2，则方程的另 一根是；k =。【问题3】甲乙同时解方程x2+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2、7,乙抄错了常数项， 得两根为3、-10。则p=, q=。【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是。通过巩固练习，及 时巩固定理，再 次体会一元二次 方程的根与系数 的关系，培养思 维的灵活性。二、自主交流探究新知【例1】X1、x2是方程2x2 - 3x-5 = 0的两个根，不解方程，求下列代 数式的值：2 2 | 2 2(1) X1 +X2(2) |x1 -X

47、2(3) X1 +3X2 3X22 2 2 1解：(1) x1 +x2 =(捲 +x2) -2x1x2 = 74(2) |為x2 =讥论 +x2)2 4x2 = 3?2 2 2 1 1(3) 原式=(X1 *X2 )+(2x2 3x2)= 7一+5 = 12_44【例2】右 兀二次方程 x +ax+2=0的两根满足：x1 + x2 =12 ,求a的 值。考察学生灵活运 用知识解决问题 能力，让学生感 受到根与系数的 关系在解题中的 运用，同时也考 察学生思维的严 密性，根据情况 可再进一步变 式，如两根互为【例3】已知关于x的方程x? _(k+1)x+丄/ +1 = 0,且方程两实根4 的积为

48、5，求k的值.解：【例4】已知关于x的一兀一次方程x + 2 ( k 1) x + k - 1 = 0有两个 不相等的实数根.(1) 求实数k的取值范围；(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是， 请说明理由.【分析】这是一道确定待定系数 m的一元二次方程，？又讨论方程解的 情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力.相反数；两根的 倒数和 等于2等。根据一元二次方 程两实根满足的 条件，求待定字 母的值，务必要 注意方程有两实 根的条件，即所 求的字母应满足 也王0 .二、自主演练巩固新知1. 方程(2x 1) (3x+1) =x +2化为一般形式为，其中a-,

49、b=, c=.2. 关于x的一兀二次方程 mx +nx+m +3m-0有一个根为零，则 m的值等于3. 关于x的一兀二次方程 x +mx+ n-0的两个根为X1-1 , X22，则x +mx+ n分解因式的结果 是.4. 关于x的一元二次方程 2x 3x a +仁0的一个根为2,贝U a的值是（）A . 1B . .3C.-3D. ±j"35. 若关于x的一元二次方程（m 1） x2+5x+m2 3m+2=0的常数项为0,贝V m的值等于（）A . 1B . 2C . 1 或 2D . 0四、课堂作业教学反思第11课时 实际问题与一元二次方程（1）学习 目标1、会根据具体问

50、题（按一定传播速度传播问题、数字问题和利润问题）中的数 量关系列一元二次方程并求解。2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。学习重点列一兀二次方程解决实际问题。学习难点找出实际问题中的等量关系。教学互动设计设计意图一、自主学习感受新知【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，开始有一人患了患流感， 第一轮的传染源就是这个人， 他传染了 x个人， 用代数式表示第一轮后，共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了 x人，用代数式表示，第二轮后，

51、共有人患流感。根据等量关系列方程：解这个方程得：平均一个人传染了个人。如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有人患流感。使学生充分体会 传播冋题，培养 学生对传播问题 的解题能力。二、自主应用 巩固新知【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支？【分析】设每个支干长出 x个小分支。则主干上长出 x个分支，x个分 支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式 1+x+x2表示。 依题意可列方程：1+x+x2=91解：【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。【分析】设原来的两位数的个位数字为X，则十位数字为(6-x)，则原两位数为10( 6-x)+x，新两位数为10x+(6-x)。依题意可列方程：解：【例3】某商店经销一种销售成本为每千克 40元的水产品，？据市场分 析，？若每千克50元销售，一个月能售