2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ理)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|(x1)(x2)0，则 AB()A1，0B0，1C1，0，1D0，1，22若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a()A1B0C1D23根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量

2、的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7()A21B42C63D845设函数 f(x)1log2（2x） ，x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0，1)B(1，0)(1，)C(，1)(1，0)D(0，1)(1，)第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_14若 x，y 满足约束

3、条件xy10，x2y0，x2y20，则 zxy 的最大值为_15(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_16设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 (本小题满分 12 分)ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分BAC， ABD 面积是ADC面积的 2 倍(1)求sin Bsin C；(2)若 AD1，DC22，求 BD 和 AC 的长18(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满

4、意度评分如下：A 地区：6273819295857464537678869566977888827689B 地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，

5、以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率19. (本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线 AF 与平面所成角的正弦值20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：9x2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l

6、过点m3，m，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由21(本小题满分 12 分)设函数 f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增；(2)若对于任意 x1，x21，1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求 m 的取值范围请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点

7、G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点(1)证明：EFBC；(2)若 AG 等于O 的半径，且 AEMN2 3，求四边形 EBCF 的面积23(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos ，ytsin (t 为参数，t0)，其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin ，C3：2 3cos .(1)求 C2与 C3交点的直角坐标；(2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值24(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a，b，c，d 均为正数，且 ab

8、cd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2) a b c d是|ab|cd|的充要条件参考答案第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析：选 A由题意知 Bx|2x1，所以 AB1，0故选 A.2解析：选 B(2ai)(a2i)4i，4a(a24)i4i.4a0，a244.解得 a0.故选 B.3解析：选 D对于 A 选项，由图知从 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多，故 A 正确对于 B 选项，由图知，由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降，因此 B 正确对于 C 选项

9、，由图知从 2006 年以后除 2011 年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C正确由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选 D.4解析：选 Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47，解得 q22 或 q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选 B.5解析：选 C21，f(log212)2log21211226.f(2)f(log212)369.故选 C.6解析： 选 D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V113121111

10、6，剩余部分的体积 V2131656.所以V1V2165615，故选 D.7解析：选 C设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500.解得D2，E4，F20.圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y226或 y22 6，M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，|MN|4 6，故选 C.8解析：选 Ba14，b18.第一次循环：1418 且 144，a14410；第三次循环：104 且 104，a1046；第四次循环：64 且 64，a642；第五次循环：24 且 24，b422；第六次循环：ab2，

11、跳出循环，输出 a2，故选 B.9解析：选 C如图，设球的半径为 R，AOB90，SAOB12R2.VOABCVC AOB，而AOB 面积为定值，当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC最大，当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VOABC最大，为1312R2R36，R6，球 O 的表面积为 4R2462144.故选 C.10解析：选 B当 x0，4 时，f(x)tan x 4tan x，图象不会是直线段，从而排除 A、C.当 x4，34 时，f4 f34 1 5，f2 2 2.2 21 5，f2 0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M 点的

12、坐标为(2a， 3a).M 点在双曲线上，4a2a23a2b21，ab，c 2a，eca 2.故选 D.12 解析：选 A设 yg(x)f（x）x(x0)，则 g(x)xf（x）f（x）x2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0 时，由 f(x)0，得 g(x)0，由图知 0 x1，当 x0，得 g(x)0，由图知 x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0，1)，故选 A.第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13解析：ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即abta2tb，t，12t，解得12，t12.答案：1214解析：画出可

13、行域如图所示由x2y0，x2y20，得x1，y12.A1，12 .由 zxy，得 yxz，平移直线 l0：xy0，当直线过点 A 时，z 最大，zmax11232.答案：3215解析：设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令 x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)232，a3.答案：316解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1Sn1Sn11，即1Sn11Sn1.又1S11，1Sn是首项为1，公差为1 的等差数列1Sn1(n1)(1)n，Sn1n.答

14、案：1n三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17解：(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为 SABD2SADC，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理，得sin Bsin CACAB12.(2)因为 SABDSADCBDDC，所以 BD 2.在ABD 和ADC 中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故 AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)，知 AB2AC，所以 AC1.18解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的

15、平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散(2)记 CA1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则 CA1与 CB1独立，CA2与 CB2独立，CB1与 CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2)由所给数据得 CA1， CA2， CB1

16、， CB2发生的频率分别为1620，420，1020，820， 故 P(CA1)1620， P(CA2)420，P(CB1)1020，P(CB2)820，P(C)102016208204200.48.19.解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示(2)作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EMAA18.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10.于是 MH EH2EM26，所以 AH10.所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为4 515.20解：(1)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将 ykxb 代入

17、 9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故 xMx1x22kbk29，yMkxMb9bk29.于是直线 OM 的斜率 kOMyMxM9k，即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值(2)四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线 l 过点m3，m，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0，k3.由(1)得 OM 的方程为 y9kx.设点 P 的横坐标为 xP.由y9kx，9x2y2m2，得 x2Pk2m29k281，即 xPkm3 k29.将点m3，m的坐标代入直线 l 的方程得 bm（3k）3，因此 xMk（k3）m3（k29）.四边形 OA

18、PB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM.于是km3 k292k（k3）m3（k29），解得 k14 7，k24 7.因为 ki0，ki3，i1，2，所以当直线 l 的斜率为 4 7或 4 7时，四边形 OAPB 为平行四边形21解：(1)证明：f(x)m(emx1)2x.若 m0，则当 x(，0)时，emx10，f(x)0.若 m0，f(x)0；当 x(0，)时，emx10.所以，f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)由(1)知，对任意的 m，f(x)在1，0上单调递减，在0，1上单调递增，故 f(x)在 x0 处取得最小值所以对于任意

19、 x1，x21，1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是f（1）f（0）e1，f（1）f（0）e1，即emme1，emme1.设函数 g(t)ette1，则 g(t)et1.当 t0 时，g(t)0 时，g(t)0.故 g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又 g(1)0，g(1)e12e1 时，由 g(t)的单调性，g(m)0，即 emme1；当 m0，即 emme1.综上，m 的取值范围是1，122解：(1)证明：由于ABC 是等腰三角形，ADBC，所以 AD 是CAB 的平分线又因为O 分别与 AB，AC 相切于点 E，F，所以 AEAF，故 ADEF，从而 EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故 AD 是 EF 的垂直平分线又 EF 为O 的弦，所以 O 在 AD 上连