大学物理三线摆课题报告

1、编号：Q/NJXX-QR-GY-12-2012南京信息职业技术学院研究性学习课题报告作者 徐少杰 陈洁 张帅 专业 电子电路设计与工艺 研究室 课题 三线摆转动惯量误差分析 指导教师 朱宪忠 完成时间： 2015 年 1 月 13 日 三线摆转动惯量误差分析摘要:通过在大学物理实验教学中采用研究性教学,使学生提出了一种新的测量刚体转动惯量的方法,本文针对用三线摆测量转动惯量时所存在的误差，通过实验和物理分析，讨论产生误差的原因以及对测量结果带来的影响。关键词:转动惯量 测量 误差分析1 引言转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周动或静止的特性

2、）的量度，用字母I或J表示。 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J表示，SI 单位为 kg·m²。对于形状较简单的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定轴的转动惯量。但是，对于形状较复杂的刚体，用数学方法计算它的转动惯最非常困难故大都用实验方法测定。由于三线摆具有结构简单、操作简便、比较实用等优点。因此许多大学物理实验教材都选用该实验方法。但是在该实验时，往往出现实验结果与理论值比较的误差较大，本文将对误差产生的原因进行分析，并指出减小实验误差的途径。2 刚体转动惯量测量公式的推导及所用的近似方法用三线扭摆法测物体转动惯量的装置

3、如图1 所示。上下两个圆盘均处于水平，圆盘B的中心悬挂在支架的横梁上圆盘A由三根等长的弦线悬挂在B 盘上。三条弦线的上端分别在与B盘同心、半径为r的圆的内接等边三角形的三个顶点处；下端分别在A盘上与A盘同心、半径为R的圆的内接等边三角形的三个顶点处，R小于A盘的半径。B盘可绕自身对称轴OO转动，并在悬线张力的作用下带动A盘也绕对称轴OO转动（在一个确定的平衡位置左右往复扭动，即做扭摆运动）。如果摆角很小，则可视此扭动为角谐振动。设m0为下圆盘的质量，R为下圆盘悬线接点距OO轴的距离，J0为下圆盘绕中心轴OO转动的转动惯量，r为上圆盘悬线接点距OO轴的距离，l为悬线长度，H为上、下两圆盘间的距离

4、；某时刻下圆盘离开平衡位置的角度为，下圆盘升高的距离为h，转动的角速度为（=dqdt）,升降运动的速度为v（v=dhdt）,g为重力加速度。如果忽略摩擦阻力，根据机械能守恒定律有: 12I02+12m0V2=M0gh (1)实际上平动动能12m0V2远小于转动动能12I02因此可将平动动能忽略，则式(1)变为：12I02=M0gh （2）由几何关系知: h=oo1=BC-BC1=BC2-BC12BC+BC1 因为BC2=AB2-AC2=L2-（R-r2）BC12=A1B2-A1C12=L2-（R2-r2-2Rrcosq）所以h=2Rr(1-cosq)BC+BC1=4Rrsin2qBC+BC1又

5、因为 h=BCBC1，则h=2Rrsin2qH（3）在悬线L很长（LR），而且A盘的最大扭转角0很小时，则有： h=L和sinq2q2。于是得到：h=Rrq22l（4）将式(4）带入（2）式，则（2）式变为：12I02=Rrq22l即： （dqdt）2=M0gRrq2I0L (5)将式（5）对t求导,得： （dqdt）2=M0gRrI0L (6)这是一个简谐振动方程，该振动的周期平方为： T02=4P2I0LM0gRr (7)由此可得下圆盘绕中心轴的转动惯量 I0=M0gRr4P2L T02 (8)由实验测出M0、g、R、r、l和 T0后，利用式（8）便可以计算出下圆盘的转动惯量。3 实验结果

6、与分析3.1刚体几何参数与质量测量各刚体扭摆转动周期的测量。人在按表时，由于翻译误差（近似0.1s）为了减小测量周期误差T的误差，可采用累计放大进行测量,测量3次的周期时间t则T=t/n。测量对应的按表误差仍为0.2s,但将这0.2分配到n各周期的中就小了很多吗，大大提高精确度了。1、让圆盘完全静止，扭动上圆盘5度角左右，测定n=50的摆动时间记录3次，如果3次数据相距1s以上的数据必须作废，最后求平均值。2、将待测圆环置于下圆盘上是两者中心轴线重合重复上述步骤，测出圆环与下圆环的共同摆动的周期T3、去下圆环吧质量相等的圆柱体放在下圆盘上，如上图。测出两个L的间距。重复转动上圆盘，计算周期T。

7、3.2刚体几何参数与质量测量3.2.1实验测量值测量次数上下圆盘间距H（cm）上圆盘下圆盘圆盘圆环小圆柱a（cm）b（cm）Do（cm）D1（cm）D2（cm）d（cm）149.985.5518.2822.2216.9218.623.90249.955.3818.2821.2016.8318.633.92349.805.4217.8521.3016.8418.643.90平均值49.915.4518.0821.5716.8318.639.91物理天平测量：卷尺测量：空盘质量Mo=446g上圆盘的三点距离平均值a=5.45cm圆环质量M1=370g下圆盘的三点距离平均值b=18.08cm圆柱质量

8、M2=300g上圆盘有效半径r=33a=3.15cm下圆盘有效半径R=33b=10.44cm上圆盘与下圆盘距离H=49.91cm3.3计算对测量结果影响的分析3.3.1圆盘和圆环的转动惯量分析摆动50次的时间（t）摆动次数/时间（秒）1次2次3次平均值平均周期（1）空圆盘92.9792.3891.9392.43T0=1.85（2）圆盘+圆环98.9799.0098.4798.81T1=1.98注：平均周期=（1次+2次+3次）/3/55=T0=T1(1)空圆盘的转动惯量实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.4991m * =0.0

9、0255Kg·m2 =2.55*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2 =2.59*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.55*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=1.5% (2)圆盘+圆环的转动惯量实验值:I=(m0+m1）gRr42HT12 =（0.446Kg+0.37kg）*10*0.1044m*0.0315m42*0.4991m*1.982=0.005339 Kg·m2=5.34*10-3 Kg

10、3;m2圆环实验值：I1=I-I0=（5.34-2.59）*10-3=2.57*10-3 Kg·m2理论值：I1=18m1(D12+D22) =18*0.37*0.1682+0.18632=0.002915=2.92*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r1=I1-I1I1*100%=2.75*10-3-2.92*10-32.92*10-3*100%=5.8%摆动50次的时间（t）验证项目1次2次3次平均值圆柱直径d/cm3.903.923.903.91周期震动时间T/s81.7981.7882.1681.913.3.2圆盘+小圆柱的转动惯量分析d=3.90+&3.

11、92+&3.903=3.91cm T2=81.79+81.78+82.16350=1.64圆柱中心到下圆盘中心距离： L=l-d2=15.78-3.912=5.94cm系统共质量：M=m0+2m2=0.446+2*0.3=1.064kg(1)两圆柱的转动惯量实验值：I=MgRr42HT22 =1，064*10*0.1044*0.031542*0.4991*1.642=4.70*10-3 Kg·m2I2=I-I0=(4.70-2.55) *10-3=2.15*10-3 Kg·m2(2)两圆柱的转动惯量理论值：I2=2（18m2d2+m2l2) =2*(18*0.3*0

12、.03912+0.3*0.05942)=2.23*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r2=I2-I2I2*100%=2.15*10-3-2.23*10-32.23*10-3*100%=3.6%3.3.3支架倾斜角测圆盘转动惯量分析3.3.支架倾斜（00C）的转动惯量空圆盘摆动50次的时间（t）摆动次数/时间（秒）1次2次3次平均值平均周期时间（秒）94.3194.9494.6294.62T0=1.89实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.4997m *1.892=2.66*10-3 Kg·m2理论值：I0=1

13、8m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2 =2.59*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.66*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=2.7% 3.3.2支架倾斜（150C）的转动惯量空圆盘摆动50次的时间（t）摆动次数/时间（秒）1次2次3次平均值平均周期时间（秒）92.8692.7892.6092.75T0=1.85实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.4997m *1.882=2.63*10-3 Kg

14、3;m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.63*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100% =1.5% 摆动50次的时间（t）摆动次数/时间（秒）1次2次3次平均值平均周期时间（秒）93.7393.9493.7893.81T0=1.883.3.3支架倾斜（300C）的转动惯量实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.4997m *1.852=2.54*10-3

15、Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0 *100%=2.54*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100% =1.9% 空圆盘摆动50次的时间（t）摆动次数/时间（秒）1次2次3次平均值平均周期时间（秒）91.4791.3791.4291.40T0=1.83 3.3.4支架倾斜（600C）的转动惯量实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.4997m *1.832

16、=2.49*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.49*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=3.9% 3.4改变上下圆盘间距圆盘的转动惯量分析3.4.1上下圆盘间距H1测量次数123平均值H112.0412.1512.0812.09H1=(12.04+12.15+12.08)/3=12.09CM摆动周期50次测量次数12平均平均周期时间43.3443.5643.450.87实验值：I0=

17、m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.1209m *0.872=2.33*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.33*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=10.03% 3.4.2上下圆盘间距H2测量次数123平均值H231.0031.0131.0331.01H2=(31.00+31.01+31.03)/3=31.01CM摆动周期50次测量

18、次数12平均平均周期时间74.0073.8273.911.48实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.3101m *1.482 =2.62*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.63*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=1.61% 3.4.2上下圆盘间距H3测量次数123平均值H353.0253.0153,。0453.02H3

19、=(53.02+53.01+53.04)/3=53.02CM摆动周期50次测量次数12平均平均周期时间94.5094.5994.551.89实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.45302m *1.892=2.50*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2 =2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.50*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=3.50% 3.4.2上下圆

20、盘间距H4测量次数123平均值H476.8876.9076.9876.92H3=(76.88+76.90+76.98)= 76.92CM摆动周期50次测量次数12平均平均周期时间113.63114.50114.072.28实验值：I0=m0gRr42HT02 =0.446Kg*10*0.1044m*0.0315m42*0.7692m *2.282=2.51*10-3 Kg·m2理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2=2.59*10-3 Kg·m2相对误差：r0=I0-I0I0*100%=2.51*10-3

21、-2.59*10-32.59*10-3*100%=3.10% 3.5改变圆柱体距离盘心间距转动惯量分析 3.5.1圆柱处于盘心(0CM)待测物体（圆柱）摆动50次的时间（t）测量次数1次2次3次平均值平均周期测量时间（s）710371.2571.1871.151.42实验值：I=m2gRr42HT2 =0.3*10*0.1044*0.031542*0.4866*1.422=1.04*10-3 Kg·m2理论值：I=m2d2+m2l2 = 18*0.3*0.03912+0.3*0.05942=1.12*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r=I-II*100%=1.04*10

22、-3-1.12*10-31.12*10-3*100%=7.1%3.5.2圆柱处于盘心(4CM)待测物体（圆柱）摆动50次的时间（t）测量次数1次2次3次平均值平均周期测量时间（s）78.3578.7278.6378.571.57实验值：I=m2gRr42HT2 =0.3*10*0.1044*0.031542*0.4866*1.572=1.27*10-3 Kg·m2理论值：I=m2d2+m2l2 = 18*0.3*0.03912+0.3*0.05942=1.12*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r=I-II *100%=1.27*10-3-1.12*10-31.12*10

23、-3=*100%=13.4%3.5.3圆柱处于盘心(8CM)待测物体（圆柱）摆动50次的时间（t）测量次数1次2次3次平均值平均周期测量时间（s）86.0085.5985.8285.801.72实验值：I=m2gRr42HT2 =0.3*10*0.1044*0.031542*0.4866*1.722=1.52*10-3 Kg·m2 (2)圆柱的转动惯量理论值：I=m2d2+m2l2 = 18*0.3*0.03912+0.3*0.05942=1.12*10-3 Kg·m2测量的相对误差：r=I-II*100%=1.52*10-3-1.12*10-31.12*10-3*100%

24、=35.7%3.6改变下圆盘旋转角度转动惯量分析3.6.1下圆盘旋转小于5度待测物体（圆盘）摆动50次的时间（t）测量次数1次2次3次平均值平均周期测量时间（s）78.7278.5478.9478.731.57实验值：I=m0gRr42HT2 =0.446*10*0.1044*0.031542*0.4866*1.572=1.88*10-3 Kg·m2 (2)圆盘的转动惯量理论值：I0=18m0D02 =18*0.446kg*0.21572 =0.00259 Kg·m2 =2.59*10-3 Kg·m2测量的相对误r0=I0-I0I0*100%=1.88*10-3-2.59*10-32.59*10-3*100%=27.4% 3.6.2下圆盘旋转小于45度