高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和

1、学习必备欢迎下载圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第一定义 中要 重视“括号” 内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于常数 2a ，且此 常数 2a 一定要大于 F1 F2 ，当常数等于 F1 F2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F1 F2 时，无轨迹； 双曲线中，与两定点F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于 | F 1 F 2| ，定义中的 “绝对值”与 2a |F1F2 | 不可忽视 。若2a |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1，F2为端点的两条射线， 若 2a |F 1 F 2 | ，则轨

2、迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 方 程22(x228表示的( x 6) y6) y曲线是 _（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （顶点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x 2y 21a 2b 22 2 ）x2y2练习：点P 是双曲线上 x2y 21上一点， F1 , F2 为12（2）双曲线 （以1 （ a 0,b0 ）为a2b2双曲线的两个焦点， 且 PFPF=24，求 PF1 F2 的周2例）： 范围 ： xa 或 xa, y R ； 焦点：两个1长。焦点 ( c,

3、0) ； 对称性 ：两条对称轴 x 0, y0 ，一8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）个对称中心（0,0 ），两个顶点 (a,0) ，其中实轴长为以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB为焦2 a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF；（3）时，称为等轴双曲线，其方程可设为设 AB为焦点弦， A、 B 在准线上的射影分别为A1 ，B1 ，x2 y2k, ka2； 若 P 为 A1 B1 的中点，则PAPB；（ 4）若 AO的延长线0 ； 准线 ：两条准线 x交准线于 C，则 BC平行于 x 轴，反之，若过

4、B 点平行c离 心 率 ： ec，双曲线e 1 ， 等 轴 双 曲 线于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A， O， C三点共线。a9、弦长公式 ：若直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两e2 ， e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；点 A 、 B，且 x1, x2 分别为 A 、 B 的横坐标，则AB 两条渐近线 ： ybx 。1 k 2（ 3 ）抛物线 （以 y2ax1x2，若 y1 , y2 分别为 A 、B 的纵坐标，则2 px( p0) 为例）： 范围 ：AB 112y1 y2x 0, yR ；焦点：一个焦点pp 的几，若弦 AB 所在直线方程设为( ,0) ，其中k2x kyb

5、，则 AB 1k2y1y2 。特别地，焦何意义是： 焦点到准线的距离； 对称性 ：一条对称轴b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y2x2（ a22 1（ ab 0 ）。方程 Ax2By2abC 表示椭圆的充要条y 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线 ：点弦（过焦点的弦） ：焦点弦的弦长的计算，一般不用一 条 准 线 xpec弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和；离心率：，抛物线后，利用第二定义求解。2a件是什么？（ABC 0，且 A，B，C 同号， AB）。若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 xy 的最大值是 _， x2y2的最小值是 _（答：5,2 ）

6、（ 2）双曲线 ：焦点在x轴上： x 2y 2=1 ，焦a 2b 222点 在 y 轴 上 ： y2x2 1 （ a 0, b0 ）。方程22abAxByC 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC 0，且 A ，B 异号）。如 设中心在坐标原点 O ，焦点 F1 、 F2 在坐标轴上，离心率 e2 的双曲线C 过点 P(4,10) ，则 C的方程为 _（答： x2y26）e 1。如设 a 0, a R，则抛物线 y_ （答： ( 0,1) ）；16a5 、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆x 2y 2a 2b 2关系 ：（ 1）点 P(x0 , y0 ) 在椭圆外点 P( x0 , y0 )

7、 在 椭 圆 上x02a 2x02y02P( x0 , y0 ) 在椭圆内b2a24ax2 的焦点坐标为10、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。x2y 21中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在在椭圆2b21（ ab 0 ）的a2直线的斜率 k= b x0 ；22a 2 y0x0y01；（2）弦所在直线的方程：垂直平分线的a2b2方程：y2x2220 1；（3）点在双曲线y1 中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在ba2b21直线的斜率 k= b2 x0；在抛物线 y22 px( p 0) 中，a 2 y0（ 3）抛物线 ：开口向右时

8、22 px( p0)，开6直线与圆锥曲线的位置关系：y（ 1）相交：0直线与椭圆相交；0口向左时2y2p，开口向上时x( p 0 )直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有x2x22 py( p0) ，开口向下时2 py( p0) 。0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0 是直线与双曲线相交3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物再判断）：线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线（ 1）椭圆 ：由 x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一分母大的坐标轴上

9、。个交点，故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条x 2y 2件，但不是必要条件。如已知方程表示焦点在y 轴（2）相切：0直线与椭圆相切；0直1m12m线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；上的椭圆，则 m 的取值范围是 _（答：1)(1,3)）（3）相离：0直线与椭圆相离；0直( ,2线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。（ 2）双曲线 ：由 x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦提醒 ：（ 1）直线与双曲线、 抛物线只有一个公共点点在系数为正的坐标轴上；时的位置关系有两种情形：相切和相交。 如果直线与双（ 3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交

10、的符号决定开口方向。点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,提醒 ：在椭圆中， a 最大， a2b2c2 ，在双曲22线中， c 最大， c2a2b2 。也只有一个交点； （ 2） 过双曲线 x2y21 外一点ab4. 圆锥曲线的几何性质：P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如（ 1）椭圆（以 x2y21（ ab0 ）为例）：下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相a2b2切的两条切线， 共四条； P 点在两条渐近线之间且包 范围 ： axa,byb ； 焦点 ：两个焦点含双曲线的区域内时， 有两条与渐

11、近线平行的直线和只(c,0) ； 对称性 ：两条对称轴 x0, y0 ，一个对与双曲线一支相切的两条切线，共四条； P 在两条渐称中心（ 0,0 ），四个顶点 (a,0),(0,b) ，其中长轴长近线上但非原点， 只有两条： 一条是与另一渐近线平行为 2 a ，短轴长为2 b ； 准线 ：两条准线xa2的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有cc一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 离心率 ： e，椭圆0e 1 ， e 越小，椭圆7、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点aSb2 tanc | y0 | ，当越圆； e

12、 越大，椭圆越扁。所构成的三角形）问题 ：如（ 1）若椭圆 x2y21的离心率 e10 ，则 m| y0 | b 即 P 为短轴端点时，2Smax 的最大值为 bc；对5m5b 225。 如（ 1）短轴长为5 ，的值是 _（答： 3 或于双曲线 S3）；tan（ 2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角2形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率k= p 。y0提醒 ：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时， 务必别忘了检验0 ！11了解下列结论2y 21 的渐近线方程为xy；（ 1）双曲线

13、xb 20a2ab（ 2）以 yb x 为渐近线（即与双曲线x2y 2ax 2y21共渐近线）的双曲线方程为(a2b2a2b2为参数， 0）。（ 3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2ny21；（ 4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称2轴的弦）为2b，焦准距（焦点到相应准线的距离）a为 b2 ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ；c（ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（ 6）若抛物线 y22 px( p0) 的焦点弦为 AB，A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 | AB |x1 x2 p ； x1 x2p2 , y1 y2p24

14、（ 7）若 OA、OB是过抛物线 y22 px( p 0) 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点 (2 p,0)12.圆锥曲线中线段的最值问题：例 1、 (1)抛物线 C:y2 =4x 上一点 P 到点 A(3,42 )与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_2(2)抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点学习必备欢迎下载F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。直线 y = -3上， M点满足 MB/OA， MA?AB = MB?BA， M分析：（ 1） A在抛物线外，如图，连PF，则点的轨迹为曲A线 C。HQ（）求 C 的方PB程；（） PPHPF ，因而

15、易发现，当A 、 P、 F 三点共线时，F距离和最小。为 C 上的动点，l 为 C 在 P（ 2） B 在抛物线内，如图，作QR l 交于 R，则点处得切线，求 O点到 l距离的最小值。当 B、 Q、 R 三点共线时，距离和最小。解：（ 1）（2，( ) 设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以MA=2 ）（2）（ 1 ,1）（ -x,-1-y）,MB =(0,-3-y),AB =(x,-2).再由愿意41、已知椭圆 C的方程为x 2y21，双曲线 C 的左、得知（MA+MB）?AB =0,即 （ -x,-4-2y）142?(x,-2)=0.C1 的左、右顶点，而C2

16、的左、右顶点分右焦点分别为1别是 C 的左、右焦点。所以曲线 C的方程式为 y=x2-2.( ) 设 P(x 0 ,y0 )14(1)求双曲线 C 的方程；2为曲线 C：y= 1 x 2-2 上一点， 因为 y ' = 1 x, 所以 l(2)若直线 l ： ykx2 与椭圆 C1及双曲线 C2的42恒有两个不同的交点，且2的两个交点 A 和 B满斜 率 为1 x0因此直线l的方程为l 与 C21足OA OB6 ( 其中 O为原点 ) ，求 k 的取值范围。y y0x0 (x x0 ) ，即 x0 x 2 y 2 y0x20。2C2x2y21，则| 2 y0x02 |1解：（）设双曲线

17、的方程为a2b2则 O 点到 l的距离 d又 y022 ，2.4x0a 24 1 3, 再由 a 2b2c 2 得b 21.x0412故 C2的 方 程 为 x2y21.（II） 将所以 d2x041 ( x0244) 2,3x0242x024ykx2代入 x2y21得(14k 2 ) x282kx4 当0x.02=0 时取等号，所以O点到 l 距离的最小值为2.43 设双曲线x2y21（ a 0,b 0）的渐近线与抛物由直线 l与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得a2b21(82) 2 k216(14k 2 )16(4k21)0,线 y=x 2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于()即k 21

18、 .4 、过椭圆x2y21( ab0 )的左焦点 F1 作 x 轴4a2b2x 2将 y kxy21得 (1 3k2)x26 2kx 9 02代入3P ，F2 为右焦点，若F1PF260 ，的垂线交椭圆于点. 由直线 l与双曲线C2 恒有两个不同的交点A，B 得则椭圆的离心率为13k20,即 k 21且 k21.221(b0) 的左、右焦点分别(62k)236(12)2)0.35 、已知双曲线xy23k36(1 k2b2设 A( x, y), B( x, y ), 则 xx6 2k , xx是 F1 、F2 ，其一条渐近线方程为yx ，点 P(3, y0 )AAAB9ABBB13k 213k

19、2由OA OB6得 xA xByA yB6,而在双曲线上 .则 PF1 · PF2 ()0xA xByA yBxA xB( kxA2)( kxB2)与抛物线 C : y26、已知直线 ykx2k08x(k 21) xA xB2k( xAxB )2相交于 A、B两点， F 为C的焦点，若| F A| 2 |F B，则| k ()(k 2962k1)2k213k 213k 23k 277 、已知直线 l1 : 4x3y60 和直线 l2 : x1 ，抛3k2.1于是 3k 276,即 15k 213物线 y24x 上一动点P到直线 l1 和直线 l 2 的距离之0.解此不等式得3k 21

20、3k 21和的最小值是（）k 213 或 k 21 .8、设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，15311或 13由、得k 2k 21.0) ，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点。若 AB 的中4315点为（ 2， 2），则直线 l 的方程为 _.故k的取值范围为x2y21331139、椭圆1的焦点为 F1, F2，点 P 在椭圆上，13(1,5)3(2,2)3(, 92)(,1)1152、在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在若|PF1|4 ，则 |PF2 |；F1PF2 的大小为.10、过抛物线y22 px( p0) 的焦点F 作倾斜角为45 的

21、直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_【解析】设切点 P( x0 , y0 ) ，则切线的斜率为y' |x02x .x0由题意有y02x0又y0x0 2 1解 得 :x0x0 21,b2, e1 ( b) 25aa双曲线 x2y 21 的 一条 渐近线 为 yb x , 由方程 组a 2b2ayb x, 消去y, 得 x2b10, 所以ax有唯一解yx21a=( b )240,所以abca2b21b)25a2 , ea(aa由渐近线方程为yx 知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是 x2y 22 ，于是两焦点坐标分别是 （ 2，0）和（2，0），且P(3,1)或P

22、(3,1).不妨去P(3,1)，则PF1(23,1)，PF2( 23,1) . PF1 · PF2 ( 23, 1)(23, 1)(23)(23)10【解析】设抛物线 C : y28x 的准线为 l : x2 直线yk x2k0 恒过定点P2,0.如图过A、B分别 作A Ml于 M,BNl于N ,由|FA |2|FB |,则| AM |2|BN |,点 B 为 AP 的中点.连结 OB,则|OB |1 | AF |,2|OB | | BF | 点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为22022(1,2 2) k(2),故选D13A x1, y1 , B x2 , y2 ,则有 x

23、1x2， y124x1y224x2两式相减得， y12y224x1 x2 ， y1y24x1x2y1 y2直线 l 的方程为 y-2=x-2,即 y=x20XX年高考全国试题分类解析（圆锥曲线）一、选择题：1重庆卷)若动点 ( x, y) 在曲线 x 2y 21( b>0) 上变4b 2化，则 x22y 的最大值为 (A )(A)b24(0 b4)(B)4；(b4)2bb22) ； (C)b24(0 b4；(D)442b(b2)2b；2. ( 浙江 ) 函数 y ax2 1 的图象与直线 y x 相切，则a ( B )(A) 1(B)1(C)1(D)18423. （天津卷）设双曲线以椭圆x2y21 长轴的两259个端点为焦点， 其准线过椭圆的焦点， 则双曲线的渐近线的斜率为A2B413C24（天津卷）从集合 1,2,3， 11 中任选两个元素作为椭圆方程x 2y 21 中的 m和 n, 则能组成落m2n 2在矩形区域 B=( x,y)| |x|<11且 |y|<9内的椭圆个数为（ B ）A 43B 72C 865. （上海）过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A、 B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B ）A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D 不存在6.（山东卷） 设直线 l :