第5章 微分方程模型(投影版)

1、数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第五章第五章 微分方程模型微分方程模型主讲教师：邵红梅主讲教师：邵红梅数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 根据是否考虑时间因素引起的变化，数学模型分为根据是否考虑时间因素引起的变化，数学模型分为静态静态和和动态模型动态模型； 当所研究的对象的某些特征当所研究的对象的某些特征随时间（空间）变化随时间（空间）变化时，要时，要分析它的变化规律、预测它的未来性能以及研究相应的控制分析它的变化规律、预测它的未来性能以及研究相应的控制手段时，通常手段时，通常需要建立相应的动态模型需要建立相应的动态模型； 微分方程微分方程是描述是描述

2、动态过程的变化规律动态过程的变化规律的一个重要工具，的一个重要工具，由此建立相应的由此建立相应的微分方程动态模型微分方程动态模型。微分方程模型微分方程模型数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型 首先要根据建模的目的和对问题的分析首先要根据建模的目的和对问题的分析作出简化假设作出简化假设； 然后按照然后按照研究对象内在的研究对象内在的或者或者可以类比的其他对象的可以类比的其他对象的变变化规律化规律列出微分方程列出微分方程； 最后用求解微分方程，并对结果作一些最后用求解微分方程，并对结果作一些定性、定量的分定性、定量的分析析和和必要的检验必要的检验。建立微分方程模型的一般步骤建立微

3、分方程模型的一般步骤数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 问题问题 描述传染病的描述传染病的传播过程传播过程 分析受感染人数的分析受感染人数的变化规律变化规律 预报传染病预报传染病高潮到来的时刻高潮到来的时刻 探索制止传染病探索制止传染病蔓延的手段蔓延的手段 按照传播过程的按照传播过程的一般规律一般规律，用机理分析方法，用机理分析方法建立模型建立模型模型模型 l l 设时刻设时刻t 的的病人人数病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病是连续、可微函数，并且每天每个病人人有效接触的人数有效接触的人数为常数为常数 t 到到t +t 病人人数的增加

4、病人人数的增加 x ( t + t ) x ( t ) =x ( t ) t设设t = 0时有时有x0个病人个病人 0)0(,xxxdtdx随着随着t的增加的增加，病人人数，病人人数x ( t )无限增长无限增长，这显然是，这显然是不符合实际不符合实际的。的。 失败的原因失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健只有健康人才可以被传染为病人康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。，所以在改进的模型中必须区别这两种人。 传染病模型传染病模型0(t)etxx数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染

5、病模型 模型模型2 (S I模型模型) 模型假设模型假设 疾病传播期内疾病传播期内总人数总人数N不变不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。，既不考虑生死，也不考虑迁移。 人群分人群分易感染者易感染者(Susceptible)和和已感染者已感染者(Infective)(S I模型模型)，简称，简称健康者和病人。时刻健康者和病人。时刻t两类人在总人数中两类人在总人数中所占比例所占比例分记分记s ( t )和和i ( t )。 每个病人每天每个病人每天有效接触的平均人数有效接触的平均人数是是常数常数，称为日接触率。当称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人

6、健康者受感染变为病人。 每个病人每天可使每个病人每天可使s ( t )个健康者变为病人个健康者变为病人，病人数为病人数为N i( t )，所以每，所以每天共有天共有N s ( t ) i ( t )个健康者个健康者被感染被感染，于是，于是N s i是是病人数病人数N i的增加率的增加率。 模型建立模型建立 NsidtdiNs ( t ) + i ( t ) = 1 记记初始时刻初始时刻(t = 0)病人的比例为病人的比例为i0 (1),diiidtteiti1111)(0 00ii数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 当当i = 1 / 2时时d i /

7、d t达到达到最大值最大值(d i / d t)m 11ln01itmtm与与成成反比反比，因为，因为日接触率日接触率表示该地区的表示该地区的卫生水平卫生水平，越小卫生水平越高。越小卫生水平越高。 改善保健设施、提高卫生水平可以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来推迟传染病高潮的到来。 当当t时，时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不不符合实际情况符合实际情况。 模型中模型中没有考虑到病人可以治愈没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。人，病人不会再变成健康者。 iOS

8、I模型的 曲线ti t0i121mtiSI模型的 曲线dtdiidtdimdtdiO12/ 1数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 模型模型3 (SIS模型模型) 病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称所以这个模型称SIS模型模型。增加条件增加条件 每天每天被治愈的病人数占病人总数的比例被治愈的病人数占病人总数的比例为为常数常数，称为，称为日治愈日治愈率率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1是这种传染是这种传染病的病的平均传染期

9、平均传染期。 diNNsiNidt0(1),(0)diiiiiidts ( t ) + i ( t ) = 1 :日接触率，日接触率， = / 一个传染期内每个病人的有一个传染期内每个病人的有效接触人数，称为效接触人数，称为接触数接触数。11dii idt 伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性无免疫性 数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 i11O1SIS模型的 曲线 （ ）1dtdiidtdii11O1SIS模型的 曲线 （ ）1ti 110i其中 虚线 是 的情况t0i0iiO1SIS模型的 曲线 （ ）1d

10、tdiidtdiiO1SIS模型的 曲线 （ ）1ti t0i接触数接触数=/=1是是阈值阈值。 当当 1 时，时，i ( t )的增减的增减性取决于性取决于i0的大小的大小，其极限，其极限值值i () = 11 /随随的增加的增加而增加而增加。 当当1时病人比例时病人比例i ( t )越来越小越来越小，最终，最终趋于零趋于零，这，这是由于传染期内经有效接触是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。不超过原来病人数的缘故。 11dii idt 数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 模型模型4 (SIR模

11、型模型) 传染病传染病治愈后有免疫力治愈后有免疫力，病愈的人既非健康者，病愈的人既非健康者(易感染者易感染者)，也非病，也非病人人(已感染者已感染者)，他们已经，他们已经退出传染系统退出传染系统。 模型假设模型假设 总人数总人数N不变人群分为不变人群分为健康者健康者、病人病人和和病愈免疫的移出者病愈免疫的移出者(Removed)三类，三类人在总人数三类，三类人在总人数N中中占的比例占的比例分别记作分别记作s ( t )，i ( t )和和r ( t )。 病人的病人的日接触率日接触率为为，日治愈率日治愈率为为，传染期接触数传染期接触数为为=/。 模型构成模型构成 s ( t ) + i ( t

12、 ) + r ( t ) = 1 diNNsiNidt对于病愈免疫的移出者对于病愈免疫的移出者 NidtdrN00)0(,)0(,sssidtdsiiisidtdi记初始时刻的健康者和病人的比记初始时刻的健康者和病人的比例分别是例分别是s0 ( s0 0 )和和i0 ( i0 0 ) 天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力很强的免疫力 数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 数值计算数值计算 设设= 1，= 0.3，i ( 0 ) = 0.02，s ( 0 ) = 0.98，用用MATLAB软件软件编程编程 func

13、tion y=ill(t,x)%单独程序，文件名为单独程序，文件名为ill.m， %定义输入、输出变量和函数文件名定义输入、输出变量和函数文件名a=1;%= 1b=0.3;%= 0.3y=a*x(1)*x(2)-b*x(1); -a*x(1)*x(2);% SIR模型方程模型方程%主程序主程序ts=0:50;%规定自变量的取值范围规定自变量的取值范围0, 50 x0=0.02,0.98;%初始条件向量初始条件向量t,x=ode45(ill,ts,x0);t,x%求解微分方程，显示数据：求解微分方程，显示数据：t， i，splot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pause%绘绘i

14、t，st图图plot(x(:,2),x(:,1),grid,pause%绘绘is图图00)0(,)0(,sssidtdsiiisidtdi数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 i s图形（相轨线）00.400.81SP0ii(t),s(t)图形00.8101020304050S ( t )i ( t )相轨线相轨线 可以看出，可以看出，i ( t )由初值增长至约由初值增长至约t = 7时达到时达到最大值最大值，然后减少，然后减少，t，i0；s ( t )则单调减少，则单调减少，t，s0.0398。 相

15、轨线的定义及举例相轨线的定义及举例 http:/ 数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 00)0(,)0(,sssidtdsiiisidtdi相轨线分析相轨线分析 00|, 11iisdsdiss000ln1)(sssisii1DmiOs/ 1sP2P1s i平面称为相平面，相轨线在相平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域平面上的定义域( s，i )D为为 D = ( s，i) | s 0，i 0，s + i 1 箭头箭头表示了随着时间表示了随着时间t的增加的增加s ( t )和和i ( t )的的变化趋向变化趋向。 t时时s ( t )，i ( t )

16、和和r ( t )的极限值分的极限值分别记作别记作s，i和和r 消去消去dt 数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 i1DmiOs/ 1sP2P1 不论初始条件不论初始条件s0，i0如何病人如何病人终将消失终将消失 最终未被感染的健康者的比例是最终未被感染的健康者的比例是s,是相轨是相轨线与线与s轴在轴在(0，1/ )内内交点的横坐标交点的横坐标 0001ln0ssiss在在(0，1/)内的根内的根 若若s0 1 /，则，则i ( t )先增加先增加，当，当s = 1 /时，时，i ( t )达到最大值达到最大值 )ln1 (1000sisim然后然后i

17、( t )减小且趋于零减小且趋于零，s ( t )则单调则单调减小至减小至s，（由，（由P1 ( s0，i0 )出发的轨线出发的轨线) 若若s0 1 /，则，则i ( t )单调减小至零单调减小至零，s ( t )单调单调减小至减小至s,(由由P2 ( s0，i0 )出发出发的轨线的轨线 )即即i = 0)ln1 (1000sisim11didss数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 i1DmiOs/ 1sP2P1当当s01 /(即即 1/ s0)时传染病就时传染病就会蔓延会蔓延 减小传染期接触数减小传染期接触数，即，即提高阈值提高阈值1 /，使，使得得s

18、0 1 /(即即 1 / s0)，传染病就，传染病就不会蔓延不会蔓延 如果仅当病人比例如果仅当病人比例i ( t )有一段增长的时期有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么才认为传染病在蔓延，那么1 /是是一个阈值一个阈值 )ln1 (1000sisim 即使即使s0 1/，减小减小时，时，s增加增加，i_m降降低低，也，也控制了蔓延的程度控制了蔓延的程度。 在在 =/中，卫生水平越高，日接触率中，卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，越大，越小，所以越小，所以提高卫生水平和医疗水平提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延有助于控制传染病的蔓延

19、。 s = s1 /是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数交换数。所以当所以当s0 1/，即，即s0 1时，必有时，必有s1。既然交换数不超过。既然交换数不超过1，病人比例，病人比例i ( t )绝不会增加，绝不会增加，传染病不会蔓延传染病不会蔓延。 0001ln0ssiss数数学学建建模模第五章第五章 微分方程模型微分方程模型传染病模型传染病模型 当当s0 1 /时传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医时传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值疗水平，使阈值1 /变大以外，另一个途径是变大以外，另一个途径是降低降低s0，这可以通过比如，这可以通过比如预预防接种使群体免疫防接种使群体免疫的办法做到。的办法做到。 忽略病人比例的初始值忽略病人比例的初始值i0，有，有s0 =1 r0。于是传染病不会蔓延的条件。于是传染病不会蔓延的条件s01/知可以表为知可以表为r0 11 / 。 只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例(即免疫者比例即免疫者比例)r0满足上满足上式，就可以式，就可以制止传染病的蔓延制止传染病的蔓延。 免疫者要免疫者要均匀分布在全体人口均匀分布在全体人口中，中，有些传染病的有些传染病的更