湖南省-高二12月联考数学(理)试卷Word版含答案

1、浏阳一中 醴陵一中 南方中学2017年下学期高二年级联考理科数学试题总分：150分 时量：120分钟考试时间：2017年12月12日命题人：审题人：姓名考号一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 . 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为()A. 12B. 16C. 18D. 202.下列说法中错误的是()A.若命题 p: 3x= R, x2 +x +1 <0 ,则p : Vxw R,x2 + x +1 之0 .B. “ x

2、=1 ”是“ x2 -3x +2=0”的充分不必要条件C.命题“若x2 3x + 2 =0，则x=1 ”的逆否命题为x2 -3x+2 #0”D. “若x + y #5 ,则x #2或y*3”是假命题.3.设f'(x)是函数f(x)的导函数，y = f'(x )的图像如右图所示，则 y= f(x)的图像最有可能的是()ABCD4 .若变量x，y满足约束条件x y - -1I2x - y -1y三1则z = 3x y的最大值为（A. -7B. -1C. 1D. 25 .若执行如图所示的程序框图,则输出的k值是（A. 4B. 5C. 6D. 7开始6 .九章算术是我国古代数学名著，也

3、是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一k五步,问勾中容圆，径几何?思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步?现若向此三角形内投豆子,则落在其内切圆内的概率是W-1输出#A. 一10B. 一20C.20D. 107 .已知数列an）是正项等比数列,若ai= 32, a3 a4 =32,数歹u log2an的前 n 项和为 Sn ,贝u Sn >0n的最大值为（）A. 5B. 6C. 10D. 118 .如右图在一个600的二面角的棱上有两个点 A、B ,线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱 AB ,且AB = AC

4、 =1,BD = 2,则CD的长为（）A. 2 B. ,5 C. .3 D. 2 222229.已知两圆 C1 ：（x4 ） +y =169,C2 :（x+4 ） +y =9,动圆在圆 C1内部且和圆 G相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为（)22“ x y /A.一二164 48222222xy/ xy/ xy/B.-=1 C.=1 D.二148644864644810 .使函数f（x） =x3 -2x2 +ax+1在（-°0,4 °°）上是增函数的一个充分不必要条件是（）4A. a 之一34B. a >-3.4C. a 芸一34D. a(一

5、3_ 21一 一曲线y=2x上两点A(x1,y1卜B(x2,y2)关于直线y = x + m对称，且x, % =万，则m的值为A.5B.一2C. 23D.2已知定义在R上的函数 y = f(x)满足：函数y= f (x1)的图象关于直线x = 1对称，且当f s"xj-g,0)时，有f (x)+xf'(x)<0 ( f'(x)是函数f(x)的导函数)成立,1b=(ln2) f(ln2 ),c= log1 -1,log1 -,则a,b,c的大小关系A. a b c B. b a cC. c a b d. a c b本、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.

6、13.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25, 30)的为一等品，在区间20, 25)和30,35)的为二等品,其余均为三等品，则样本中三等品的件数为2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F1，F2 ,过F,作倾斜角为30°的直线与y轴和双 b曲线右支分别交于 A, B两点，若点A平分F B ,则该双曲线的离心率为1an15 .已知数列Q >满足：an卡=1一一， 4=2,记数列4的前n项之积为Pn ,则巳。16 .已知A,B两地的距 离是120km ,按 交通法规规

7、定， A, B两地 之间的公路 车速应限制 在 X250 -100km/h ,假设汽油的价格是 6元/升，以xkm/h速度行驶时，汽车的耗油率为 4- L/h ,< 360 J支付司机每小时的工资 36元.(1)此次行车最经济的车速是 ;(2)如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为 .三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2217 . 110分)命题p :方程 + = l(k w R)表示双曲线；命题 q :不等式kx2 +kx +1 a 0的 k -3 k 3解集为R;(1)若p为真命题，求k的取值范围；(2)若命题p vq为真命题，p八q为假命题，求实

8、数k的取值范围.18 . (12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了 1至&月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：日期1月10日2月1。日3月1。日4月10日B月1。日G月1。日昼夜温差式。C )|136就诊人数y(个)|22|1百该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组(每个有序数对叫作一组)数据中随机选取2组作为检验数据，用剩下的4.组数据求线性回归方程.(1)求选取的2组数据恰好来自相邻两个月的概率；2人，则认为得到的线性回(2)若选取的是1月和月的两组数据，请根据？至5月份的数据，求出丁关于工的

9、线性回归方程；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过归方程是理想的，试问(2)中所得到的线性回归方程是否是理想的?nXi yi - nxy(参考公式：回归直线方程为夕=&+a?,其中i?=,a?=y-bX)、Xi2 -nx2i 1aax - a19 . (12分)已知关于x的函数f (x产一(a#。), e(1)当a=-1时，求函数f (x)在点(0,1)处的切线方程；(2)设g(x) = eXf '(x )+lnx,讨论函数g(x)的单调性；(3)若函数F(x)= f (x)+1没有零点，求实数 a的取值范围.20 . (12分)在如图所示的多面

10、体中，EA _L平面ABC , DB _L平面ABC , AC _L BC ,且AC =BC =BD =2AE =2, M 是 AB 的中点.(1)求证：CM _LEM ；(2)求平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值；(3)在DC上是否存在一点 N ,使得直线MN与平面EMC所成的角是60°.若存在，指出点N的 位置；若不存在，请说明理由.E8©正（12分）在数列&中，a, =1,当n A2时，其前n项和&满足：2&2 =小（281）.1（1）求证：数列是等差数列，并用n表示Sn ；SnS2（2）令bn =n ,数列bn的前n项和为Tn.求使

11、得2Tn（2n+1） Mm（n2 +3）对所有n N”都成立2n 1的实数m的取值范围.222 . （12 分）设 A（*,y1 ）, B（X2,y2）是椭圆 W ax2,、_、3+ x-=1 a>b>0 ）上的两点，椭圆的离心率为,b2短轴长为2,已知向量m = a,% i, n=|上,8，且m,n, o为坐标原点. 1b aj 1b aj(1)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c), ( C为半焦距)，求直线 AB的斜率k的值;(2)试问：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由浏阳一中 醴陵一中 南方中学2017年下学期高二年级联考理科数学参考答案.选择

12、题：BDCDABCADBDA二.填空题:13. 100;14.15. . 2;16 . 60km/h (2) 240 元三.解答题17.解：(1)2 方程工2+=1k-3 k+3(k0)表示双曲线,则(k3) ( k+3) <0, gp-3<k<3.(2)不等式kx2+kx+1 >0的解集为 R?k=0 或、rk>0|小毋<。解得：0俅<4.命题p q为真命题，p为假命题，所以p、q 一真一假.若 p 真 q 假：则 k 的范围是k|k0 或 kKQk| 3vkv3= (3,0);若 p 假 q 真：则 k 的范围是k|kW3或 kWQk|0 4v4=

13、3 , 4).10分综上，k的取值范围是：(-3, 0) L3, 4).18 .(1)设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件月，因为从6组数据中选取2组数据共有16种情况,每种情况都是等可能出现的其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种.18(2)由数据求得工=11，歹=24.由公式求得为二亍再由以二y一6*求得:口 =所以y关于工的线性回归方程为歹二堂-9150,150478,786(3)当，=10时，, I22| - -<2- 当 x = 6时，y = t |- 12|12分所以，该小组所得线性回归方程是理想的( x 119. (1)当 a = 1 时，f (x 户 e-ex

14、-ex -x 1f x )ex-1x -1xex -2ex ，0 -2, 八f” 丁x,即f （x而（0,1）处的切线方程为y+2x1 = 0 .x xx ae -e ax -a(2) .g(x) = e+1nxex=-ax +2a +1nx(a =0 ),1g x)=a £，当a <0时，g'（x ）>0在（0, +8）上恒成立,g（x ）在（0,+00惮调递增,_1当a >0时，令g (x )>0 ,解得0 <x1，-1令 g （x）<0,解得 x>-, ac 11. g（x）在.,，a 单调递增，在.产单调递减._. x(3)

15、- F (x )=1-J =0没有零点, e即ex = -a(x 1 )无解，. y =ex与V? = a(x 1胸图象无交点,设两图象相切于（m,n）点,.em - -a m -1两图象无交点,2 _/.a = i e ,012分20 . (1)证明:AC =BC , M 是 AB 的中点,. CM _LAB,又EA _L平面ABC , . CM _L EA ,EACAB = A,. CM _L 平面 AEM ,. CM _L EM .(2)以M为原点，分别以 MB , MC为x, y轴，如图建立坐标系 M -xyz.则:M (0,0,0),C(0,亚,0 ),Bb/2,0,0 ), D(应

16、0, 2 ),E (-72,0,1 ),ME = (-72,0,1 ), MC=(0，立0), BD =(0,0,2 ), BC =(-72,72,0 ),设平面EMC的一个法向量= (x，y1，Z1 ),则：2x1 z1 = 0取为=1,y1=0,zi =啦，所以 m = (1,0,G ),设平面DBC的一个法向量n=(&,y2,Z2 ),则: - 2x22y2 =0,2y2 =0,取 x1=1,% =1 ,=0 ,所以 n =(1,1,0 ),cos必736故平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值为 6(3)在棱DC上存在一点N ,使得直线 MN与平面EMC所成的角是60&#

17、176;, II设 N(x,y,z汨DN = hDC, (0<Z<1 ),. .(x应 y,z21s 也八x = a/2 _,2九，y = V2九,z=2-2九，.-.mN =(J2 J2儿 瓜 2 2人)，若直线MN与平面EMC所成的的角为60°,则：cos而,mi-一'22 2一2 二sin60 =避/ L / 12222 ，3 2 i ) +2 - 4 1- 21解得九=一， 2所以在棱DC上存在一点N ,使直线MN与平面EMC所成的角是60°,点N为棱DC的中点.12分221 . (1)当 n 至2时，2Sn =an(2& -1)=(Sn

18、 Sn)(2Sn 1)SnSn =2SnS(n2)11，1、二 k 一= =2(n '2),即数列是等差数列， 4分Sn SnSn11d首项=二1S1a1，公差d =211(n -1)d = 2n -1(n - 1)SnS1Sn12n -1(2) bn工二 1，J)2n 1(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 12n -1 2n 15(1 一 )/_1,.1,11Tn 二 一(1)()n23352n 2m =由题 2Tn(2n+1) wm(n2 +3)即 n2 +33nn对于所有ne N率都成立2c设n x 3二由题m之(Cn )maxnn3函数y=x+ 在(0,J3上是减函数，在3,y)上是增函数x,、14故数列Cn从第二项起递减，而 J =2，。2 =74N满足题意的实数 m的取值范围为 m 7- . 12分22