离散系统的时域分析PPT课件

1、离散时间信号的表示方法离散时间信号的表示方法离散时间信号的运算离散时间信号的运算常用离散时间信号常用离散时间信号离散时间离散时间LTILTI系统的描述系统的描述第1页/共66页一离散时间信号的表示方法一离散时间信号的表示方法 00.9,0.8,0.3,0.1,: kf k数字序列 如有规则的 可以用函数表示波形表示 线段的长短表示各序列 值的大小 : f kf kf k严格地说，(一个序列）与（序列上的某个点）在概念上有区别，但为了书写方便，在不引起混淆的注前提下，常以表示意整个序列 0, 1, 2,f tf kTTTf kk 等间隔（省略 ）注意：序列在各点的值只有先后顺序不同，并无具体的时

2、间量纲。第2页/共66页例3-1-13-1-12 ,0( )0,0kkf kk试写出其序列形式并画出波形。波形：k121 2 f k124O0( ),0,0, 1 ,2,4,8,kf k序列形式：第3页/共66页序列的三种类型O( )f kkO( )f kkO( )f kk1k2k( )0kf k 双边序：列在内，都可能00( )0,( )0,f kkkf kkk：序列的非零值点具有起点或终点，即右单边序列左单边序列单边序列120,( )0,kkkf kk有限长序其它列：第4页/共66页二离散时间信号的运算二离散时间信号的运算相加：相乘：乘系数：12( )( )( )f kf kfk12( )

3、( )( )f kf kfk1( )( )f kaf k11( )() ( )() f kf kmf kf km右移位左移位移位：ok1f k 1231f 0f 1f 3f 2f41 ok f k1231f 0f 1f 3f 2f1 第5页/共66页1( )()f kfk( )(1)( )( )( )(1)f kf kf kf kf kf k前向差分：后向差分：1( )( )knf kf n反折：差分：累加：压缩、扩展： , kf kf akf kfa或注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。在离散时间信号处理中经常会涉及类似的展缩运算（称为抽取（下/ /减采样）与插值（上/ /增采样）。序列

4、的能量2( )kEf k采用较多( )(1)f kf k 第6页/共66页例3-1-23-1-2Ok1 f k12345 623456Ok12kf123 45 6789101223456Ok2fk12345 6246( )(2 ),2f kkfkf已知波形，请画出波形。抽取（下/ /减采样）插值（上/ /增采样）第7页/共66页三常用离散时间信号三常用离散时间信号单位样值单位样值/ /脉冲序列（单位序列）脉冲序列（单位序列）单位阶跃序列单位阶跃序列 矩形序列矩形序列斜变序列斜变序列单边指数序列单边指数序列正弦序列正弦序列复指数序列复指数序列第8页/共66页单位样本序列单位样本序列0,0( )1

5、,0kkk时移性:比例性:( ),()ck ckj抽样性:( ) ( )(0) ( )f kkfk注意：kO( )k110,()1,kjkjkjk(1)k11O( ) 0;( )0( )( )ttkkkt用面积 强度 表示，幅度为在取有限值 不是面积 。不是对抽样所得。第9页/共66页利用单位序列表示任意离散时间信号( )( ) ()mf kf mkm 01,1.5,0, 3,0,0,kf k12341ok f k5 . 13 11.532kkk第10页/共66页单位阶跃序列单位阶跃序列10( )00kkk( ):k可以看作是无数个单位脉冲序列之和kO( )k111 2 30( )( )(1)

6、(2)(3)()nkkkkkkn kk与是差和关系，不是微分积分关系。( )( )(1)kkk第11页/共66页矩形序列矩形序列101( )00,NkNRkkkNko( )NRk111 231 N ( )( )()NkRkkkN与的关系：第12页/共66页斜变序列斜变序列kO( )f k111 234( )( )f kkk第13页/共66页单边指数序列单边指数序列 kf kakOk1 kak1 123410 aOk1 kak1 12341 aOk1 kak1 123401 aOk1 kak1 12341 a第14页/共66页正弦序列正弦序列00:2, 1010正弦序列的频率。当则序列每个点重复

7、一次正弦包络的数值。 0sinf kk15Ok1 100sin k t0sin 1 0 sin f kk若离散正弦序列是周期序列，应满足N称为序列的周期，为任意正整数 f kNf k 0cosf kk余弦序列：第15页/共66页正弦序列周期性的判别 02 NN， 是正整数02NNmm， 为有理数0sin k仍为周期的02Nm周期：正弦序列是周期的0sinkN0 sink0sin2k002sink0sinkN0sink0sin2km002sinkm02为无理数 f kNf kN找不到满足的 值，为非周期的第16页/共66页例3-1-33-1-3N=10，说明正弦序列的包络线每隔10个样值重复一次

8、，周期为10。2 . 010220 N00 反映每个序列值出现的速率，小，两个序列值间弧度小。15ok1 0sin k t0sin1100.2表示相邻两个序列值间的弧度数为。0210N第17页/共66页123456789101122k f k 一个周期一个周期011 112 5.5N所以，即周期为。（中有个）4sin 11k已知：， 求其周期。00421111 21142Nm，则有：例3-1-43-1-4第18页/共66页 sin 0.4 f kk信号是否为周期信号？00.4，例3-1-53-1-502 5是无理数，所以为非周期的序列0510152025303540-1-0.500.51第19

9、页/共66页复指数序列复序列用极坐标表示： 0j00ecosjsinkf kkk jargef kf kf k 1f k 0arg f kk复指数序列：第20页/共66页四离散时间四离散时间LTILTI系统的描述系统的描述离散时间系统离散时间系统1122( )( )c f kc fk1122( )( )c y kc y k线性：齐次性、叠加性均成立离散时间系统离散时间系统1( )f k1( )y k离散时间系统离散时间系统2( )fk2( )y k离散时间系统：离散时间系统：输入、输出都是离散时间信号的系统第21页/共66页时不变性： f ky k，kO( )f k11123系统系统kO( )

10、y k111234kO()f kN11123系统系统kO()y kN11123 f kNy kNN整个序列右移 位第22页/共66页离散时间LTILTI系统差分方程描述 00 nmn imjijay kibfkj或1010( )(1)()( )(1)()nmmy kay ka y knb f kbf kb f kmn称为差分方程的阶数 (0), (1), (1)yyy n k=0初始状态: 注意有时候给定的初始条件并不是k=0的值。第23页/共66页1.1.迭代法迭代法3.3.零输入响应零输入响应 + + 零状态响应零状态响应利用卷积求系统的零状态响应利用卷积求系统的零状态响应2.2.时域经典

11、法：齐次解时域经典法：齐次解 + + 特解特解4.4. z变换法变换法反变换反变换 y(k)（变换域法）（变换域法）本节介绍迭代法和时域经典法本节介绍迭代法和时域经典法时域法第24页/共66页一迭代法一迭代法利用已知的初始条件和激励，直接根据差分方程所描述的信号递推关系求数值解。 y k便于计算机编程实现，但得不到输出序列的解析式第25页/共66页 003111kyy 113014kyy 2231113kyy 3332140kyy 由递推关系, ,可得输出值： 01, 4, 13, 40,ky k例3-2-13-2-1 3110,y ky kkyy k已知，且求的数值解。第26页/共66页 分

12、别求差分方程的齐次解 和特解 全解二时域经典法二时域经典法 ( )hy k ( )( )hpy ky kyk ( )pyk00nmn imjijay kibf kj第27页/共66页齐次解齐次解 齐次差分方程的解，特征方程 10010nn iniay kiy kay ka y kn 10y kay k,C其中 为待定系数 由系统的初始条件确定等比序列 ( )ky kCa (1)y kay k特征方程的根例:一阶差分方程1111000nn innn iniaaaa第28页/共66页齐次解的形式与特征根的关系 特征根齐次解单实根r重实根jajbe一对共轭复根kCjrajbe重共轭复根1211220

13、0cos()cos()cos()rkrkrrrrkAkkAkkAkcos()sin()cos(),kkjCkDkAkAeCjD或其中待定系数满足关系式( )hyk1211210rkrkkkrrCkCkC kC第29页/共66页 51620y ky ky k 02,11 yy已知。122,3 121200211231kyCCkyCC 5 23 3kky k 所以求解二阶差分方程特征方程2560230齐次解 1223kky kCC解出3, 521 CC例3-2-23-2-2特征根定12,CC第30页/共66页 61122830y ky ky ky k求方程的解。 2210222kkky kC kC

14、 kC特征方程33261280202 所以三重根给定边界条件即可求出常数012,CCC例3-2-33-2-3第31页/共66页例3-2-43-2-4设jj12ee 1122kky kCCj-j12eekkCC12cosjsincosjsinkkCkkCkkcossinkkCkDk C,D为待定系数为减幅正弦序列 1y k 1y k为等幅正弦序列 1y k为增幅正弦序列第32页/共66页对差分方程齐次解的讨论离散LTILTI系统差分方程的齐次解对应于系统的固有响应特征方程的每一个根对应于固有响应的一个模态，所有特征根所对应模态之和即为系统总的固有响应如果所有特征根的模都小于等于1 1，则系统的固

15、有响应是有界的，此时系统稳定；如果存在任一特征根的模大于1 1，则系统的固有响应无界，即系统不稳定固有响应可以由系统的初始状态激励产生，也可以由外加输入信号激励产生第33页/共66页特解特解特解对应于系统的强迫响应离散线性时不变系统输入与输出有相同的模态，即强迫响应的模态是由外部输入所激励的第34页/共66页 求全解的步骤求全解的步骤1. 差分方程特征方程特征根齐次解 激励的形式特解2. 全解齐次解特解( )hy k( )fyk( )( )( )hfy ky kyk3. 根据已知初始值和系统差分方程（n阶），采用递推方法求出初始条件(0), (1), (1)yyy n( 1), ( 2), (

16、)yyyn注意初始条件不能采用4. 利用初始条件，确定全解的待定系数第35页/共66页例3-2-53-2-5202 齐次解 pykC所以25 (0)CCk35 C所以所以代入原方程求特解 12khykC特解 全解形式15( )( )( )( 2)03khpy ky kykCk， 215 11y ky kky求全解。且 50 5 f kkk因为时全为（常数）第36页/共66页0 (0)52 ( 1)3kyy11y 由迭代出 1523ky kC代入解，得 35301 Cy341 C所以所以 53 2304ky kk所以0(-1)ky由边界条件定系数:由于全解只适用于，故不能以直接作为边界条件自由响

17、应强迫响应第37页/共66页三零输入响应三零输入响应+ +零状态响应零状态响应零输入响应：输入为零，差分方程为齐次零输入响应：输入为零，差分方程为齐次C可以由k=0时刻（相当于未加激励时0+的状态）的初始值确定若给定的初始值为加上激励之后（k=0）时刻的值，则需根据系统差分方程和激励求出未加激励情况下的初始状态或初始条件 kC齐次解：y(-1),y(-2),第38页/共66页 LTI 31221y ky ky kf kf k系统的差分方程 2010kf kkyy 已知 ,0 xykf k 零输入响应即当时的解。求系统的零输入响应。 31220 xxxykykyk2123202,1 例3-2-6

18、3-2-6 1221kkxykCC第39页/共66页求初始状态（k0） 题中 是激励加上以后的, 可迭代求出激励加入之前的初始状态 作为边界条件。 010yy1 ,2yy 1121200 y112y 所以 122130 yy524y 所以 01 130212120kyyy 010 031222021kyyy 第40页/共66页1511,2224xxyyyy 以代入方程111222121121252214xxyCCyCC 2321CC 3221kkxyk 所以解得由初始状态（ k=0 ） 也可以从 中去除激励的作用，求出零输入条件下的初始条件 。 010yy 0 ,1xxyy 01fy 0001

19、1114xfxfyyyyyy ， 14fy 010, 031222021fffkyyy 101, 130212120fffkyyy 120ffyy第42页/共66页 01,14xxyy 以代入方程 0012111202111214xxyCCyCC 2321CC 3221kkxyk 所以解得由初始条件（ k=0 ）定C1，C2 第43页/共66页零状态响应：初始状态为零状态响应：初始状态为0，即，即120yy求解方法经典法：齐次解+特解（全解的求解方法）卷积法注意：确定待定系数时必须先由 递推求出k=0时的初始条件120yy第44页/共66页3.3 3.3 单位序列响应与单位阶跃响应单位序列响应

20、与单位阶跃响应单位序列响应单位序列响应单位阶跃响应单位阶跃响应第45页/共66页一单位序列响应一单位序列响应系统系统( )k( )h k kh k单位序列作用下，离散系统的零状态响应，表示为单位序列响应的求解方法经典法z变换法利用单位阶跃响应求后向差分第46页/共66页消去中间变量 ，可得系统差分方程：已知系统框图，求系统的单位序列响应。列方程 1222y ky ky kf kf k例3-3-13-3-1左端加法器：教材例 122x kx kx kf k 122x kx kx kf k即 2y kx kx k x k右端加法器：第47页/共66页单位序列响应h(k)2222)( )(1)2(2

21、)(2)kh kh kh kk 仅由（作用时，( )(1)2 (2)( )(2),( 1)( 2)0h kh kh kkkhh且初始状态为111)( )(1)2 (2)( )kh kh kh kk仅由（作用时， 1 122( )( )h kx kx kx kkkkfkxf在而为中间变量的单位序列响应,即方程时的解1( )( )h kh k则求解的问题转换为求解的问题2111( )(2)( )( )(2)h kh kh kh kh k 第48页/共66页求解h1(k)0k 当时,111( )(1)2 (2)0h kh kh k特征根 220 ,2 (1)0121,2 特征方程 112( 1)0(

22、2 ,kkh kCCk齐次解：方程成为齐次方程 112( 1)(2) ,303kkhkk 1111110122(0)110211hhhhhh初始条件： k=0时齐次解亦成立 1121211201, 1 3 2 3121hCCCChCC 即 第49页/共66页求解h (k)221122( 1)(2)(2)33kkh kk 112( 1)(2)( )33kkh kk 1221( )0, 012( 1)(2) , 0,1331(2) , 12( 1)(2)( )33212( 1)(2)(2) 3 223kkkkkkkh kkh kh kkkkk第50页/共66页二、单位阶跃响应二、单位阶跃响应 当当

23、LTI离散系统的激励为单位阶跃序列离散系统的激励为单位阶跃序列 时，系时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用g(k)表示表示单位序列响应与单位阶跃响应之间的联系单位序列响应与单位阶跃响应之间的联系)(k0( )( )()kijkikj0( )( )()kijg kh ih kj) 1()()(kkk) 1()()(kgkgkh单位序列响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位序列响应第51页/共66页单位阶跃响应的求解方法经典法利用单位序列响应求和 单位阶跃响应的求解方法单位阶跃响应的求解方法第52页/共66页卷积和定义卷积和定义离散卷积的性质离散

24、卷积的性质卷积和的计算卷积和的计算卷积和的应用卷积和的应用第53页/共66页一卷积和定义一卷积和定义 if iki :f kk任意序列表示为的加权移位之线性组合( )f k( )y k( )h k( )k( )h k 11011 f kfkfkfkf iki :ff kykh kf k则激励下的零状态响应可以表示为单位序列响应与的卷积和 11011 ( )* ( )fiykfh kfh kfh kf i h kf i h kif kh ki第54页/共66页卷积和的一般定义 121212( )*( )iif kf kfkfi fkifki fi12( )( )f kfk若、均为因果序列， 12

25、121200( )*( )kkiif kfkfi fkifki fi 1212120( )*( )kiif kfkfi fkifki fi1( )f k若为因果序列，第55页/共66页二离散卷积的性质二离散卷积的性质不存在微分、积分性质。1 1交换律1221( )( )( )( )f kfkfkf k123123( )( )*( )( )( )( )f kfkf kf kfkf k1231213( )( )( )( )( )( )( )f kfkf kf kfkf kf k2 2结合律3 3分配律系统级联系统并联 ( )f kkf k4 4( )(1)(1)f kkf k112212()()(

26、)f kkfkkf kkk第56页/共66页三卷积和的计算三卷积和的计算1.1.解析式法2.2.图解法3.3.对位相乘求和法求卷积4.4.利用性质离散卷积过程：序列反折移位相乘取和 1212ifkfkfi fki12( ),( )if kfk的范围由范围共同决定。5.5.表格法主要适合于求有限长序列的卷积和可用于求无限长序列的卷积和实际应用中序列的长度往往都是有限的！第57页/共66页例3-4-13-4-1 01 ,( )( )( )kf kkh kky kf kh k 已知求卷积。 y kf kh k:0,iik宗量0,0ik k 即：0( )( )kiiy kk可见求和上限为k,下限为0 11y k( ) ()iiiki 111kkk 当时要点：定上下限解析式法第58页/共66页图解法o12 3( )f kkk h k1123o y kko12341 11 11ky k 当时，o123h ki ii i0k 101( )( )1kkiiy kkko12 3h ki ii 1k i第59页/共66页教材例 3.3-23.