由递推公式求通项公式的方法

1、由递推公式求通项公式的方法由数列递推公式求数列通项公式是数学中针对性较强的一种数学解题方法， 它从一个侧面体现数学的研究方法， 自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考 和高中数学联赛的热点之一 .一、一阶递推数列 （一）、已知前后项的差是个新数列用累加法。例1在数列 an 中，1，a1 3,an 1 an n(n 1)求通项公式an11a3a22311anan 1n1nan 1ann n 1解：原递推式可化为：11则 a2 a1,1211a4 a3，3411逐项相加得：11an a1 1. 故 an4nn二）、已知前后项的商是个新数列用累乘法。22例 2 设数列 an 是首项为 1 的正项

2、数列，且 （n 1）an 1 nan an 1an 02000 年高考 15 题）n=1,2,3 ），则它的通项公式是 an = 解：原递推式可化为：（n 1）an 1 nan （ an 1 an ）=0an 1 an >0，an 1an则 a2 1a1 22 a2 3a3a4a3ann 1an 1n逐项相乘得：an即aa1n三）、构造法。1、 an 1 Aan B ( A、B为常数）型，可化为an 1=A（ an）的形式 .例 3 已知数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 1 n N* 解法一：（构造法）an 1 2an 1 n N* ，an 1 1 2 an 1an 1 是

3、以 a1 1 2为首项， 2为公比的等比数列，an 1 2n即an 2n 1 n N *解法二：（构造法）an 1 2an 1 n N * an 2an 1 1 n 2 、两式相减得a n 1 an 2 a n an 1 n 2an 1 an 是以 a2 a1 2为首项， 2 为公比的等比数列， na n 1 a n 22an 1 an 2n即an 2n 1 n N * 解法三：（阶差法） 由 a1 1，an1 2an 1 n N* 可得：an 2a n 1 122an 1 2 an 2 222 an 223 an 3 22n2a222 n 1a1 2 n 1 以上 n 式相加得2nn1 2

4、22 2n 2 2n1 1 212即an 2n 1 n N * 解法四：（迭代法） 由 a1 1 ， a n 1 2an 1 n N 可得：an 2an 1 12 2an 2 1 1 22 an 2 2 12 3 222 2an 3 1 2 1 23an 3 22 2 1n1 n 222n 1 a1 2n 222 2 12n 1 2n 222 2 12n 1即an 2n 1 n N *a0 ， a1 ， an ， an ，满足an an 2an 1an 2 =2an 1(n 2) 且a0a1 1，求 an 的通项公式 .解 将递推式两边同除以an 1an 2整理得：an 1an 2设 bn=a

5、nan 1b1a1a0 =1， bn2bn 11，故有练习（ 1993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列b2 2b1 1b3 2b2 1bn 2bn 1 1n 1)由 2n 2 2n 3 +( n 1) 20得bn 1 2 222n1 =2n 1，即逐项相乘得：2 2 2 n 2an =(21)2(221)2(2n1)2 ，考虑到a01，故an2 212n2(n0).n2 22n2n(21)2 (221)2(2n1)2(n1)2、an 1 Aan B C n( A、B、C为常数，下同)型，可化为 an 1Cn 1=A(anCn)的形式 .例 10 在数列 an 中， a11,an 1 2a

6、n 4 3n 1, 求通项公式 an 。n+1解法一：原递推公式两边同除以2n+1解法二：原递推式可化为：an 13n 2(an3n 1)比较系数得=-4 ，式即是： an 1 4 3n 2(an 4 3n 1).则数列 an 4 3n 1是一个等比数列，其首项 a1 4 3115，公比是 2.n 1 n 1 an 4 3 5 2即 an 4 3n 1 5 2n 1 .3、 an 2Aan 1Ban 型，可化为an 2an 1(A )(an1an )的形式。例11 在数列 an 中， a11,a2 2，当n N，an 2 5an 1 6an 求通项公式 an .解：式可化为：an 2 an 1

7、 (5 )(an 1an )比较系数得 =-3 或 =-2 ，不妨取 =-2. 式可化为：an 2 2an 1 3(an 1 2an )则an 1 2an 是一个等比数列，首项 a2 2a1 =2-2 ( -1 ) =4，公比为 3. n1 an 1 2an 4 3n 1. 利用上题结果有：n1 n 1an 4 3 5 2 .4、an 1AanBnC 型，可化为an11n2Aan1(n1)2 的形式。3例12 在数列an中， a1，2an an 1=6n 3 2求通项公式 an .解法一：迭代法解法二：构造法式可化为：2(an1n 2) an 1 1(n 1) 2 比较系数可得：1 =-6 ，

8、 2 9 ， 式为 2bn bn 1bn 是一个等比数列，首项b19a1 6n 9 ，公比为2bn 92(12)n 11n即 an 6n 9 9 ( )n21n故 an 9 (1) n 6n 9.n2四）、取倒数例6已知数列 an 中，其中a11, ，且当 n 2 时， anan 12an 1 1，求通项公式 an 。解 将 anan 12an 11两边取倒数得：112 ，这说明1 是一个等差数列，首项anan 1an11是 1 1 ，公差为 2，所以 1a1an1 (n 1) 2 2n 1，即 an2n 1本题的递推公式如果写成整式就是 2anan-1+an= a n-1, 要注意该式的变形

9、。练习 若数列 an中， a1 =1， Sn是数列 an的前 n项之和，且 Sn1SSn (n 1 )，3 4Sn求数列 an 的通项公式是 an .解 递推式 Sn 1n 1 3 4SnSn 可变形为 1 3 1 4SSn 11）11设（ 1）式可化为 1 3（ 1 ） SnSn 12）1比较（1）式与（2）式的系数可得2 ，则有 1Sn 112 3( 2) 。故数列 Sn1 2Sn11是以 2 3为首项， 3为公比的等比数列。2=3 3n1 3n。所以 SnSnS13n 1当 n 2，an Sn Sn 1 3n3n12 3n2n n32n 8 3n12数列an的通项公式是 an12 3n(

10、n 1)32n 8 3n 12(n 2)五）、周期性六）、取对数法例 7 若数列 an中， a1=3且an 1 an2（n 是正整数），则它的通项公式是 an（ 2002年上海高考题）2解 由题意知 an >0，将 an 1 an2两边取对数得 lgan 12lg an ，即 lgan1 2，所以数lgan列lg an是以 lg a1 = lg 3为首项，公比为 2 的等比数列，lgan lga1 2n 1 lg32n1 ，即2n 1an32二、简单二阶递推数列4 13已知数列 an ，其中 a1,a2 ，且当 n3 时，39an an 113(an 1 an 2)，求通项公式 an （1986 年高考文科第八题改编）解：设 bn 1 an an 1 ，原递推式可化为：1bn 1bn 2,bn 是 一个等 比数列 ， b1 a23bn 1 b1 (1)n 2 1(1)n 2 (1)n.3 9 3 31故 an an 1 ( )n. 由逐差法可得：n n 1 3a113 41119 ，公 比为 31 . 故an23 12 (13)n.2 2 3例 4 已知数列 an ，其中 a1 1,a22，且当 n3 时，an2an 1 an 2 1 ，求通项公式 an 。解 由 an 2an 1 an 2 1 得： (an则上式为 b