华东师大版九年级数学下册第26章：二次函数压轴题训练(含答案)

1、华东师大版九年级数学下册第 26章二次函数压轴题训练提高试题1. 如图，抛物线y= x2+ 2x 3交x轴于点A, B,直线AD交抛物线于点 D,点D的横坐标为2，点P(m, n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD的表达式； 过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点 Q,求线段PQ的长度I与m的关系式，m为何值时，PQ最长？2解：在y= x + 2x 3中，当 x= 2 时，y= ( 2)2 4 3= 3. D( 2, 3).在 y= x2+ 2x 3 中，当 y = 0 时，2那么 x + 2x 3= 0,解得 xi = 1, X2= 3. A(1 , 0), B( 3, 0).设直线 AD的

2、表达式为 y = kx + b.将 A(1 , 0) , D( 2, 3)代入，得k + b= 0,2k + b= 3,解得k= 1, b= 1.直线 AD的表达式为 y = x 1./点P在直线 AD上，点Q在抛物线上，P(m, n),2 n= m 1, Q(m m+ 2m 3).I = (m 1) - (m2 + 2m- 3) =- mi-m+ 2=- (m+$ + 9( 2<me 1).当 m= 1时，9l 最大=.41 2 12. 如图，抛物线 y= 2X + 2X + 3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点D(2 , 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一

3、点P,使得 BDP的周长最小？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由人121解：令 y = qx + x + 3= 0,解得 X1 = 3, X2 = - 2.A点坐标为(2, 0).连结AD,交对称轴于点P, 那么P为所求的点设直线 AD的表达式为 y = kx +1.将点A, D坐标代入，得2k + t = 0,2k+ t = 2.解得t = 1.直线AD的表达式为抛物线对称轴为直线b 1x = 2a= 2，15点p的坐标为(2, 4).3. 如图，直线y= 3x + c与x轴相交于点A(1 , 0)，与y轴相交于点B,抛物线y=2x + bx + c经过点A, B,与x轴的另

4、一个交点是 C.(1) 求抛物线的表达式；点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当SPAB 2SA0B时，求点P的坐标. B(0, 3).2把 A(1 , 0), B(0, 3)代入 y= x + bx + c,得1 + b+ c = 0, c = 3.解得c= 3.抛物线的表达式为 y= x 2x+ 3.2(2)抛物线的对称轴为直线x = 1.2X( 1)由图形可知，直线AB向左平移1个单位长度过点 0,故将直线AB向左平移2个单位长度后,所得直线y= 3(x + 2) + 3上任意一点与点 A, B构成的三角形面积均等于2Saob,y = 3 (x + 2)+ 3,2y = x 2x + 3,

5、x12, x2 3,解得(舍去)yi= 3, y2= 12.点P的坐标为(2, 3).4. 如图，抛物线y= 1x2+ x 4交x轴于点A B,与y轴交于点C,点P是第三象限内抛物 线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点 P的坐标.1 2 ,解：在 y =+ x 4 中，1 2令 y= 0，那么x + x 4= 0,解得 X1 = 2, X2 = 4.令 x= 0，贝U y= 4. A(2, 0) , B( 4, 0) , C(0, 4).1 2连结OP设点P(x , ?x + x 4),其中4V x V 0,四边形ABPC勺面积为S.S= SAOc+ SOCp+ SxOBP1 1

6、 1 1 2=尹 2X 4+ 2X4X ( x) + 2X 4X ( x x+ 4)=x2 4x + 12=(x + 2)2+ 16. 1v 0 ,抛物线开口向下， 当x= 2时，四边形 ABPC勺面积S最大.此时，y= 4,即即 P(-2, 4).因此当四边形 ABPQ的面积最大时，点 P的坐标为一2, 4.2 1 15. 如图，抛物线y = ax + 2X + c交x轴于A, B两点，交y轴于点C.直线y = -x 2经过点A, C.1求抛物线的表达式；点P是抛物线上一动点， 过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M设点P的横坐标为 m. 当厶PCM是直角三角形时，求点 P的坐标.解： 当 x

7、= 0 时，y *x 2= 2.点C的坐标为0， 2.当 y= 0 时，一J 2= 0,解得x= 4.点A的坐标为一4, 0.将 A( 4, 0) , C(0, 2)代入 y= ax2 + gx+ c,得 / PMLx 轴，/ PMCf 90°.16a 2+ c = 0,c = 2,解得1a=4,c = 2.抛物线的表达式为y= 4x2+ 2x 2.分两种情况考虑： 当/ MPC= 90° 时，PC/x 轴，点P的纵坐标为一2.1 2 1当 y= 2时，4X + qx 2= 2,解得 Xi = 2, X2 = 0.点P的坐标为(2, 2); 当/PCM= 90°时

8、，设 PC与x轴交于点 D./ OAC-Z OC= 90°,/ OCA-Z OC= 90°, / OAC=Z OCD.又/ AOC=Z CO= 90°, AOC COD.OD OCOD 2=，即一=_.OC OA 24 OD= 1.y = 2x 2.X2= 6, y2= 10.点 D的坐标为(1 , 0).由C, D坐标求得直线PC的表达式为y = 2x 2,门X1 = 0,联立 1 21 解得y = 4X + 於2.y1 = 2,点P的坐标为(6 , 10).综上所述：当 PCM是直角三角形时，点P的坐标为(一2, 2)或(6 , 10).3 236. 如图，抛

9、物线y =；x2 + bx + c与x轴交于A , B两点，与y轴交于C.直线y =二x+ 3经过4 4点 A, C.(1) 求抛物线的表达式;(2) P是抛物线上一动点，过P作PM/y轴交直线AC于点M设点P的横坐标为t.假设以点C,O M, P为顶点的四边形是平行四边形，求t的值.3解：(1)在 y= 4X + 3 中, 令 x= 0, y= 3;令 y= 0, x= 4, A( 4, 0) , C(0 , 3).3 2将 A( 4, 0) , C(0, 3)代入 y = 4X + bx+ c,得3 9-X 16 4b+ c = 0 ,b=匚,c= 3,4 解得 29口 r3设 P(t ,

10、 4 4 + 3),那么 M(t , 4 + 3).以点C, O, M, P为顶点的四边形是平行四边形，且PM/ OC PM= OC= 3./ PM= | 为2 3t| , | jt2 3t| = 3.c= 3.3 2 9抛物线的表达式为y=-3x-*+3.3当一；t 2 , 1 2解：在 y = x + x+ 4 中，令 y= 0,那么一x + x + 4= 0,解得 xi = 2, x = 4.令 x= 0，贝U y= 4. A( 2, 0) , B(4 , 0),C(0, 4). AB= 6, AC= 2 5, BC= 4 2,/ OC=Z OBC./ PE/y 轴，/ 0C=/ OBC

11、=/ PDB=/ CD= 45° .故只存在厶 CD0AABC 和厶 CDEA CBA两种情况.- B(4, 0) , C(0 , 4),直线BC的表达式为y = x+ 4. 1 2t P(t , 0) , E(t , 2t + t + 4) , D(t , t + 4). 3t = 3，解得 t = - 2;4当一|t2 3t = 3,解得 ti= 2 + 2 2, t2= 2 2 2.综上所述，满足条件的 t的值为2或2+ 2 2或2 2 2.1 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = 2X+ x + 4交x轴于点A, B, x轴上有一动点P(t , 0)，过点P且垂直

12、于x轴的直线与直线 BC及抛物线分别交于点 D, E,连结CE AC.当点P在线段0B上运动时(不与点0, B重合)，假设 CDE与厶ABC相似，求t的值. CD=XD sin 452t , Di 1t2+ 2t.当 CD0A ABC时，那么CD DEABT BC，2+ 2t4；2解得t T 0或3舍去0；当 CD0A CBA时，同理可得：t = 0或1舍去0;4故t = 1或3.38. 如图，抛物线y = ax2+ 6x + c交x轴于A, B两点，交y轴于点C,直线y = x 5经过点B,C.1求抛物线的表达式；过点A的直线交直线 BC于点M连结AC当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB

13、的2倍 时，请求出点M的坐标.解：1对于 y = x 5,当 x= 0 时，y = 0 5= 5, 那么 C0， 5.当 y= 0 时，x 5 = 0,解得 x= 5,贝y B(5 , 0).2把 B(5 , 0), C(0，- 5)代入 y = ax + 6x + c,得25a + 30+ c = 0,c = 5.解得a= 1,c = 5.抛物线的表达式为 y= x + 6x 5.作AC的垂直平分线交 BC于点M,交AC于点E. / OB= OC= 5,./ OB(= 452当 y= 0 时，一x + 6x 5= 0,解得 xi = 5, X2 = 1,贝U A(1 , 0). AB= 4.

14、'M iA=ACM=/ CAM./ AMB= 2/ACB.设 M(m, m 5).2 2 2 2'/MA= MC,.(m 1) + (m 5) = m+ m.13解得16",1317M1(7， 6).作ANL BC于点N,NHLx轴于点H,作点M关于N点的对称点 M，那么/AM>C=Z AMB= 2/ACB,1由/OB= 45°，易知 ANB为等腰直角三角形， AH= BH= HN= qAB= 2. N(3, 2). 设 M(n , n 5), M1, M>关于点N对称, 3X 2=严+ n,解得n =学.6 61317237综上所述，点 M的坐

15、标为(百,6)或("6， g).10. 如图，二次函数的图象与 x轴相交于A, B两点，与y轴相交于点C,点C, D是二次函 数图象上关于对称轴对称的一对对称点，一次函数的图象经过点B, D.(1) 求点D坐标；(2) 求二次函数、一次函数的表达式；(3) 根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.解： 由图得C(0, 3)，对称轴为直线x = - 1,点D的坐标为(2, 3). 由图可得，二次函数与 x轴的两个交点分别为 A( 3, 0) , B(1 , 0), 故可设二次函数的表达式为y = a(x + 3)(x 1).将点C的坐标(0 , 3)代入二次函数的表达式可

16、得，一3a = 3, a= 1.2二次函数的表达式为y = (x + 3)(x 1) = x 2x + 3.设一次函数的表达式为y = kx + b(k丰0),把D( 2, 3) , B(1 , 0)分别代入上式，得2k + b= 3, k = 1,解得k + b= 0,b= 1. 一次函数的表达式为y = x+ 1. 由图象可知，当x< 2或x>1时，一次函数值大于二次函数值11. 直线I : y= kx + 1与抛物线y = x2 4x.(1) 求证：直线I与该抛物线总有两个交点；(2) 设直线I与该抛物线两交点为 A, B, O为原点，当k= 2时，求 OAB的面积.解：证明

17、：联立y = kx + 1,y = x2 4x.化简，得2x (4 + k)x 1 = 0,2= (4 + k) + 4 > 0.故直线I与该抛物线总有两个交点.(2)当k= 2时，y= 2x + 1.过点A作AF丄x轴于点F,过点B作BELx轴于点E.联立 y = x2 4x,y = 2x+ 1.x = 1 +V2,x= 1 ,解得厂或厂y = 1 2 2 y= 2 2 1. A(1 .2, 2 2 1) , B(1 +2 , 1 2 .2). AF= 2 2 1 , BE= 1 + 2.2.1 1易求：直线y = 2x+ 1与x轴的交点C为q, 0), OC= 2.11=-OC- A

18、F+ -OC- BE2 21=0。(AF+ BE)=2x 2X (22 - 1 + 1 + 2 2)=2.212. 如图，直线y= 2x 2与x轴、y轴分别相交于点 M N,抛物线y = x - x 6与x轴 相交于点A, B,与y轴相交于点C,且直线与抛物线的交点分别为点E, F.(1)求点M N A，B, C的坐标；求点E, F的坐标；(3) 根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.解： 对于y = 2x 2,当x = 0时，y = 2;令y = 0,艮卩2x 2 = 0,解得x = 1,点M N的坐标分别为1 , 0和0， 2.对于 y= x2 x 6,当 x= 0 时，y

19、= 6;令 y = 0,2 即 x x 6 = 0,解得 X1 = 2, X2 = 3,点 A, B, C 的坐标分别为一2, 0 , 3 , 0 , 0， 6.(2)联立y= 2x 2,2y= x x 6,x1 = 4,解得y1 = 6x2= 1, y2= 6.点E, F的坐标分别为一1, 4和4 , 6. 由图象可知，当一1<x<4时，一次函数值大于二次函数值13. 随着地铁和共享单车的开展，“地铁+单车已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B, C, D, E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x单位：千米

20、，乘坐地铁的时间 yi单位：分钟是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx千米891011.513yd分yi关于x的函数表达式;一 1 2 李华骑单车的时间单位：分钟也受x的影响，其关系可以用y2= 2X 11x+ 78来描述,请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.解：(1)设 y = kx + b.将(8 , 18), (9 , 20)代入 y1= kx + b,得8k + b= 18,9k + b = 20.解得k= 2,b= 2.故y1关于x的函数表达式为 y1= 2x+ 2.(2)设李华从文化宫回到家所

21、需的时间为y,那么1 2 1 2 1 2y= y1+ y2= 2x + 2 + ?x 11x+ 78 = ?x 9x + 80=-(x 9) + 39.5.当x= 9时，y有最小值，y最小=39.5.答：李华应选择在 B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.14. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m宽是4 m.按照图中所示1 2的平面直角坐标系，抛物线可以用y = 6x + bx+ c表示，且抛物线上的点 C到0B的水平17距离为3 m,至U地面0A的距离为m.(1)求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面0A的距离；一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m宽为4 m如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否平安通过？(3) 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不 超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？*/I17Tif15| 10iaX解：(1)由题意，得点B的坐标为(0, 4)，点C的坐标为(3 , )，代入表达式，得4=