高等数学(同济第六版)课后习题答案

1、习题1 41 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之解 不一定例如 当 x0 时(x) 2x (x) 3x 都是无穷小( x)2(x)不是无但 lim3(x)x 0 (x)穷小2 根据定义证明(1) yx29 当 x3 时为无穷小 ;x3(2) yx sin 1 当 x0 时为无穷小x证明(1)当 x3 时 | y|x29| x 3| 因为0当 0|x 3|时 有x3| y|x29|x3|x3所以当 x3 时 yx29 为无穷小x3(2)当 x 0 时 |y| |x|sin 1 | |x0| 因为0当 0|x 0|时 有x| y|x|sin 1 | |x0|x所以当 x0 时 yxsin

2、1 为无穷小x3根据定义证明函数 y12x 为当 x0 时的无穷大问 x 应满足什么条件104？x能使 |y|证明 分析 | y |12x2112要使 |y| M只须 12 M即xx|x |x| x|12M证明因为M012使当 0 |x0|时 有 12xMMx所以当 x0 时 函数 y 12x 是无穷大x取M 104则1当 0|x0|1时 |y|410410421024 求下列极限并说明理由(1) lim 2x 1 ;x x(2) lim 1 x2x 0 1 x解因为2x121而当x时1是无穷小所以lim2x 12(1)xxxxx(2)因为 1x21x (x 1)而当 x0 时 x 为无穷小所

3、以 lim 1x211xx0 1x5根据函数极限或无穷大定义填写下表f(x)Af(x)f(x)f(x)00使xx0当 0 |x x0 |时有恒 |f(x)A|xx0xx00X 0使当 |x| X 时x有恒 |f(x)| Mxx解f(x)A00 使x x0 当 0 |x x0| 时有恒 |f(x) A|00使xx0当 0 x x0时有恒 |f(x)A|00使xx0当 0 x0 x时有恒 |f(x)A|0 X 0使x 当 |x| X 时 有恒|f(x) A|0X 0 使x 当 x X 时 有恒|f(x) A|0 X0使x 当 x X 时 有恒|f(x) A|f(x)f(x)f(x)M 00 使M

4、00 使M 00 使当 0 |x x0时当 0 |x x0|时当 0 |x x0时|有恒 |f(x)|M有恒 f(x)M有恒 f(x)MM 00 使M 00 使M 00 使当 0 x x0时当 0 x x0时当 0 x x0时有恒 |f(x)|M有恒 f(x)M有恒 f(x)MM 00 使M 00 使M 00 使当 0 x0 x时当 0 x0 x时当 0 x0 x时有恒 |f(x)|M有恒 f(x)M有恒 f(x)M0 X0使0 X0使0 X0使当 |x|X时 有恒当 |x| X 时 有恒当 |x|X时 有恒|f(x)|Mf(x)Mf(x)M0 X0使0 X0使0 X0使当 x X 时 有恒当

5、 x X 时 有恒当 x X 时 有恒|f(x)|Mf(x)Mf(x)M0 X0使0 X0使0 X0使当 xX 时 有恒 当 xX时 有恒当 xX时 有恒|f(x)|Mf(x)Mf(x)M6函数 y xcos x 在 ()内是否有界？这个函数是否为当x时的无穷大？为什么？解 函数 y xcos x 在()内无界这是因为M 0在()内总能找到这样的x 使得 |y(x)| M例如y(2k ) 2kcos2k2k(k 0 1 2)当 k 充分大时就有 | y(2k )| M当 x时函数 y xcos x 不是无穷大这是因为M 0找不到这样一个时刻N使对一切大于 N 的 x 都有|y(x)|M 例如y(2k)(2k) cos(2k)0 (k 0 1 2)222对任何大的 N 当 k 充分大时总有 xkN但|y(x)| 0M227证明 函数 y1 sin 1 在区间 (01上无界但这函数不是当 x0+时的无xx穷大证明 函数 y1 sin 1 在区间 (0 1上无界这是因为xxM0在(01中总可以找到点 xk使 y(xk)M 例如当xk1(k 01 2)2k2时有y(xk)2k2当 k 充分大时 y(xk) M当 x0+ 时 函数 y1 sin 1 不是无穷大