购房贷款问题

1、购房贷款问题摘要： 近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋萎缩，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势，并且日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀的。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额递增还款法。而对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算还款买房的人所必须认真考虑的。在本次购房贷款问题中所列举的案例，王先生计划向银行贷款10万元来买房，并以15年作为还清贷款的期限，在还款的过程中，根据银行利率，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考

2、虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。关键字：等额本息还款，等额递增还款法。1. 问题的提出小王夫妇于10年4月贷款10万元购买一套房子，当时贷款(年)利率为6.02%，打算用15年的时间还清贷款。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。1. 在上述条件下，小王夫妇各月的还款额是多少？小王夫妇每月的还款额是多少？预计要付多少利息？2. 假设为了某种目的，银行利率每年一月份调整一次，当月立即执行。各年（年）利率见附表。那么小王夫妇前2年各月的还款额是多少？前2年内总共还了多少？其中本、息各占多少？

3、如果不考虑12年以后利率的调整，预计还要付多少利息？3. 假设他们在11年12月与12年1月两个月没有能按时还款，在不考虑银行罚金的情况下，现在他们每月的还款额是多少？4. 到12年底，在经济状况许可的条件下，他们将考虑是否提前还贷，那么他们在这个月末，需要一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？5. 一般来说，随着工作经历的增长，家庭收入也在增长。因此，银行增补性地推出了逐步增加还款额的还贷方式。具体的办法是：如果第1年的每月还款额是1000元，第2年的每月还款额是1400元的话，那么第3年的每月还款额是1800元，第4年的每月还款额是2200元，以此类推。如果他们又打算从13年1月份

4、开始采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，在假设贷款利率不再改变的情况下，他们需要多长时间就可以还清贷款？6. 如果13年后每年的贷款利率保持上浮5%的水平，重新回答上面的第2，第5两个问题。贷款(年)利率调整表10年 %11年 %12年 %1 -5年           5.486.126.705年以上         6.026.296.892. 问题的分析试想一下，银行如果不把本金贷给客户的话，银行

5、就不可以从这笔本金中赚到利息。此，银行为了保障自己的利益，他不仅要求客户还贷款本金外，还要求客户还本金在贷款期内应该赚到的利息，现在的银行大多是有要求客户每月还相等的金额，即是每月按月均还款额偿还贷款，这样，贷款期过后，客户就会把本金和本金的利息都还清，可以根据这些，从中推导出月均还款总额的公式。问题一:使用当时贷款（年）利率为6.02%时，每月的还款额和预计要付的利息。问题二：银行利率每年一月份调整一次，当月立即执行。10年4月以后八个月年利率为6.02%，11年间利率为6.29%，12年前四个月年利率为6.89%。问题三：他们在11年12月与12年1月两个月没有能按时还款，且不考虑银行罚金

6、，到11年11月末本息为A,12年1月初以A为本金，6.89%为年利率计算每月还款额。问题四:到12年底，在经济状况许可的条件下，他们将考虑是否提前还贷，即12年底以前是按每月等额还款，13年初就一次性还清。问题五:13年1月份以前按等额本息还款法还款，从13年初就开始采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，且贷款利率不变，始终保持年利率为6.02%。问题六:13年后每年的贷款利率保持上浮5%，利率改变。3.符号的约定R: 年利率r: 月利率A: 客户向银行贷款的本金X: 客户应向银行支付的月均还款额S: 客户每期还款后剩余的还款额M: 客户应向银行还款的总额D: 客户的利息负担总和n：客户总

7、的还款期数：在贷款期的后一段时间内每期还款额相对前一段时间内每期还款额呈一固定比例递增系数，>0且<14建立模型及求解等额本息还款模型的求解(1)先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的，客户合同规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变。因为一年的年利率是R，那么，平均到一个月就是（R/12），也就是月利率r即有关系式：R=12r设月均还款总额是X（元）(i=1n)是客户在第i期号还款前还欠银行的金额(i=1n)是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额根据上面的分析，有第1期还款前欠银行的金额： 第1期还款后欠银行的金额：第i期还款前欠银行的金额：

8、=S(1+r)=(A(1+r)-X(1+r)- -X)（1+r） -X（1+r）- X（1+r）第i期还款后欠银行的金额： 第n期还款前欠银行的金额：A=第n期还款后欠银行的金额：S=-X= 因为第n期还款后，客户欠银行的金额还清，也就是说：，即：解方程得： X=这就是月均还款总额的公式因此，客户总的还款总额就等于： M=nX=n利息负担总和等于： D=M-A= n-A（1）利用上面的公式即可以算出问题一使用数学软件MATLAB求得结果为：家庭每月的还款额为:844.9377 总共所要支付的利息:5.2089e+04（2）10年的后八个月月均还款额= n取180 r取10的利率八个月后还剩的还

9、款额A=S。11年的12个月月均还款额= n取172 r取11年的利率十二个月后还剩的还款额A=S。12年的四个月月均还款额= n取160 r取12年的利率四个月后还剩的还款额A=S。小王夫妇前2年各月的还款额是，前2年内总共还了8+12+42年期间应还利息8X1+12+4+ -A2年期间应还本金A- A如果不考虑12年以后利率的调整，预计还要付156- A用MATLAB求得的结果为：10年每月还款额为:844.9377元11年每月的还款额为:859.0599元12年前4个月每月还款额为:889.0312元前两年共支付的金额为:2.0624e+04=20624元前两年支付的利息为:1.2077

10、e+04=12077元前两年支付的本金为:8.5476e+03=8547.6元两年后还需支付的利息为:4.7236e+04=47236元(3) 到11年11月底还剩还款额为S，由于之后两个月没能按时还款所以12年2月初还剩还款额为S=S19（1+r）由MATLAB计算结果为： 9.3175e+004=93175元.所以之后每月月均还款额为=由MATLAB求得结果为：现在他每月的还款额为: 860.4263元。（4）若12年第十二个月已经还款则剩余的还款额为S 12年底需要一次性付给银行的欠款为: 8.8117e+004=88117元。若12年第十二个月未还款则剩余的还款额为S(1+r)12年底

11、需要一次性付给银行的欠款为: 8.8962e+004=88962元。（5）到12年底剩余还款额为S32由MATLAB求得的结果是：12年年底剩余的还款额为8.8117e+004=88117元。 之后每过一年每月还款额增加400元所以到13年底剩余还款额为S=S (1+r)-(1+r)12-(1+r)所以到14年底剩余还款额为S=S (1+r)-(1+r)12-(1+r)所以到15年底剩余还款额为S=S (1+r)-(1+r)12-(1+r)依次类推直到S小于0时截止。由此可知应建立一个循环，来判断何时还清欠款。在MATLAB上，用循环语句求得的结果是：最终还清所有贷款所用的时间:54 个月。（

12、6） 6.（1）第6问的基础上做第2问、第5问。第6问条件是，13年货代利率保持上浮，所以第2问的前3问，与原题目过程答案相同。这里从第2题的第4问开始做：10年的后八个月月均还款额= n取180，r取10的利率八个月后还剩的还款额A=S。11年的12个月月均还款额= n取172，r取11年的利率十二个月后还剩的还款额A=S。12年的12个月月均还款额= n取160，r取12年的利率解得13年初欠款8.8482e+004=88482元13年初还欠款为；由于13开始每年利率增长0.05,所以13年每月还款额；依次类推到倒数第二年初还欠款；倒数第二年每月还款额 ；最后一年初还欠款最后一年4个月每月

13、还款12年以后预计还要支付利息为: 6.9501e+004=69501元。6.（2）由上题可知13年初还剩欠款S32=8.8117e+004=88117元13年后每年利率上涨0.0513年年底剩余还款额为：S=S (1+r)(1+0.05)-(1+r)12-(1+r)所以到14年底剩余还款额为S=S (1+r)-(1+r)12-(1+r)所以到15年底剩余还款额为S=S (1+r)-(1+r)12-(1+r)依次类推直到S小于0截止。由此可知应建立一个循环，来判断何时还清欠款。在MATLAB上，用循环语句求得的结果是：最终还清所有贷款所用的时间:61个月。5.模型分析在用数学建模的思想建立购房

14、贷款的模型时，主要应用了其中的差分方程建模的理论。差分方程反应的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或者几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。结合购房贷款问题中小王夫妇的例子来说，其中的还款方式主要涉及等额本息还款法，等额递增还款法。等额本息还款法指的是在贷款期内每月以相等的金额平均偿还贷款本息的还款方式；等额递增还款法则是指在贷款期的后一段时间内每期还款额相对于前一时段内每期还款额有一个固定增加额，同一时段内，每期还款额相等的还款方式。当然例子中还包含由于银行贷款利率的上涨以及贷款人经济状况的改变所引起的还款额的变动，通过建立差分方程的模型，我们进一步结合具体的数据进行

15、计算。在对运算结果的比较、分析中可得出各种还款方式的利弊。结合问题1、5、6，我们发现，分别采用等额本息还款法，等额递增还款法的情况下，等额递增适合家庭经济在不断增长的家庭采用，而等额本息还款法适合家庭经济稳定的家庭采用。本模型不止适用与房屋贷款，还适用于现在兴起的各类贷款购物，还适用于银行贷款之后还贷。6.参考文献1.姜启源等：数学模型（第三版）高等教育出版社，20032.赵静，但琦：数学建模与数学实验（第2版），高等教育出版社3.白凤山主编：数学建模（上下册），哈尔滨工业大学出版社，20034.胡良剑 孙晓君编著：MATLAB数学实验 高等教育出版社 20067.附录输入参数：欠款金额sp

16、are，年利率rateInt，打算还款所用月数planMonth输出参数：月应还款额monMashfunMtion monMash=monFunM (spare,rateInt,planMonth)rateInt =rateInt/12;rate=1+rateInt;monMash= spare*( rate planMonth)* rateInt/( rate planMonth)-1);end该程序实现计算等额本息还款方式的欠款余额输入参数：欠款金额spare，年利率rateInt，月应还款额monCash输出参数：剩余欠款spaCash function spaCash=spaFunc

17、(spare,rateInt,realMonth,monMash)rateInt =rateInt/12;rate=1+rateInt;spaCash=spare*(raterealMonth)- monCash*(raterealMonth)-1)/ rateIntend(1)X=monFunc(100000,0.0602,180);M=180*X-100000;disp('家庭每月的还款额为:'), disp(X)disp('总共所要支付的利息:'),disp(M)家庭每月的还款额为: 844.9377总共所要支付的利息: 5.2089e+04(2) X(1

18、)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc(100000,0.0602,8,X(1);X(2) = monFunc(A(1),0.0629,172);A(2)=spaFunc(A(1),0.0629,12,X(2);X(3) = monFunc(A(2),0.0689,160);A(3)=spaFunc(A(2),0.0689,12,X(3);Z=8*X(1)+12*X(2)+4*X(3);M(1)=Z-(100000-A(3);Y=100000-A(3);M(2)=156*X(3)-A(3)disp('10年每月还款额为:'),dis

19、p(X(1)disp('11年每月的还款额为:'),disp(X(2)disp('12年前4个月每月还款额为:'),disp(X(3)disp('前两年共支付的金额为:'),disp(Z)disp('前两年支付的利息为:'),disp(M(1)disp('前两年支付的本金为:'),disp(Y)disp('两年后还需支付的利息为:'),disp(M(2)spaCash = 9.7205e+04spaCash = 9.2888e+04spaCash = 9.1452e+04M = 1.0e+04 *

20、1.2077 4.723610年每月还款额为: 844.937711年每月的还款额为: 859.059912年前4个月每月还款额为: 889.0312前两年共支付的金额为: 2.0624e+04前两年支付的利息为: 1.2077e+04前两年支付的本金为: 8.5476e+03两年后还需支付的利息为: 4.7236e+04(3) X(1)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc(100000,0.0602,19,X(1);A(2)=A(1)*( 1+.0602/12)*(1+0.0602/12);X(2) = monFunM(A(2),0.0602,1

21、59);disp('现在他每月的还款额为:'),disp(X(2)spaMash = 9.3175e+004现在他每月的还款额为: 860.4263 (4) 1.X(1)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc(100000,0.0602,32,X(1);disp('12年底需要一次性付给银行的欠款为:'),disp(A(1)spaCash = 8.8117e+00412年底需要一次性付给银行的欠款为: 8.8117e+0042. X(1)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc

22、(100000,0.0602,31,X(1);A(2)=(1+0.0602/12)*A(1)disp('12年底需要一次性付给银行的欠款为:'),disp(A(2)spaCash = 8.8518e+004A = 1.0e+004 * 8.8518 8.896212年底需要一次性付给银行的欠款为: 8.8962e+004 (5) X(1)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc(100000,0.0602,32,X(1);month=1;while A(1) > 0 X(1)=X(1)+400; for k=1:12 A(1)=A

23、(1)*(1+0.0602/12)-X(1); month=month+1; if A(1) <= 0 Sreak end endenddisp('最终还清所有贷款所用的时间:'),disp(month)spaMash = 8.8117e+004最终还清所有贷款所用的时间:54 (6)6.(1)R=0.0689X(1)= monFunc(100000,0.0602,180);A(1)=spaFunc(100000,0.0602,8,X(1);X(2) = monFunc(A(1),0.0629,172);A(2)=spaFunc(A(1),0.0629,12,X(2);X(3) = monFunc(A(2),0.0689,160);A(3)=spaFunc(A(2),0.0689,12,X (3);for i=4:15 R=R*(1+0.05); X(i)=monFunc(A(i-1),R,(184-12*(i-1); A(i)=spaFunc(A(i-1),