河南省中考数学总复习第四章三角形微专项

1、全等三角形中的两大辅助线技巧突破点1倍长中线倍长中线法：延长三角形一边的中线至一点，使所延长的部分与该中线相等，并连接该点与这条边的一个顶点，得到两个全等的三角形这种方法主要用于构造全等三角形或证明对应边之间的关系 倍长中线一一常用辅助线添加方法（倍长中线等中线，等量关系一大片）叙述图示结论基本图形：在厶ABC中,AD为BC边上的中 线倍长中线：延长AD到点E,使ED=AD连接BE.、/事© ACDA EBD;根据三角形三边的关系得到：1AD < -（AB + AC）倍长中线的变形作法一 :M为AB上一点，连接MD并延长到 点N,使ND=MD连接CN;作法二：过点C作CN/ A

2、B,与过点D的直线 交于点N,该直线与 AB交于点M.aN BDIW CDN如图,在厶ABC中,AD是中线,/ BACM BCA点 E在BC的延长线上，CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.思路分析见到中线，试一下倍长中线的辅助线作法，得到相等的线段，再利用三角形全等和等量代换进行证明自主解答 强化训练丨1. 如图，在厶ABC中,AB=5,AC=3,则中线 AD的取值范围是 （第2题）2. 如图,在厶ABC中,点E,F分别在 AB,AC上，点D是BC边上的中点，DE丄DF,则 BE+CF与EF的大小关系为.3. 如图,在厶ABC中,AD是BC边上的中线4. 如图，在厶ABC中,AD交BC于

3、点D,点E是BC的中点，EF/ AD交CA的延长线于点 F,交AB于点G,已知BG=CF,求证:ADABC的角平分线16突破点2旋转图形的旋转是近几年河南中考必考的内容运用旋转的全等变换，证明线段相等、和差倍分关系以及角相等、和差倍分关系都是近几年中考常见的类型 旋转的基本性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前后的图形全等旋转的基本图形如图，将/ AOB旋转至/ A'OB',则/ AOA'=Z BOB'.如图，将AAOB旋转至 A'OB',连接 AA',BB',则 AOASA BOB

4、'.图形旋转的要点利用旋转作辅助线的基 本思路1. 找准旋转中的“变”与“不变”；2. 找准旋转前后的“对应 关系”；3. 充分挖掘旋转过程中线 段之间的关系；4. 找旋转点，得等边、等角；5. 证全等或相似；6. 利用全等或相似得到边、 角关系.1. 以等边三角形为背景 的旋转60° （遇60°旋转 60° ）；2. 以止方形为背景的旋 转90° （遇90°旋转 90° ）；3. 将分散的条件通过旋 转变换集中在一块“形 成合力”破解难题（若条 件是分散的，则试试看把 图形进行平移、旋转、翻 折）.BD虺如图,在。0的内接四

5、边形 ABCD中,AB=3,AD=5,/ BAD= 60° ,点C为 的中点,则AC的长是思路分析A 四边形ABCD是。0的内接四边形，/ABCy ADC=180 ,又：点C为厂的中点，. BC=CD各 ABC绕点C旋转至 EDC则A,D,E三点共线，这样就把分散的条件集中在一块了 ，旋转变换后的图形是等腰 三角形，再利用等腰三角形“三线合一”的性质和锐角三角函数求出AC的值即可.（利用旋转时，一般要满足两个条件：有相等的边，两角之和为 180°）强优训练5. 如图，点P为等边三角形 ABC内的一点，且点P到厶ABC三个顶点A,B,C的距离分别为1,，.,忙：|,则厶ABC

6、的 面积为.（第6题）6. 如图，在正方形 ABCD中，点E为BC上一点，点F为CD上一点，BE+DF=EF,则/ EAF的度数为 7. 如图，在厶ABC中，/ C=90，点 D,E,F分别在边 CA,AB,BC上,且四边形 CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,则厶BFE和厶AED的面积之和为 .8. 如图,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC经过点O的直线I分别交 AB,CD于点E,F.（1）试说明:S OAB=SaOCDI若直线l平分CD,求证:OF= AB.9. 如图，点D为等腰直角三角形 ABC斜边AB的中点,DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.(1)当

7、/ MDN绕点D转动时，求证:DE=DF;若AB=2,求四边形DECF的面积.10. 如图，等腰三角形 ABC绕顶点B逆时针旋转a到AAiBC的位置,AB与AQ相交于点D,AC与AiC,BCi分别相交于点E,F.(1)求证： BCFA BAiD;一线三直角模型1. 模型说明一线三直角是一个常见的相似模型，指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图” ( 一线三等角不仅可以是直角,也可以是锐角或钝角本专题主要研究一线三直角模型)2. 识别方法(1) 查找图形中已知的直角，顺着这个直角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”；(2) 构造其他

8、直角，构造的直角的顶点必须在“同一条直线”上，“这条直线”可能在已知角的外部 ，也可能“穿过”这个角3. 构造一线三直角的基本步骤 做题过程中，若出现一直角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的直角三角形 ，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题综合性题目往往就会把全等和相似的转化作为出题的一种形式本质就是找角、定线、例1突破点1三角形中运用一线三直角进行相关的运算构相似一线三直角的基本图形一般结论一线三直角的应用 ACSA BAE. 特殊地，当AB=AC 时， ACDA BAE. 图形中已经存在“一线三直角”，直接应 用模型解题； 图形中存在 一线两直角，补上 一直角”构造此模型； 图形

9、中只有直线上的一个直角，补上“两 直角”构造此模型； 图形中只有一个直角，过该直角顶点补上“一线”，再补上“两直角”，构造此模型； 对坐标系中在x轴或y轴(也可以是平行 于x轴或y轴的直线)上构造一线三等角”是解决问题的关键.如图，在Rt ABC中，/ C=90，/ AEB=135，BE=3 运,DE丄BE交AB于点D，若DE农，则AE的长 为思路分析观察题图，有两个直角：/ DEB和/ C，有“一条线”：直线 AC，过点D作AC的垂线，即可构造一线三直角模型，然后配合题中的条件用“相似 +勾股”进行证明和计算突破点2四边形中运用一线三直角求线段长如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6,点

10、E为BC边的中点，将 ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点 F处,连接CF,则CF的长为 DE思路分析题图中的直角有很多，与CF联系紧密且易于构造一线三直角模型的直角是/ AFE,过直角顶点F用竖直的线（作矩形ABCD勺边AD边垂线）,可构造一线三直角模型,再配合题中的条件用“相似 +勾股”进行相关 计算突破点3 一线三直角在二次函数中的运用瑟抛物线y=x2-4x+3与坐标轴交于 A,B,C三点,点P在抛物线上，PE丄BC于点E,若PE=2CE则点P的坐标思路分析 图形中与点P相关的直角顶点是E,可过点E作x轴或y轴的平行线（也可以是平行于x轴或y轴的直线）,构造一线三直角模型，然后利用相关

11、知识进行计算 强化训练1. 在四边形 ABCD中, / BADM ACB=90 ,AB=AD,AC=4BC若 CD的长为5,则四边形 ABCD的面积为 （第2题）2. 如图，已知/ABC=90 ,AD=BC,CE=BD,AE 与 CD相交于点 M,则/AMD ° .3. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAB的一个顶点在原点处，M ABO=90 ,OB=AB,已知点A（2,4）,则点B的坐标为.（第4题）4. 如图，在平面直角坐标系中，点人（0,2荐耳），点B（4,0）,点C在第一象限内，若厶ABC为等边三角形，则点C的坐标为.5. 如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC

12、勺顶点O放在原点处，把其边OA,OC分别放在x轴的正半轴、y轴的正半轴上，点D在OC边上，把ABDC沿直线BD翻折，点C的对应点恰好落在 x轴上的点E处，已知B（10,8）, 则直线BD的解析式为.6. 如图，在四边形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,M ABCM ACBM ADC=45 ,贝U BD的长为7. 在四边形 ABCD中, M ABCM BAD=90 , M ACD=45 ,AB=3,AD=4,则 BC的长为(第8题)8. 如图,已知抛物线y二x2与直线AB交于A(-2,-4),B 两点,连接AO,BO若/AOB=90 ,则点 为B的坐标参考答案高分突破微专项1全等三角形中的两大

13、辅助线技巧 例1 证明：如图,延长AD至点F,使DF=DA连接CF.在厶ABD和厶FCD中,AD FD,pn = cd, ABDA FCD, AB=FCZ B=/ DCF./ CE=AB/ BACM BCA,Z ACEM BACf B, CF=CE/ ACEM BCAy DCFM ACF,在厶ACF和厶ACE 中 ,加；AC.ACF = "CE*CF = CEt ACFA ACE, AE=AF=2AD.强化训练1.1<AD<4 如图，延长AD到点E,使ED=AD连接CE.v AD是厶ABC的中线， BD=CD又 / ADBM CDE/.A ABDA ECDAB=EC在 A

14、EC 中,AC+EC>AE且 EC-AC<AE即卩 AB+AC>2AD,ABAC<2AD,'. 2<2AD<81<AD<4.2. BE+CF>EF女口图,延长ED至点P,使DP=DE连接FP,CP,/点 D 是 BC 的中点, BD=CD又 / EDBM CDP/.A BDEA CDPBE=CP.DEL DF,DE=DP；. EF=FP 又：在 CFP中 ,CP+CF=BE+CF>FP,BE+CF>EF.3. 证明：如图，延长AD到点G,使得DG=AD连接BG./ AD是BC边上的中线， DC=DB.AD DG,在 AD

15、C和厶GDB中,皿二叭:. ADCA GDB,/ CADM G,BG=AC./ BE=AC, BE=BG,/ BEDM G,又/ BEDM AEF,/ AEF=/ CAD, AF=EF.4. 证明：如图，过点C作CH/ AB,交FE的延长线于点 H,则/ B=M ECHZ BGEM H.点E是BC的中点， BE=CE.在厶BEG和厶CEH中，£fGE = “眼丽=CE, BEGA CEH, BG=CH,又 BG=CF, CH=CF,/ F=M H./ EF/ AD,/ F=M CAD/ BGEM BAD,又/ BGEM H,/ BAD/ CAD, ADABC的角平分线.丸:例2如图，

16、将 ABC以点C为旋转中心，旋转至厶EDC则厶AB3A EDCAB=ED,AC=E0 ABCd EDC；四边形 ABCD是 oO 的内接四边形，/ ABC/ ADC=180 , 上 EDC# ADC=180 , a A,D,E三点共:山-1线， AE=AD+ED=8. / BAD= 60° ,点 C 为 的中点，/CAE=" / BAD=30 .过点 C 作 CF丄 AE 于点 F,则 AF=AE=4.在Rt ACF中,cos / CAF二詞,即三远 解得AC=:厂.强化训练5. 如图，将厶ABP以点A为旋转中心逆时针旋转 60°,得厶ACD过点 A作AE1 CD

17、交CD的延长线于点 E,连接 PD,易得 ABPA ACD,AP=AD,BP=CD,PAD# BAC=60 , ADP 为等边三角形， AP=PD在 CDP 中,DP=1,CD= ,PC= , PD2+CD2=PC2, CDP是直角三角形,且/ CDP=90 , / CDP# ADP=150 , / ADE=30 .在Rt ADEi i丽ya丽 琥+瑚中,AE= "AD=,ED= $AE=上， CE=CD+DE=+习,AC2=3+馬，aS abc4 xAC= 46.45 °如图，将厶ABE绕点A逆时针旋转 90°至厶ADG的位置,得# EAG=90 , ABEA

18、ADGBE=DG,AE=AG,又；BE+DF=EF；. FG=EF AEFA AGF,/ EAF=/ GAF,/ EAF= L|# EAG=45 .7451方法一：如图，将厶BEF绕点E逆时针旋转90°到厶GED的位置,易得百 11 EGLAE,A BEFA GEDGE=BE=2.2S bfe+Saed=SaeG= AE- EG= X 2.2 X 4.1=4.51.方法二:如图(2),将 AED绕点E顺时针旋转90°到厶GEF的位置，贝U1 11EGLAE,AAEDA GEF,a GE=AE=4.1 ,/-S bfe+Saed=Sgbe= BE- EG= X 2.2 X 4

19、.1=4.51.8.(1)证明：OA=OD,可将 AOB以点O为旋转中心旋转至 DOG的位置,如图所示,则厶AOB2A DOG,S oabfSodg / AOBM dog,ob=og./ OAL OD,OB=OC,OBOC,/ COD乂 AOBM COD乂 DOG=18° ,OC=OG, C,O,G三点共线,ODCDG中CG边上的中线， S OD(=SaOCD S OABfSOCD证明：直线I平分CD, cf=df.由可知,OC=OG, OFCDG的 中位线，11 OF= DG,由旋转性质可得DG=AB,11 OF= AB.9. (1)证明：连接DC,点D为等腰直角三角形 ABC斜边

20、AB的中点， CDLAB,CD=DA,CD平分/ BCA, / ECDM DCA=45 ./ DML DN, / EDN=90 ,又/ CDA=90 , / CDEM FDA.在厶CDE和厶ADF中，(上DCE -CD =机t/CPf = CDEA ADF, de=df.(2) CDEA ADF, S cdE=Saadf111 11再四Hip占CF="二 JCDCD' AD=.10. (1)证明：/ ABC是等腰三角形， AB=BC/A=Z C.将等腰三角形 ABC绕顶点B逆时针旋转a到A1BC的位置，z.A1B=AB=BC/ A 1=Z A=Z C, ZA 1BD玄 cbc

21、.在厶BCF与厶BAD中，上州-ZC,AjB BC, = ZCBF, BCFA BAiD. 当/ C=a时,四边形AiBCE是菱形. 理由：由题易得/A i=ZA.又/ ADE/A iDB,/ AED/A iBD=x,:丄 DEC=180 - a.C=a, / A 1= a,/Ai BC=360 - /Ai- /C- /AiEC=180 - a, /A 1=/ C,/A iBC=ZA iEC,四边形AiBCE是平行四边形， 又TA iB=BC,四边形AiBCE是菱形高分突破微专项 2 一线三直角模型例i 3 如图，过点D作DF丄AC于点F. T/ AEB=i35，/CEB=45 , CEB 是

22、等腰直角三角形又/ BE=3 BC=CE=3根据一线三直角模型 ,可得 EFD BCE,： / FED/ FDE=45 .又 DE= , EF=DF=i易证厶 AFDA ACB/.AI: DF=.设 AF=a,例2 如图，过点F作AD的垂线,交AD于点M,交BC于点N,则/ FMA/ ENF=90 . t BC=6点 E为BC边的111中点， BE= BC=3.由折叠的性质可知，EF=BE=3,AF=AB=4/AFE/ B=90 .根据一线三直角模型，可得FN EN EF 34 - 岸 AMF FNE,.= = =.设 EN=3x,FM=4x,则 FN=4-4x,AM=3x+3, =,解得7

23、18x=怡NC=EGEN=3-3x, FC=5-5x=5- 5X 扯=e .例 3 (,) 方法一：如图(1),过点E作EF±y轴，交y轴于点F,过点P作PGL EF,交FE的延长线于点 G.当 y=0 时,x 2-4x+3=0,解得 Xi=1,x 2=3, A(1,0),B(3,0), 0A=1,0B=3当 x=0 时,y=3, 点 C 的坐标是(0,3). OC=3.OB=OC；. BOC为等腰直角三角形.又t EF/ OB,.A EFC是等腰直角三角CE CF EF 形.t/ CFE/ EGP/ CEP=9 0，根据一线三直角模型，可得 CEMA EPGT PE=2CE,.=&

24、#39;=.设点 E13的横坐标为 m,易得EG=PG=2m,点P的坐标为(3m,3+m).把点P的坐标代入y=x2-4x+3中，解得m=® ,m2=0(不符合题意，舍去)，点P的坐标为(，).方法二：如图(2),当y=0时,x2-4x+3=0,解得Xi=1,X2=3, A(1,0),B(3,0),0A=1,0B=3当 x=0 时,y=3, 点 C的坐标是(0,3). 0C=3OB=OC；. BOC 为等腰直角三角形过点B作BF丄BC,交CP的延长线于点F,过点F作FFUx轴于点CB 1H, / PE丄BC,. EP/ BF, CEPA CBF.v PE=2CE,-= =.由一线三直

25、角模型可得 BO&A FHB,. BH=FH=2AB=6,.点 得 X1=0(舍去),x 2=,13,把x=代入到F的坐标为(9,6).易求出直线 CF的解析式为y=x+3.令x2-4x+3=)x+3,解 y= x+3,得点13 22 p的坐标为(，).强化训练0|图(1)图1.10 如图，过点D作DEL AC,交 ABCA DAE,/. AE=BC,AC=Dg.值已舍去),-DE=AC=4a=4,. SAD=BF=aBD=OF=b； A(2,4), AE=2,DF=4,.(t i 2 = bOF=3,BF=1 故点 B 的坐标为(3,1).AC于点E. / BADM ACB=90 ,

26、AB=AD,.根据一线三直角模型，可得BC=AE=a则 CE=3a.在 Rt CDE中 ,CE2+D刍CD,即(3a) 2+(4a) 2=52,解得 a=1(负X 1 X 4+ X 4X 4=10.2.45 如图，过点 A作 ANLAB,且 AN=BD连接 DN,CN.v AD=BC DANA CBD,/-Z ANDM CDB,DN=D C.又 / AND# NDA=90 , / CDBM NDA=90 , / NDC=90 , CDN 是等腰直角三角形，/ NCD=45 . t AN=DB,CE=BD, AN=CE又 / AN/ CE；.四边形ANCE是平行四边形， CN/ AE,./ AM

27、D# NCD=45 .3. (3,1) 如图，过点B作X轴的垂线,垂足为F,过点A作y轴的垂线，垂足为E,两线交于点D,则/ ADB/ BFO=90 . /ABO=90 ABnOB,.根据一线三直角模型，可得 ABDA BOF,/. AD=BF,BD=O设j4. (5,3) 如图,过点C作CDL AB于点D,过点D作y轴的垂线,垂足为E,过点C作CF丄ED,交ED的延长线于点 F. v 点 A(0,2 應)，点 B(4,0), 0A=2 ,OB=4. / ABC 为等边三角形，二 CD=AD.易知AOB 的中位L 11徑西空丄线， DE=OB=2,AE=0A=耳根据一线三直角模型，可得 AD0

28、A DCF,.丽菇=方=_5,解得DF=3,CF=2 , EF=DE+DF=5,CF+OE=3, 点 C 的坐标为(5,3 朋).15. y= X+3 在矩形 OAB(中,/ B(10,8), 0C=AB=8,0A=BC=1 由折叠的性质可知DE=CD,BE=BC=10在 Rt ABE 01) AE 01) G中,AE=、g -删=6, OE=OAAE=10-6=4.根据一线三直角模型可知， DOOA EAB,.页 丽，即1"=,解得1OD=3,/.点D的坐标为(0,3).设直线BD的解析式为y=ax+3,将B(10,8)代入,解得a=,故直线BD的解析式为 y= ,+3.6. hP 如图，过点C作CF丄AD于点F,过点B作BE!AD,交DA的延长线于点 E.在Rt CDF中，/ADC=45 , CD=DF=. CF,. CF=DF=