二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点

1、二阶导数的应用-曲线的凹凸性与拐点教学目标与要求通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基 础，同时，理解拐点的定义和意义。教学重点与难点教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。教学难点：理解拐点的定义和意义。教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用"拉格朗日中值定理”证明外，还可用"泰勒定理”来证明；如果利用“拉 格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱 离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义

2、时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标 系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。教学过程设计1问题提出与定义函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不能准确描绘出函数的图形。 比如，如果在区间L r上，丿' ， 则我们知道丿，在区间-'上单调增，但作图（参见图1）的时候，我们不能判断它增加的方式（是弧V匸U，还是弧二注），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的！在图1中，对于上凸的曲线弧 A-'，取其上任意两点，不妨取：1作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于

3、弧段的下方，这种位置关系可以用不等式来描述。同理，对于上凹的曲线弧上：匸，总可用不等式1 2来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义 设在区间I上连续，如果对i上任意两点"，勺，恒有1 2则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有1 2则称 I在 I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于 左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。2.凹凸性判定定理的引入曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不

4、等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由f'-的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和； 有关经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和f -的符号有关，于是得到了判断曲线凹凸性的定理。定理设J工在匚丄-上连续,在二?内具有二阶连续导数,那么：（1）若在匚内-1 >0，则 J在-r 上的图形是凹的；（2） 若在匚'内-' <0，则» 在上的图形是凸的。3.判别凹凸性和拐点举例例1判断曲线y x3的凹凸性解y3x 2 y6x

5、由y0 得x0因为当x<0 时 y<0所以曲线在（0内为凸的因为当x>0 时 y>0所以曲线在0）内为凹的例2求曲线y 2x 33x 2 2x 14的拐点解y 6x2 6x 12y 12x 6 12(x2）令y0得x12因为当XI；时 y10 当x 2时y0所以点（1201)是曲线的拐点例3求函数y 3x4 4x31的凹凸区间和拐点-解：函数的定义域为（,)，且y12x312x2，y236x24 x 36x(x2),令 y o ,得 x10, x2列表：x（,o）0（0,|）2§3 1 2y+0一0+y有拐点有拐点22 11由表可知，当为 0x 时，曲线有拐点A(0,1 )和B(,-33 27表中表示曲线是凹的，-表示曲线是凸的函数的图像如图(4.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数 y f(x)的定义域求出在二阶导数(x)(3) 求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4) 判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况(1)( 3)步有时省略5学生黑板练习练习1判定下列曲线的凹凸性及拐点f'3）2322x3。（1） y 4x x2，（ 2） y x3 6x2 x 1，（ 3） 6小结1在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导