初中数学一元二次方程知识点总结与练习

1、学问点总结：一元二次方程学问框架学问点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程；2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2 ；(3) 是整式方程；要判定一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，如是，再对它进行整理；如2果能整理为ax+bx+c=0a0 的形式，就这个方程就为一元二次方程；2(4) 将方程化为一般形式：ax +bx+c=0时，应满意（a0）；23. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，.都能化成如下形

2、式ax +bx+c=022（ a 0）；一个一元二次方程经过整理化成ax +bx+c=0（ a 0）后，其中ax 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项；4. 一元二次方程的解法（ 1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如 xa 2b的一元二次方程；依据平方根的定义可知，xa 是 b 的平方根，当b0 时， xab ， xab ，当 b<0时，方程没有实数根；（ 2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用；配方法的理论

3、依据是完全平方公式a 22abb 2ab 2 ，把公式中的a 看做未知数x ，并用x代替，就有x22bxb 2 xb 2 ；配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加2上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为x+p q；假如 q 0, 方程无实根（ 3）公式法=q 的形式，假如q 0，方程的根是x=-p ±公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程ax 2bxc0a0 的求根公式：bb2x2a4ac2b4ac0（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，

4、求出方程的解的方法，这种方法简洁易行，是解一元二次方程最常用的方法；5. 一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程ax 2bxc0 a0 中， b 24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0a0 的根的判别式，通常用“”来表示，即6. 一元二次方程根与系数的关系b 24ac假如方程ax 2bxc0a0 的两个实数根是x1，x2，那么 x1x2b， x1 x2ac ；也就是说，对于任何一个a有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程；8. 分式方程的一般解法解分

5、式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”；它的一般解法是：（ 1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（ 2）解所得的整式方程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，如等于零，就是增根，应当舍去；如不等于零，就是原方程的根；学问点 1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程；例题：1、判别以下方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“×”，并说明理由 .12x 2 -x-3=0.2y -y 2 =0.3 t2 =0.44 x3 -x 2 =1.5 x2 -2y-1=0.61-3=0.x 27x23x =2.8x+2x-2=x+12 .93x 2

6、 -4 +6=0.x103x2 = x4-3.1、如关于x 的方程 ax 12=2 x2 2 是一元二次方程，就a 的值是（）2（ a） 2（ b） 2（c） 0（d）不等于222、已知关于x 的方程m1 xn3 xp0 ，当时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零 a ；3、已知关于x 的方程m2xm22xm0 ：（ 1）m 为何值时方程为一元一次方程；22（ 2）m 为何值时方程为一元二次方程；学问点二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：axbxc0 a0 ，其中ax是二次项， a 叫二次项系数；bx 是一次项， b 叫一次项系数， c 是常数项；特殊警示：（ 1）“ a

7、0 ”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（ 2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必需先将方程化为一般形式；学问点三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解；例题：1、已知方程3x29xm0 的一个根是1，就 m 的值是；2、设 a 是一元二次方程x25x0 的较大根，b 是 x23x20 较小根，那么 ab 的值是（）（ a ） -4（ b ）-3（ c）1（d ）23、已知关于x 的一元二次方程x2（ 1）求 k 的值；kx20的一个解与方程x13 的解相同；x1（ 2）求方程 x2kx20 的

8、另一个解；学问点四 .一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（ 1）直接开平方法：假如x2k k0，就 xk（ 2）配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（ 3）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0 的求根公式是xbb24 ac 2 ab24ac0 ；（ 4）因式分解法：假如xaxb0 就 x 1a , x2b ；温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，特殊是因式分解法，它使用的频率最高，在详细应用时，要留意挑选最恰当的方法解；例题：解方程：1、解以下方程：（ 1） 23 y 223

9、 y12（2）x131x12（ 3） x3222 x543 y2622y2y2学问点五 .一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0a0的根的判别式是b 24 ac ：（ 1）当 b 24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；（ 2）当 b 24ac0 时，方程有两个相等的实数根；（ 3）当 b 24ac0 时，方程无实数根；温馨提示 ：如方程有实数根，就有b 24ac0 ；例题：1、已知方程x23xk0 有两个不相等的实数根，就k=；22、当 m 满意何条件时，方程mx2 m1 x9m10 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？223、关于 x 的方程 mx2 m2 xm50

10、无实根，试解关于x 的方程m5 x2 m2 xm0 ；4、已知关于x 的一元二次方程2x4 m1 x2m10 ，求证：不论m 为任何实数，总有两个不相等的实数根；学问点六 .一元二次方程根与系数的关系2bc如一元二次方程axbxc0 a0的两个实数根为x1 , x2 ，就 x1x2, x1x2；a a温馨提示： 利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必需有实数根；例题：1、关于x 的一元二次方程x2kx4k 23 0 的两个实数根分别是x1 , x2，且满意x1x2x1x2 ，就k的值为：（）33（ a ）1或（ b）1（ c）44（d ）不存在2、已知,是关于x 的一元二2次方程x2112m

11、3 xm0 的两个不相等的实数根，且满意1 ，就 m 的值是（ a ） 3 或-1（b ） 3）（ c） 1（d ） -3 或13、方程 x23x60 与方程x26x30的全部根的乘积是4、两个不相等的实数m,n 满意 m26m4, n 26 n4 ，就 mn 的值为；5、设x , x 是关于 x 的一元二次方程x2pxq0 的两个根，x1,x1 是关于 x 的一元二次方程x2qxp01212的两个根，就p, q 的值分别等于多少？学问点七 .一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（ 1）审题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4）解方程（ 5）检验（ 6）写出答案；在检验时，应

12、从方程本身和实际问题两个方面进行检验；1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数；2、市政府为明白决市民看病难的问题，打算下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？一元二次方程综合复习1、以下方程中，关于x 的一元二次方程是（）a. 3 x212 x12211b. 2xx22 0 c. axbxc0 d.22x2xx12、方程（ m 1）x mx 50 是关于 x 的一元二次方程， 就 m 满意的条件是（）（ a）m 1（ b）m 0（c）| m| 1（ d） m

13、7; 123、如 x1 是一元二次方程ax2bx20 的一个根，就ab；b4、实数b 4ac 2a是方程的根（）（ a ） ax2bxc0（ b） ax2bxc0（ c）ax2bxc0（ d） ax2bxc05、方程x2250 的解是：（）a. x 1x25b. x 1x225c. x 15, x25d. x 125, x2256、关于 x 的一元二次方程kx22x10 两个不相等的实数根，就k 的取值范畴是（）（ a ） k1（ b）7、在以下方程中，有实数根k1（c） k0（ d）k1且k0的是（）22x1a ） x3x10b） 4x11c） x2 x30d）x1x18、关于x 的一元二次

14、方程2x22x3m10 有两个实数根x1, x2 ，且x1 x2x1x24 ，就m 的取值范畴是（）（ a ） m5（ b） m1（c） m551（ d）m323329.如（ x+y ）（ 1x y）+6=0 ，就 x+y 的值是（）a 2b 3c 2 或 3d 2 或 310、如（ m+1 ）xm m2 1+2mx 1=0 是关于 x 的一元二次方程，就m 的值是 _11、填上适当的数，使等式成立：x 25x x 2 12、当 x =时，代数式x23 x 比代数式2 x2x1 的值大 2 13、某商品原价每件25 元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16 元，就该玩具平均每次降价的百分

15、率是；17、设x1, x2 是关于 x 的方程x2m1 xm0 m0 的两个根，且满意112，求 m 的值；x1x2319、已知关于x 的一元二次方程x2kx10 ；1求证：方程有两个不相等的实数根；2设的方程有两根分别为x1 , x2 ，且满意x1x2x1x2求 k 的值；221.已知： abc 的两边ab 、ac 的长是关于x 的一元二次方程x2k3xk3k20 的两个实数根，第三2边 bc 的长为 5，问： k 取何值时， abc 是以 bc 为斜边的直角三角形？22、一块长方形铁皮的长是宽的倍，四角各截去一个正方形，制成高是cm，容积是cm3 的无盖长方体容器；求这块铁皮的长和宽；23

16、、如图，有一面积为150 m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，假如竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？24、西瓜经营户以2 元 / 千克的价格购进一批小型西瓜，以3 元 / 千克的价格出售，每天可售出200 千克，为了促销，该经营户打算降价，经调查发觉，这种小西瓜每降价0.1 元 / 千克，每天可多售出40 千克，另外，每天的房租等固定 成本共 24 元，该经营户要想每天盈利200 元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？25、在矩形abcd 中， ab=6cm ， bc=3cm ；点 p 沿边 ab 从点 a 开头向点b 以 2cm/s 的速度移动，点q 沿边 da 从点 d 开头向点a 以 1cm/s 的速度移动；假如p、q 同时动身，用t（ s）表示移动的时间（0t 3）；那么，当t 为何值时， qap 的面积等于2cm2.adpq1（）已知a, b, c 均不为 0，且 a2b3bc2cac，求bc2b 的值；7572b3a（）已知：x0 ，且x6xy7 y0 ，求 xy的值2已知关于x 的一元二次方程x 24x k1 0（ 1）如 x =1 是方程的一个根，求k 值和方程的另一根；2（ 2）设 x1，x2 是关于 x 的方程 x 4x