初中数学典型题型及解题技巧

1、中学数学 最短路径问题 典型题型及解题技巧最短路径问题中 , 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和绽开图来处理；这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用；理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形绽开图” ；教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体绽开图”；考的较多的仍是“饮马问题” ；学问点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”；“饮马问题”，“造桥选址问题”；考的较多的仍是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等；解题总思路：

2、找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年显现“三折线”转“直”等变式问题考查；一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，a ，b 在直线 l 的两侧，在 l 上求一点 p，使得 pa+pb最小；解：连接 ab, 线段 ab 与直线 l 的交点 p ，就是所求；（依据：两点之间线段最短 .）二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区a 、b 供应牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 a 、b 到它的距离之和最短解：只有 a 、c 、b 在始终线上时，才能使 ac +bc 最小作点 a 关于直线“街道”的对称点 a ，然后连接 a b，交“街道”于点 c ，就点 c 就是所

3、求的点三、一点在两相交直线内部例：已知：如图a 是锐角 mon内部任意一点，在 mon的两边om ，on 上各取一点 b， c ，组成三角形，使三角形周长最小 .1解：分别作点 a 关于 om ， on 的对称点 a ， a ；连接 a ，a ，分别交om ，on 于点 b、点 c ，就点 b、点 c 即为所求分析：当 ab 、bc 和 ac 三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， a.b 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥mn ，桥造在何处才能使从 a 到 b 的路径 amnb最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解： 1.将点 b 沿垂直与河岸的方

4、向平移一个河宽到e，2.连接 ae 交河对岸与点m,就点 m 为建桥的位置， mn 为所建的桥；证明：由平移的性质，得bn em 且 bn=em, mn=cd, bd ce, bd=ce,所以 a.b 两地的距 :am+mn+bn=am+mn+em=ae+mn,如桥的位置建在cd 处，连接 ac.cd.db.ce,就 ab 两地的距离为：ac+cd+db=ac+cd+ce=ac+ce+mn,a·mne b在 ace 中， ac+ce ae,ac+ce+mnae+mn, 即 ac+cd+dbam+mn+bn所以桥的位置建在cd处， ab 两地的路程最短；baa··例

5、：如图， a 、b 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了便利浇灌作物， .要在河边建一个抽水站，将河水送到a 、b 两地，问该站建在edc2河边什么地方， .可使所修的渠道最短，试在图中确定该点；作法：作点 b 关于直线a的对称点点 c, 连接 ac 交直线 a 于点 d ，就点 d 为建抽水站的位置；证明：在直线a上另外任取一点 e，连接 ae.ce.be.bd,点 b.c 关于直线a对称,点 d.e在直线 a 上， db=dc,eb=ec,ad+db=ad+dc=ac,ae+eb=ae+ec在 ace 中， ae+ec ac,即 ae+ec ad+db所以抽水站应建在河边的点d 处，例：

6、某班举办晚会，桌子摆成两直条如图中的 ao ，bo ，ao桌面上摆d满了桔子， ob 桌面上摆满了糖果，坐在c 处的同学小明先拿桔子再拿糖mao果，然后回到座位，请你帮忙他设计一条行走路线，使其所走的总路程最n短？ceb作法： 1.作点 c 关于直线oa 的对称点点 d,2.作点 c 关于直线ob 的对称点点 e,3.连接 de 分别交直线 oa.ob于点 m.n ，就 cm+mn+cn最短例：如图：c 为马厩，d 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，aof·ch3db先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线；g作法： 1.作点 c 关于直线oa

7、的对称点点 f,2.作点 d 关于直线ob 的对称点点 e,3.连接 ef分别交直线 oa.ob于点 g.h ，e就 cg+gh+dh最短四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可依据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案；例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为 1，就圆的半径为多少？（5 或 4）四、点在圆柱中可将其侧面绽开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体绽开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽可求出最短路程例：如下列图，是一个圆柱体，abcd 是它的一个横截面， ab=，bc=3 ，一只蚂蚁，要从a 点爬行到 c 点，那么，最近的路程长为（）a

8、 7bcd 5分析： 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面绽开，进而依据“两点之间线段最短”得出结果4解：将圆柱体绽开，连接 a 、c ， = . =4 ，bc=3 ，依据两点之间线段最短，ac=5 应选 d五、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面绽开与下底面在同一平面内，求得其路程2）将前表面绽开与上表面在同一平面内，求得其路程3）将上表面绽开与左侧面在同一平面内，求得其路程了然后进行比较大小，即可得到最短路程.例：有一长、宽、高分别是 5cm ，4cm ，3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点 a 处沿长方体的表面爬到长方体上和 a 相对的顶点 b 处，就需要爬行的最

9、短路径长为（ ）a 5cm bcm c4cm d3cm分析： 把此长方体的一面绽开，在平面内，两点之间线段最短利用勾股定理求点a 和 b 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得解：由于平面绽开图不唯独，故分情形分别运算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）绽开前面、右面，由勾股定理得 ab2=（5+4 ）2 +32=90 ；（2）绽开前面、上面，由勾股定理得 ab2=（3+4 ）2 +52=74 ；（3）绽开左面、上面，由勾股定理得 ab2=（3+5 ）2 +42=80 ；5所以最

10、短路径长为cm 例：如图是一个长 4m ，宽 3m ，高 2m 的有盖仓库，在其内壁的a 处（长的四等分）有一只壁虎，b 处（宽的三等分）有一只蚊子，就壁虎爬到蚊 子处最短距离为（）a 4.8 bc 5d分析： 先将图形绽开，再依据两点之间线段最短可知解：有两种绽开方法：将长方体绽开成如下列图，连接a 、b，依据两点之间线段最短，ab=；将长方体绽开成如下列图，连接a 、b，就 ab=5；所以最短距离5例：有一棵 9 米高的大树，树下有一个1 米高的小孩，假如大树 在距地面 4 米处折断（未完全折断） ，就小孩至少离开大树米之外才是安全的分析： 依据题意构建直角三角形abc ，利用勾股定懂得答

11、解：如图， bc 即为大树折断处4m 减去小孩的高 1m ，就 bc=4 1=3m ，ab=9 4=5m ，在 rt abc中， ac=4 例：如图，在一个长为2 米，宽为 1 米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体 的木块，它的棱长和场地宽ad 平行且 ad ，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形，一只蚂蚁从点a 处，到达 c 处需要走的最短路程是米（精确到 0.01 米）6分析： 解答此题要将木块绽开，然后依据两点之间线段最短解答解：由题意可知，将木块绽开，相当于是ab+2 个正方形的宽，长为 2+0.2 × 2=2.4 米；宽为 1 米于是最短路径为：=2.60 米例：如图，

12、ab 为 o 直径， ab=2 ，oc 为半径， oc ab,d 为 ac三等分点，点 p 为 oc 上的动点，求 ap+pd 的最小值；分折：作 d 关于 oc的对称点 d，于是有 pa+pd ad ,（当且仅当 p 运动到 po 处，等号成立，易求ad =3 ；六、在圆锥中，可将其侧面绽开求出最短路程将圆锥侧面绽开，依据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图， 始终圆锥的母线长为qa=8 ，底面圆的半径 r=2，如一只小蚂蚁从a点动身，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到a 点，就蚂蚁爬行的最短路线长是（结果保留根式）小虫爬行的最短路线的长是圆锥的绽开图的扇形的弧所对的弦长，依据题意可得出：2

13、n. r.o= a,/180就，就n××8 2××2=，180解得：n=90 °，由勾股定理求得它的弦长aa一、题中显现一个动点；当题中只显现一个动点时, 可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形abcd 中，点 e 为 ab 上肯定点，且 be=10,ce=14,p 为 bd 上一动点，求 pe+pc 最小值；分析：作 e 关于 bd 对称点 e， e在 ab 上，有 pe+pc=pe+pc ec 易求 ec=26 ；7二、题中显现两个动点；当题中显现两个定点和两个动点时,

14、应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值；例：如图，在直角坐标系中有四个点,a-8,3,b-4,5c0，n,dm,0,当四边形 abcd 周长最短时 ,求m；n分折: 因 ab 长为定值 ,四边形周长最短时有 bc+cd+da最短,作 b 关于 y 轴对称点 b,a 关于 x 轴对称点 a ,da+dc+bc=da+dc+b c ba 当 d,c 运动到 ab 和x 轴 y 轴的交点时等号成立 , 易求直线 a b解折式 y=23三、题中显现三个动点时；在求解时应留意两点：(1) 作定点关于动点所在直线的对称点,(2) 同时要考虑点点 ,点线,线线之间的最短问题 .2

15、7x3+ 3 ,c00,73 ,d0-72 ,0, 此时mn =-例：如图，在菱形abcd 中,ab=2, bad=60,e,f,p 分别为 ab,bc,ac上动点, 求 pe+pf最小值8分折:作 e 关于 ac 所直线的对称点e,于是有 ,pe+pf=pf+pe ef,又由于 e 在 ab 上运动 ,故当 ef 和 ad,bc垂直时， e0f 最短,易求 e0f=3 ；例：如图， aob=45 ，角内有一动点p ，po=10 ，在 ao ， bo 上有两动点 q ，r，求 pqr 周长的最小值；分折：作 p 关于 oa ，ob 对称点 p1，p2 ；于是有 pq+qr+pr=qp1+qr+

16、rp2 p1p2，由对称性易知 p1op2 为等腰 rt,op=op1=op2=10,p1p2=102总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点；这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用；1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路， 不论题目如何变化， 运用时要抓住直线同旁有两点， 这两点 到直线上某点的距离和最小这个核心，全部作法都相同留意：利用轴对称解决最值问题应留意题目要求依据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要仔细审题， 不要只留意图形而忽视题意要求，审题不清导致答非所问2、利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条