初中数学经典几何难题及答案

1、.经典难题（一）1、已知：如图，o 是半圆的圆心，c、e 是圆上的两点，cd ab， ef ab， eg co求证： cd gf（初二）cadepgabdofbc第 1 题图第 2 题图02、已知：如图，p 是正方形abcd 内点， pad pda 15 求证： pbc 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形abcd、a1 b1c1d1 都是正方形， a2、b2、c2、d2 分别是 aa 1、bb1 、cc1、dd 1的中点求证：四边形a2b2c2d2 是正方形 （初二）a dfa 2d2a 1ed 1b 1ncc1db 2c2b cab m第 3 题图第 4 题图4、已知：如图，在四边形a

2、bcd 中， adbc， m 、n 分别是 ab、cd 的中点， ad、bc 的延长线交 mn 于 e、f求证： den f经典难题（二）1、已知： abc 中， h 为垂心（各边高线的交点），o 为外心，且om bc 于 m （ 1）求证： ah 2om ；0（ 2）如 bac 60 ，求证： ah ao （初二）.ageo· hebmdcco·bdmpaqn第 1 题图第 2 题图2、设 mn 是圆 o 外始终线，过o 作 oa mn 于 a，自 a 引圆的两条直线，交圆于b、 c 及 d、 e，直线 eb 及 cd 分别交 mn 于 p、q求证： ap aq （初二）

3、3、假如上题把直线mn 由圆外平移至圆内，就由此可得以下命题：设 mn是圆 o 的弦，过mn的中点a 任作两弦bc、de，设cd、eb 分别交mn于 p、q求证：ap aq （初二）edcaqgm·npc· eobpfdaqb第 3 题图第 4 题图4、如图，分别以abc 的 ac 和 bc 为一边，在abc 的外侧作正方形acde 和正方形cbfg， 点 p 是 ef 的中点求证：点p 到边 ab 的距离等于ab 的一半（初二）经典难题（三）1、如图，四边形abcd 为正方形， de ac， ae ac， ae 与 cd 相交于 f求证： ce cf（初二）.a dadf

4、febcb ce第 1 题图第 2 题图2、如图，四边形abcd 为正方形， de ac，且 ceca，直线 ec交 da 延长线于f 求证： ae af（初二）3、设 p 是正方形abcd 一边 bc 上的任一点，pf ap， cf 平分 dce求证： pa pf（初二）a dafpb pcebodefc第 3 题图第 4 题图4、如图， pc 切圆 o 于 c，ac 为圆的直径， pef为圆的割线，ae、af 与直线 po 相交于 b、d求证： ab dc ，bc ad（初三）经典难题（四）1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形内一点，pa 3， pb 4， pc 5求： apb 的

5、度数（初二）aadppbcbc第 1 题图第 2 题图2、设 p 是平行四边形abcd 内部的一点，且pba pda求证： pab pcb（初二）.3、设 abcd 为圆内接凸四边形，求证：ab·cd ad ·bc ac·bd（初三）aaddfpbecbc第 3 题图第 4 题图4、平行四边形abcd 中，设 e、f 分别是 bc、ab 上的一点， ae 与 cf 相交于 p，且 ae cf求证： dpa dpc（初二）经典难题（五）1 、 设p是 边 长 为1的 正 abc内 任 一 点 ， l pa pb pc ， 求 证 ：l 2aadppbcbc第 1 题

6、图第 2 题图2、p 是边长为1 的正方形abcd 内的一点，求pa pb pc 的最小值a.e.3、p 为正方形abcd 内的一点，并且paa， pb2a， pc3a，求正方形的边长a dpb c第 3 题图第 4 题图4、如图， abc 中， abc acb 8000， d、e 分别是 ab、ac 上的点， dca 30 ，0 eba 20 ，求 bed 的度数经典难题（一）1、已知：如图，o 是半圆的圆心，c、e 是圆上的两点，cd ab， ef ab， eg co求证： cd gf；（初二）证一：连接oe； eg co ， ef ab， o、g、e、f 四点共圆，且oe 为直径； gf

7、=oe·sin gof；又 ocd 中， cd=oc ·sin cod ； gof+ cod=180 °，oc= oe 为 o 半径， cd gf；证二：连接oe，过 g 作 gh ab 于 h； eg co，ef ab， o、g、e、f 四点共圆，且oe 为直径； geo= hfg；又 ego= fhg=rt ， geo hfg； gf:oe=gh:og ；又 gh cd ， gh:cd=og:oc ，即 gh:og=cd:oc ， gf:oe=cd:oc，而 oe=oc ， cd gf；c ceegadofbgadh ofb02、已知：如图， p 是正方形ab

8、cd 内点， pad pda15 ad.pe.求证： pbc 是正三角形 （初二）证明：3、如图，已知四边形abcd、a1 b1c1d1 都是正方形， a2、b2、c2、d2 分别是 aa 1、bb1 、cc1、dd 1的中点求证：四边形a2b2c2d2 是正方形 （初二）a da 2d 2a 1d1b1c1b 2c2b c4、已知：如图，在四边形abcd 中， adbc， m 、n 分别是 ab、cd 的中点， ad、bc 的延长线交 mn 于 e、f求证： den ffencdabm经典难题（二）1、已知： abc 中， h 为垂心（各边高线的交点），o 为外心，且om bc 于 m （

9、1）求证： ah 2om ；a0（ 2）如 bac 60 ，求证： ah ao （初二）o· he.bmdc.aafooeebhcdmbhcdmf2、设 mn 是圆 o 外始终线，过o 作 oa mn 于 a，自 a 引圆的两条直线，交圆于b、 c 及 d、 e，直线 eb 及 cd 分别交 mn 于 p、q求证： ap aq （初二）geco·bdmpaqn3、假如上题把直线mn 由圆外平移至圆内，就由此可得以下命题：设 mn 是圆 o 的弦，过mn 的中点 a 任作两弦bc、de，设 cd、eb 分别交 mn 于 p、q求证： ap aq （初二）ecaqmp·

10、;n·obd4、如图，分别以abc 的 ac 和 bc 为一边，在abc 的外侧作正方形acde 和正方形cbfg，.点 p 是 ef 的中点求证：点p 到边 ab 的距离等于ab 的一半（初二）dgcepfaqb经典难题（三）1、如图，四边形abcd 为正方形， de ac， ae ac， ae 与 cd 相交于 f求证： ce cf（初二）a dfeb c2、如图，四边形abcd 为正方形， de ac，且 ceca，直线 ec交 da 延长线于f求证： ae af（初二）ad fbce.3、设 p 是正方形abcd 一边 bc 上的任一点，pf ap， cf 平分 dce求证：

11、 pa pf（初二）a dfb pce4、如图， pc 切圆 o 于 c，ac 为圆的直径， pef为圆的割线，ae、af 与直线 po 相交于 b、d求证： ab dc ，bc ad（初三）abodpefc经典难题（四）1、已知： abc 是正三角形，p 是三角形内一点，pa 3， pb 4， pc 5求： apb 的度数（初二）apbc.2、设 p 是平行四边形abcd 内部的一点，且pba pda求证： pab pcb（初二）adpbc3、设 abcd 为圆内接凸四边形，求证：ab·cd ad ·bc ac·bd（初三）adbc4、平行四边形abcd 中，设

12、 e、f 分别是 bc、ab 上的一点， ae 与 cf 相交于 p，且 ae cf求证： dpa dpc（初二）adfpbec.经典难题（五）1 、 设p是 边 长 为1的 正 abc内 任 一 点 ， l pa pb pc ， 求 证 ：l 2apbc.2、已知： p 是边长为1 的正方形 abcd 内的一点，求pa pbpc 的最小值a dpb c3、p 为正方形abcd 内的一点，并且paa， pb2a， pc3a，求正方形的边长a dpb c.4、如图， abc 中， abc acb 8000， d、e 分别是 ab、ac 上的点， dca 30 ，0 eba 20 ，求 bed 的

13、度数aedbc经典难题（一）1.如下图做gh ab,连接 eo；由于 gofe 四点共圆，所以gfh oeg,即 ghf oge,可得eogo=gfghco,又 co=eo ，所以 cd=gf 得证；cd.2. 如下图做 dgc 使与 adp 全等，可得 pdg 为等边，从而可得0 dgc apd cgp,得出 pc=ad=dc, 和 dcg= pcg150所以 dcp=30，从而得出 pbc 是正三角形3.如下图 连接 bc1 和 ab1 分别找其中点 f,e连.接 c2f 与 a2 e 并延长相交于 q 点，110连接 eb2 并延长交 c2q 于 h 点，连接 fb2 并延长交 a2 q

14、 于 g 点，1由 a2e=2 a1b1=2 b1c1= fb2 ，eb2=12 ab=2 bc=fc1 ，又gfq+ q=90和0 geb2+ q=90 ,所以 geb2 = gfq 又 b2fc2= a2 eb2 ，可得 b2fc2 a2eb2 ，所以 a2b2=b 2c2 ，0又 gfq+ hb2f=90和 gfq= eb2a2 ,0从而可得 a2b2 c2=90，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形a2b2c2d2 是正方形；.4.如下图 连接 ac 并取其中点 q，连接 qn 和 qm ，所以可得 qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，从而得出 den f；经

15、典难题（二）1.1延长 ad 到 f 连 bf，做 og af,又 f= acb= bhd，可得 bh=bf,从而可得hd=df ，.又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om02连接 ob，oc,既得boc=120 ，0从而可得 bom=60,所以可得ob=2om=ah=ao,得证；3.作 of cd，og be，连接 op， oa， of， af， og ，ag， oq ；adaccd2 fdfd由于=，abaebe2 bgbg由此可得 adf abg，从而可得afc= age；又由于 pfoa 与 qgoa 四点共圆，可得afc= aop 和 age= aoq ，

16、 aop= aoq ，从而可得ap=aq ；.4.过 e,c,f点分别作 ab 所在直线的高 eg， ci，fh；可得 pq=由 ega aic，可得 eg=ai ，由 bfh cbi，可得 fh=bi ；eg + fh；2从而可得pq=ai + bi=2ab，从而得证；2经典难题（三）1.顺时针旋转 ade，到 abg，连接 cg.由于 abg= ade=900+4500=135从而可得b， g，d 在一条直线上，可得agb cgb；推出 ae=ag=ac=gc ，可得 agc 为等边三角形； agb=300，既得 eac=3000，从而可得a ec=75 ；又 efc= dfa=45可证：

17、 ce=cf；0+3000=75 .2.连接 bd 作 chde，可得四边形cgdh 是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch ，00可得 ceh=30 ，所以 cae= cea= aed=15 ，又 fae=900+450+1500=150 ，从而可知道f=150，从而得出ae=af ；.3.作 fg cd，fe be，可以得出gfec为正方形；令 ab=y， bp=x ,ce=z ,可得 pc=y-x；xtan bap=tan epf=yy -zx + z，可得 yz=xy-x2+xz ，即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出 abp pef ，得到 papf ，得证；.经典难题（四）

18、1. 顺时针旋转 abp600 ，连接 pq ，就 pbq 是正三角形；可得 pqc 是直角三角形；0所以 apb=150；2.作过 p 点平行于 ad 的直线，并选一点e，使 aedc， bepc.可以得出 abp= adp= aep，可得：aebp 共圆（一边所对两角相等）；可得 bap= bep= bcp，得证；.3.在 bd 取一点 e，使 bce= acd，既得 bec adc，可得：bead=bcac，即 ad.bc=be.ac，又 acb= dce，可得 abc dec，既得abde=acdc，即 ab.cd=de .ac，由 + 可得 : ab.cd+ad .bc=acbe+d

19、e= ac ·bd ，得证；4.过 d 作 aq ae ，ag cf ，由svade =sy abcd2= svdfc，可得：.ae gpq=2aegpq 2.，由 ae=fc；可得 dq=dg ，可得 dpa dpc（角平分线逆定理） ；经典难题（五）01.（1）顺时针旋转 bpc 60，可得 pbe为等边三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap，pe， ef在一条直线上，.即如下图：可得最小l=；（ 2）过 p 点作 bc 的平行线交 ab,ac 与点 d，f；由于 apd> atp= adp，推出 ad>ap又 bp+dp>bp和 pf

20、+fc>pc又 df=af由可得：最大l< 2；.由（ 1）和（ 2）既得： l 2 ；2.顺时针旋转 bpc 600 ，可得 pbe 为等边三角形；既得 pa+pb+pc=ap+pe+ef要使最小只要ap， pe， ef 在一条直线上，即如下图：可得最小pa+pb+pc=af ；.既得 af=1 + 3 + 1 2=2+3 =4 + 234223 +=212=2 3 + 126 +2=；2.3.顺时针旋转 abp90 0 ，可得如下图：既得正方形边长l =2 +2 22 2+ ga=5 +22 ga；22.4.在 ab 上找一点 f，使bcf=60 0 ，连接 ef， dg，既得

21、 bgc 为等边三角形，00可得 dcf=10, fce=20 ,推出 abe acf ，得 到 be=cf ， fg=ge ；0推出： fge为等边三角形，可得 afe=80，0既得： dfg=4000又 bd=bc=bg，既得 bgd=80，既得 dgf=40推得： df=dg , 得到： dfe dge ，0从而推得：fed=bed=30；.经典难题（一）1.如下图做gh ab,连接 eo；由于 gofe 四点共圆，所以gfh oeg,即 ghf oge,可得eogo=gfghco=,又 co=eo ，所以 cd=gf 得证；cd2. 如下图做 dgc 使与 adp 全等，可得 pdg

22、为等边，从而可得.0 dgc apd cgp,得出 pc=ad=dc, 和 dcg= pcg150所以 dcp=30，从而得出 pbc 是正三角形3.如下图 连接 bc1 和 ab1 分别找其中点 f,e连.接 c2f 与 a2 e 并延长相交于 q 点，1110连接 eb2 并延长交 c2q 于 h 点，连接 fb2 并延长交 a2 q 于 g 点，1由 a2e=2 a1b1=2 b1c1= fb2 ，eb2=2 ab=2 bc=fc1 ，又gfq+ q=90和0 geb2+ q=90 ,所以 geb2 = gfq 又 b2fc2= a2 eb2 ，可得 b2fc2 a2eb2 ，所以 a2

23、b2=b 2c2 ，0又 gfq+ hb2f=90和 gfq= eb2a2 ,0从而可得 a2b2 c2=90，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形a2b2c2d2 是正方形；.4.如下图 连接 ac 并取其中点 q，连接 qn 和 qm ，所以可得 qmf= f， qnm= den 和 qmn= qnm ，从而得出 den f；经典难题（二）1.1延长 ad 到 f 连 bf，做 og af,又 f= acb= bhd，可得 bh=bf,从而可得hd=df ，.又 ah=gf+hg=gh+hd+df+hg=2gh+hd=2om02连接 ob，oc,既得boc=120 ，0从而可得 bom

24、=60,所以可得ob=2om=ah=ao,得证；3.作 of cd，og be，连接 op， oa， of， af， og ，ag， oq ；adaccd2 fdfd由于=，abaebe2 bgbg由此可得 adf abg，从而可得afc= age；又由于 pfoa 与 qgoa 四点共圆，可得afc= aop 和 age= aoq ， aop= aoq ，从而可得ap=aq ；.4.过 e,c,f点分别作 ab 所在直线的高 eg， ci，fh；可得 pq=由 ega aic，可得 eg=ai ，由 bfh cbi，可得 fh=bi ；eg + fh；2从而可得pq=ai + bi=2ab，

25、从而得证；2经典难题（三）1.顺时针旋转 ade，到 abg，连接 cg.由于 abg= ade=900+4500=135从而可得b， g，d 在一条直线上，可得agb cgb；推出 ae=ag=ac=gc ，可得 agc 为等边三角形； agb=300，既得 eac=3000，从而可得a ec=75 ；又 efc= dfa=45可证： ce=cf；0+3000=75 .2.连接 bd 作 chde，可得四边形cgdh 是正方形；由 ac=ce=2gc=2ch ，00可得 ceh=30 ，所以 cae= cea= aed=15 ，又 fae=900+450+1500=150 ，从而可知道f=1

26、50，从而得出ae=af ；.3.作 fg cd，fe be，可以得出gfec为正方形；令 ab=y， bp=x ,ce=z ,可得 pc=y-x；xtan bap=tan epf=yy -zx + z，可得 yz=xy-x2+xz ，即 zy-x=xy-x，既得 x=z，得出 abp pef ，得到 papf ，得证；.经典难题（四）2.顺时针旋转 abp600 ，连接 pq ，就 pbq 是正三角形；可得 pqc 是直角三角形；0所以 apb=150；2.作过 p 点平行于 ad 的直线，并选一点e，使 aedc， bepc.可以得出 abp= adp= aep，可得： aebp 共圆（一边所对两角相等）；可得 bap= bep= bcp，得证；.3.在 bd 取一点 e，使 bce= acd，既得 bec adc，可得：be