分类讨论思想在中学数学中的应用

1、.分类讨论思想在中学数学中的应用1、前言每一条数学的结论都有让能够它成立的条件，每种数学方法也同样有它的使用范围及其限制 ，在我们日常学习生活中所碰到的数学的问题之中，有部分的问题的结论并不是唯一确定的 ；有部分的问题 ，它的结论在解题过程中不能以统一的解题方法进行求解，还有部分的问题所给出的已知量是用字母的形式代替的，当其字母的取值的不同，最终也会导致问题的最后结论，所以，对于以上的几种问题类型，我们要采取化整为零的解题策略 ，将原问题分成多个小问题进行解决，这种解题方法策略就是分类讨论 .分类讨论思想是指解决某个问题时，没有办法用同样的一种方法进行解决，而需要一个标准将问题分成多个能用不同

2、的方式进行解决的小问题，将分成的小问题进行解决，从而使原来的问题得以解决，这就是分类讨论的思想 .在碰到需要分类讨论的问题时，要结合题意用能够实施的标准进行分类，然后在划分的每一个子类中逐步进行讨论 .比如，判断函数 yax2bxc 是一次函数还是二次函数.对于这一道题 ，它的分类讨论的标准就是a0 或 a0 .这题的分类思路就是根据二次项系数与零的关系依据继而分类 .在 a0 这一类里还可以再一次的进行分类，可以分为 a0 和 a0 这两类，这两类的分类标准就是按照a 的正负与其函数的图象的开口方向是上或下的关系.专业资料 .2、分类讨论的基本概念2.1 分类讨论的原则实施分类讨论的因数有很

3、多也都不相同，进行分类讨论也要遵循一些既定的原则.一般都有下面这几个原则：1、解题时必须要依据 同一个 标准进行分类 ，不能 同时使用 多个不同的分类标准来进行分类 ，不然就很容易会出现混乱、出现重复而且非常容易出错.2、在一个分类下的各个子分类不可以存在相同的部分，要做到每个子分类相互排斥，类似于每个子分类相互之间的交集为空集.3、分类之后进行检查时要注意前后是不是相呼应，分类的一些细节进行整合后要和原来的题目相称 ，类似于每个子分类的并集就是原来题目.2.2 分类讨论的基本步骤一般的我们对一道数学题进行分类讨论时，第一步是确定我们所要讨论的对象和.专业资料 .对象的全体范围 ；第二步是确定

4、分类的表准，要合理的 ，正确的进行分类 ，也就是标准要求统一 ，分得的类别要求不能重叠，不能遗漏 ；第三步就是将分类对象进行逐步的分类讨论 ，要分级进行 ，得到每一类的小结果 ；第四步是将第三步的结果进行归纳总结，得出最终结论 .例 1：函数 yax 21 ， a0 的图象和 x 轴有没有交点 ？解析：对于这一题这个函数与x 轴有没有交点与二次项系数a 的正负有关 ，即当 a 0 时，函数 y 图象开口方向是向上的 ，与 x 轴没有交点 ；当 a 0 时，函数 y 图象开口方向是向下的 ，与 x 轴有两个交点 .综上所述 ，当 a0 时， y 与 x 轴没有交点 ；当 a0 时， y 与 x

5、轴有两个交点 .总结：例 1 很明显要用分类讨论的方法来解题，所以做这题时 ，要按照分类讨论的基本步骤来解答 ，先确定所要讨论的对象a ，再确定分类标准a 的正负，然后逐步进行分类讨论 ，得出 a0时没有交点 ， a0 时有两个交点 .3、分类讨论在中学数学中的应用3.1、分类讨论在数与代数中的应用、在含有绝对值或偶次方根的代数式中的应用在数学中因为绝对值运算和偶次方根运算的结果一定是非负的，所以在一些情况下我们要对绝对值里面和偶次方根里面的数或代数式进行分类讨论，例如下面的例2和例 3 两道例题 .例 2：若 abba ,且 a4 , b3 则 ab 2 的值为多少 ？解析：因为 a4 ,

6、b3 ；所以 a4 , b3 .专业资料 .由于 a b b a ，所以 b a0 ，即 b a .故当 b 3 时， a4 ， ab 21；当 b3 时， a4 ， a b 249 .综上所述 a b 21或 49.例 3：化简3m2.n解析：因为算术平方根开出的结果都是正数 ，所以要对 3mn 进行讨论 .原式3mn .当 3mn 即 mn 时，原式3mn .3当 3mn 即 mn 时，原式n3m .3点评：绝对值概念和算术平方根概念是需要分类讨论的概念，通过分类讨论可以快速的 、简洁的得到正确的 、完整的的结果 ，若不进行分类讨论，就会很容易出现错误 .、与函数及图象 、最值有关的应用对

7、于某些函数 ，例如：分段函数 ，它在定义域内 ，对于自变量x 不同，函数有着不同的对应关系 ，对于这种函数我们在进行研究时要对它进行分类讨论；还有对于只有函数解析式难以画出图象的函数，求它的最大 (小)值时也要进行分类讨论 .| x |2x， 2 x 2 .例 4：已知函数 f x12(1) 用分段函数的形式表示函数 f x .(2) 画出函数 f x 的图象 .(3) 写出函数 f x 的值域 .解析：因为函数 f x 在其定义域的范围内，无法用同样的解析式表达，所以要对其进行分类讨论 .即.专业资料 .x10x2（ 1） f x2.3x12x022(3)值域 -2,1.5.例 5：点 x,

8、 y 在曲线 xy 1上移动时 ，求 x2xyy 2 的最大值和最小值 .2解析：当 x0, y 0 时， x2 1 y 且0y 1 .所以2x2xy y27 y2 10 y 4 7 y53 .77故当 y0时有最大值 4，当 y5 时有最小值 3 .77当 x0, y 0 时， x 2 y1 ，且 0 y1.所以x2xy y23 y26 y 4 3 y 1 21 .故当 y0时有最大值 4，当 y1时有最小值 1.当 x0, y0 时同 x 0, y0 时结果一样 ；当 x0, y0 时同 x 0, y0 时结果一样；综上所述 ， x2xy y2 有最大值 4，最小值 3 .7点评：分段函数

9、是一个典型的分类讨论思想在函数中的应用示例，分段函数在定.专业资料 .义域的范围内 ，对于自变量 x 的不同的取值 ，函数有着不同的对应关系，所以在解答分段函数类型的题时 ，要合理的使用分类讨论思想；而对于一些难以画出函数图象的函数和概念函数 ，对于此类函数的最值问题也要进行合理的分类讨论.、在含有参数的不等式中的应用对于一些含有参数的不等式，其最终结果会因参数的改变而产生变化，所以我们在研究这一类的题型时要应用分类讨论思想例 6：解关于 x 的不等式 ：mx21x1 0，(m)mR .解析：当 m 0时，原不等式将变为 10不符舍 .当 m 0 时，原不等式为一元二次不等式 ，即 m 1 2

10、 4mm 22m 1 m 1 20 .所以当m0，0时m；此时不等式无解 ；1当 m0，0时，0m1时，不等式解为 1x1 ；mm1，0 时，不等式解为 1x1；m当 m 0 ，0 时 m 1矛盾，舍.当 m 0 ，0 时，不等式解为 1 x或 x 1 . m点评：此题因含有参数 m ，使此题情况复杂多变 ，要多次运用分类讨论思想进行多级多次分类 ，若不按分类讨论的步骤逐步分类很容易造成错误、混乱 .、在含参方程中的应用方程是数学的一个重要的组成部分，方程中含参方程是方程的重要部分.含参方程和含参不等式一样 ，因含有参数 ，参数取值不同 ，最终结果也会不同 .所以对于研究含.专业资料 .参方程

11、，我们要合理使用分类讨论思想.例 7：关于 x 的含参方程 mx22 m3 xm20 至少有一个整数解 ，且 m 是整数，求解 m 的值 .解析：当 m0时，原方程变为一元一次方程 6x 20 ，此方程解为 x1非整数，3当 m0 时 ,方程是一元二次方程 ，因为它至少有一个整数根 ，表明了判别式4 m 34m m 2 4 94m 为 完全平方数 ，所以 94m 是 完全平方数 .令 k 29 4m，则 k 为正奇数 ，因为 m0 ，所以 k3 ；由求根公式可得 ；2 m 32k3kx1、21m2m14 3 k2 .9k441 ；所以 x11， x23k3 k要让 x1 为 整数 ，而 k 为

12、 正奇数 ，所以只能 k1 即 m2 ；要让 x2 为整数， k 可取 1、 5、 7，即 m 2、-4 、 -10 ；综上所述 ， m 的值为 2、-4 、-10.点评：此题因二次项系数含有参数 ，故要先讨论二次项系数是否为零的情况，再讨论根是整数的情况 .通过以上几种分类讨论思想在数与代数中的应用，我们可以看出分类讨论思想在中学数学代数方面运用很广.在代数中 ，特别是含有参数的题型中，我们往往要使用分类讨论，还有像解一元二次方程实际上也运用了分类讨论思想.接下来我将要讨论分类讨论思想在几何中的几种运用.3.2、分类讨论在三角形中的应用.专业资料 .、在等腰三角形中的应用对于等腰三角形的题目

13、，无论是边还是顶角 、底角，在其不确定的情况下都会对最终结论造成影响 ，因此要对其边或角进行分情况求解.例 8：一个 等腰三角形的某一个外角 100 ，则这个 三角形的 顶角和底角为多少度？解析：若此 三角形 的顶角的外角是 100 ，则 顶角 为 80 ，底角为 50 .若此 三角形 的底角的外角是100o ，则 底角 为 80o ，顶角为 20 .例 9：若实数 x, y 满足 | x - 5 |y - 70 ，则以 x, y 的值为 等腰三角形的两边长 ，求出此 等腰三角形的周长.解析：由题可知可 x5 , y7 ；若以 x 的值为底边 ， y 的值为腰 ，则三角形的周长 L57719

14、；若以 x 的值为腰 ， y 的值为底边 ，则三角形的周长 L55717 ；综上所述 ，此等腰三角形的周长为17 或 19.点评：例(7)是等腰三角形中的角不确定，所以要进行分类讨论 ，而例 (8)是因为在等腰三角形中 ，底边和腰无法分辨时导致三角形无法确定，故要进行分类讨论 .由此可见，在等腰三角形中 ，边或角的不确定 ，就要对它进行分类讨论 .、在直角三角形中的应用在直角三角形中 ，若题干没有给出哪个角是直角或哪个边是斜边，对于这一情况需要进行分类讨论 .例 10 ：如下图，在 Rt ABC 中ACB90 ,B30 ,边 BC3.点 D 是边 BC 上的.专业资料 .A.一个动点 （不和点

15、 B与点 C 重合），过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E ，将B沿着直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的一点 F 处 .若 AEF 为直角三角形时 ，BD 的长是多少？解析：当EFA 90时；ACBC tan303 ；EFCAC tan 301.1 BF1 BCB故 BDDFFC1.C22DF当 EAF90时，点 F在 C的右侧；ACBC tan 303 ；FCAC tan 301.故 BDDF1 BF1 BCFC2 .22综上所述 ， BD 的长为 1 或 2.点评：在直角三角形中直角的不确定会影响解直角三角形的结果，对于这种情况就要用到分类讨论思想 .分类别讨论直角的可能

16、性，这样解题会得出完整的 、正确的答案，否则结果很容易出现遗漏.、与相似三角形有关的应用对于两个三角形相似 ，因图形的不确定因素 ，就要对其进行分类讨论 .例 11 ：如下图，在 Rt ABC 中，C90 , BC6cm ， AC8cm，现有一 动点 P从点 A 开始向点 C 运动，它的运动速度是 2cm/s ，有一动点 Q 由点 C 出发向点 B 运动，它的速度是 1cm/s ，连 PQ，经过多长时间 PCQ 和ACB 相似？解析：设经过 t 秒的时间两三角形相似 .A由题意可知.专业资料 .CQ=t ，AP=2t ，PC=8-2t.当 CPQ=A 时， CPQCAB；可得 CQCP ；即

17、t82t ；解得 t12 .CBCAP685当CPQA ， CPQCBA；CQCPt8 2t32C可得即.QB；解得tCACB,8611综上所述 ，经过 12 s 或 32 s 后 PCQ 与ACB 相似 .511点评：此题就是因为图形的不确定而引起结果变化，对此就要运用分类讨论思想，进行分级分类 ，逐步讨论 .以上几种是分类讨论在三角形之中的应用，分类讨论在几何中的应用不仅仅只有三角形还有其他的图形 ，本文在此就不作一一阐述.一般的，在几何中 ，若几何图形不确定时，应合理应用分类讨论思想.3.3、因公式适用条件而导致分类讨论数学上的每个数学公式定理都有它的适用条件，这就要求我们进行解题时要弄

18、清题中条件 ，要根据条件来进行分类 .例 12 ：设 an 全部是由正数组成的 等比数列 ，前 n 项和是 Sn ，证明： lg Snlg Sn 2lg Sn 1 ；2是否存在常数 c 0 ，使得 lg Snclg Sn 2 clg Sn 1 c 成立？2解析：设 an 的公比是 q ，则 a10,q0 ；当 q 1时， Sn na1 ，则SnSn 2Sn2 1na1n 2 a1n 1 2 a12a120 ；故 Sn Sn 2Sn21 ，则 lg Snlg Sn22 lg Sn1 ，即原式成立 .专业资料 .当 q1a1 1qn，则时， Sn1q2nn 22n 1 2SnSn 2Sn2 1a1

19、1 q 1 qa11 qa12qn0 .1q 21 q 2故 Sn Sn2Sn21 ，则原式成立 .综上所述 ， lg Snlg Sn 2lg Sn1恒成立.2假若lg Snclg Sn2clg Sn 1c2成立，则必有 SncSn2cSn1c2 成立，所以我们只用证明后者成立即可 .当 q1时， Sn na1 ，则Snc Sn 2c Sn 12na1 c n 2 a1c2a120 .cn 1 a1 c即 Snc Sn2cSn 1c2 ，原式不成立 .当 q1a1 1qn，则时， Sn1qa1 1 qna1 1 qn 2a1 1 qn 12Sn c Sn 2cSn 1 c 2ccc1q1q1q

20、a1qn a1c 1q .因 a1qn0 ，故 a1c 1 q0 ，即 c1a1 ；则qSncSna1a1qn0 ；1q1 q所以对数式无意义 ，故原式无意义 .综上所述 ，不存在常数 c 使 lg Snclg Sn2clg Sn 1c成立 .2点评：对于等比数列 ，公比是 1 和公比不是 1 会影响等比求和的通项公式的假设，所以此题要根据它的公比为不为1 来进行分类讨论 .专业资料 .4、分类讨论思想结合其他数学方法的应用数学中解题方法策略有很多种，解题时往往不只使用一种方法策略，而经常将几种或多种方法结合起来 ，分类讨论也是如此 .4.1、分类讨论思想与数学归纳法的结合应用在数学研究中分类

21、讨论思想常常与数学归纳法结合起来运用，把问题分类别使用归纳法 .例 13 ：已知 x10，x11 ，且 xn 1xn xn23nN ，试证：数列 xn 或者对任意3xn21的正整数 n 都满足 nxn 1，或者对任意的正整数nnn 1.x都满足 xx解析：先作差xn1xnxn xn23xn3xn212 xn 1 xn22xn 1 xn 1 xn .3xn213xn21由题设可知 xn0 nN，所以 xn 1xn 与 1xn 的符号相同 .故要分 0x11及 x11 两种情形讨论 .(1)若0x1 1时，可用数学归纳法证明 1xn0 .当 n 1时，显然成立 .假设 nk 时，有 1xk0 ，则

22、1xk 1xk xk231xk313xk213xk20 ，1所以对n N， 1xn 0 ，由式可知 xn 1xn .(2) 若 x1 1 ，同 (1)类似可证 xn 1 xn .点评：这题因为要比较 xn 和 1 的大小关系 ，所以使用数学归纳法时要分0x11和x11两种情况进行归纳 .专业资料 .4.2、分类讨论思想与赋值法的结合应用例 14:使用 n 个数（允许重复 ）组成一个长为 N 的数列；且 N2n .求证：可在这个数列中找出若干个连续的项，它们的乘积是一个完全平方数.解 析 ： 设 n个 数 a1 ,a2 , a3 ,an 组 成 的 长 为 N 的 数 列 为 b1 ,b2 ,b

23、n . 这 里bia1 ,a2 , , an ， i 1,2, N .建立映射Bb1, b2 , ,bNv1 ,v2, , vn .其中vjc ,c2, ,c对于每个j1j n ，我们赋值1n .ci0,若 ai 在 b1, b2 ,bj中出现偶数次 ,1,若 ai在 b1, b2 , bj中出现奇数次 .如果有某个 vj0,0,0 ，那么，在积 b1, b2 , ,bj 中，每个 ai 都出现偶数次 ，所以积为完全平方数 .如果每个 vi0,0,0 ，那么，由于c1, c2 , cn ci0或1,i1,2, n ，这个集合恰有 2n1个元素 ，由题设 Nvhvk .这时，在乘积 b1 ,b2

24、 ,bk 和 b1 ,b2,2n2n1，所以必有 h 和 k 1khN 满足,bh 中每个 ai 出现的次数具有相同的奇偶性，从而它们的商 ，即乘积 ak 1ak 2ah 中每个 ai 出现偶数次 .即 ak 1ak 2ah 为完全平方数 .5、分类讨论思想的延展分类讨论是一种 很重要的解题的方法策略 ，但是分类讨论和其他的数学解题方法一样也不是万能的 ，在准备使用分类讨论思想解决一些问题时，不要盲目的进行分类讨论，要充分把题中潜在的简单性及特殊性挖掘出来，能避免分类讨论 ，或者简化分类讨论过程 .接下来本文对于避免或简化分类讨论的几种方法进行简单的举例说明.专业资料 .5.1、绝对值平方法代

25、数式中出现参数以及实数绝对值等概念，使得引起分类讨论 ，若采取合理方法，此类也可避免或简化分类讨论.例 15 ：若 x0，1， a0 且 a1 ，比较 |log a1x|与 | log a1- x | 的大小 .解析：因在实数集中 ， | k |2k 2 .故可比较 | log a 1x | 和 | log a 1x|2 的大小，即|log a1x|2|log a1x |2log a21xlog a2 1x12lg 1xlg 1xlg 1xlg 1xlg a121xlg 1x 2lg.lg a1x12由 0 x1,0，故0x21,即 11x20lg 1x20 ，又由于lg a1x001x11

26、x1 lg 1 x11x211100 .21x1 x1x故 lg 1x2lg 1x0 ，即1x| log a1x|2| log a1x|20| log a1x |2| log a 1x |2 .故 | log a1x | log a 1x|；点评：此题若进行分类讨论会很复杂，而将绝对值进行平方 ，就能将解绝对值问题转换成平方问题 ，从而避免或简化分类讨论，使题目变得简单 .5.2、分离变量法在含参方程中的一些题目，如果把方程转化成 函数 ，进行变量分离 ，也可以避免分类讨论 .专业资料 .例 16 ：一个未知数是 x 的方程 x2a2 x40 在 0x1内有解，求出 m 的取值范围 .解析：因

27、 m2 xx24 ；故 m x42, x 0,1 .x令 f xx42 ；x则原来的问题就变成了求f x 的值域；444时成立，即 x 2,因为 x，等号当且仅当 xxx又因为 x4 在定义域内是减函数 ，4x41所以 x5 .x1所以函数 f x的值域为 7,；即 m 7 .点评：此题若用分类讨论进行解题，一般的做法是先设出两根，在根据两根在数轴上的位置进行分类 ，而将方程转化成函数 ，进行分离变量 ，就可以避免分类讨论 ，使解题更简便 .5.3、换元法对于一些含参方程或函数中，使用换元法能够避免进行分类讨论，从而使解题变得简便 .例 17 ：已知 f xlog2 x1 g x2 log 2

28、 2xn .假设 x0,1 ，恒有 f xg x ，问实数 n 的取值范围 .解析：因 f xg x 在 x0,1恒成立；所以 2log2 2 xn log 2x1 成立 2x nx 1 成立，即 n 2 xx 1 成立故可令 m2xx1 ，则m 2 x 12x 1 2.专业资料 .22x 1117 .48而 x0,1x 11, 2，11， ,2；4所以 m 的最大值是 1，即 n 1时， f xg x 恒成立 .点评：此题若用分类讨论思想会比较复杂，而使用换元法能避免分类讨论 ，使解答变得简单容易 .6、总结本文通过探讨分类讨论思想在数与代数、几何等方面的应用 ，更深入的体现了分类讨论思想的要求 、标准以及分类讨论的步骤和方法，注意合理的分类 ，对全体对象的分类一定要不重不漏 ，每进行一