CH45函数的极值课件

1、CH45函数的极值CH45函数的极值.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf000000000定义定义一、函数极值的定义一、函数极值的定义CH4

2、5函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, ,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点. . 注：注：函数的极值是一个函数的极值是一个局部局部的定义，因此又可称为的定义，因此又可称为局部极值，局部极值，相应的有局部极大值和局部极小值。相应的有局部极大值和局部极小值。CH45函数的极值二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) ).)()(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点定定义义xfxf0.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点

3、点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数注注意意：xf例如例如, ,3xy , 00 xy0.x 但但不不是是极极值值点点, ,是是拐拐点点-1-0.75 -0.5 -0.250.250.50.751-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751CH45函数的极值判别法则判别法则(第一充分条件第一充分条件) )设函数设函数 满足满足xyoxyo0 x0 x ( (是极值点情形是极值点情形) )( )f x000()().fxfx (2)或(2)或不不存存在在那么那么如何判定驻点是不是极值点如何判定驻点是不是极值点(1)(1)在点在点x0的邻域内可导的邻域内可导CH45函数的极值xy

4、oxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()()(xfxf的定义域内求导数的定义域内求导数在函数在函数1;0)()2(的的根根求求驻驻点点，即即方方程程 xf;,)()(判判断断极极值值点点在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号检检查查xf 3.)(求求极极值值4( (不是极值点情形不是极值点情形) )CH45函数的极值解解.)(的的极极值值求求出出函函数数59323xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.,3121xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)(3f极极小小值值.22 )

5、( 1f极极大大值值,10 )3)(1(3 xx例例1 1CH45函数的极值593)(23 xxxxf图形如下图形如下-2-11234-25-20-15-10-5510MmCH45函数的极值练练 习习解解2321311213( )() ()()()fxxxxx x ，令令0)(xf列表讨论列表讨论x0(, )1 ( ,) 0 1( , )01)(xf )(xf 00 极小值极小值不是极值不是极值0( )f极极小小值值13. 3113( )() ().f xxx的的极极值值求函数求函数1201,.xx 得驻点得驻点CH45函数的极值 用判别法则用判别法则时，只需求函数的一阶导数，时，只需求函数的

6、一阶导数，但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦这样就有了这样就有了判别法则判别法则，可以很方便的判断，可以很方便的判断出是不是极值。出是不是极值。CH45函数的极值定理定理2(2(第二充分条件第二充分条件) )注意注意: :. 1,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 00()fx 时时，用用第第一一判判别别法法CH45函数的极值解：解：.)(的的极极值值求求出出函函数数2024323xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.,2421xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(

7、f, 018 )( 4f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )(2f故故极极小小值值.48 例例2 2CH45函数的极值-3-2-1123-40-30-20-10102030403232420( )f xxxx CH45函数的极值极值与最值的关系：极值与最值的关系：x1x2x3x4x5xyO Oa ab y=f(x)最大值：最大值：f (b)， 最小值：最小值：f (x3) 观察：观察：CH45函数的极值x1x2x3x4x5xyO Oa ab b y=f(x)最大值：最大值：f (x4)， 最小值：最小值：f (x3) 极值与最值的关系：极值与最值的关系： 观察：观察：CH45函数的极

8、值 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和上连续，则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得得. .如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区间闭区间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭

9、区间a，b上的最小值上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者极值与最值的关系：极值与最值的关系：CH45函数的极值 设设f(x)在在(a，b)内的驻点和不可导点内的驻点和不可导点( (它们是可能的极值它们是可能的极值) )为为x1，x2， ，xn，则比较，则比较f(a)，f(x 1)， f(x 2)， ，f(x n)，f(b)的大小，其中最大的便是函数的大小，其中最大的便是函数f(x)在在a，b上的最大值，最小的上的最大值，最小的便是函数便是函数f(x)在在a，b上的最小值上的最小值 求最大值和最小值的步骤：求最大值

10、和最小值的步骤： (1)(1)求出求出f(x)在在(a，b)内的所有驻点和不可导点；内的所有驻点和不可导点； (2)(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； (3)(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的比较上述函数值，找出最大的和最小的最大值和最小值的求法：最大值和最小值的求法：CH45函数的极值 例例3 3 求函数求函数y 2x3 3x2 12x 14在在 3, 4上的最大值与上的最大值与最小值最小值 解解 f(x) 2x 3 3x 2 12x 14， f (x) 6x 2 6x 12 6(x 2)(x 1)， 解方程解方程f (x) 0，得得

11、 x12，x2 1，由于由于 f( 3) 2( 3)3 3( 3) 2 12( 3) 14 23； f( 2) 2( 2)3 3( 2) 2 12( 2) 14 34； f(1) 2 3 12 14 7； f(4) 24 3 34 2 124 14 142， 比较可得比较可得f(x)在在 x 4取得它在取得它在 3，4上的最大值上的最大值f(4) 142 , ,在在 x 1取得它在取得它在 3，4上的最小值上的最小值f(1) 7CH45函数的极值，最最大大值值1424 )(f比较得比较得.)(71 f最最小小值值-3-2-112342040608010012014014123223 xxxyC

12、H45函数的极值 如果如果f(x)在一个区间在一个区间( (有限或无限，开或闭有限或无限，开或闭) )内可导且只有一内可导且只有一个驻点个驻点x0，并且这个驻点并且这个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f(x0)是是极大值时极大值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值；当在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值：特殊情况下的最大值与最小值： f(x0) Oa x0 b x y f(x ) y f(x0) Oa x0 b x y f(x ) yCH45函

13、数的极值 应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这时如果时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论那么不必讨论f(x0) 是是否是极值，就可以断定否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值是最大值或最小值 如果如果f(x)在一个区间在一个区间( (有限或无限，开或闭有限或无限，开或闭) )内可导且只有一内可导且只有一个驻点个驻点x0，并且这个驻点并且这个驻点x0是函数是函数f(

14、x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f(x0)是是极大值时极大值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值；当在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，是极小值时，f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值特殊情况下的最大值与最小值：特殊情况下的最大值与最小值：CH45函数的极值实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)(1)建立目标函数建立目标函数; ;(2)(2)求最值求最值; ;若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻点点, ,则则该该点点的的函函数数值值即即为为所所求求的的最最( (或或最最小小) )值值CH45函数的极值 运输模型是管理运筹学

15、中重要的组成部运输模型是管理运筹学中重要的组成部分。分。 下例是运输模型中的最简单的一个产地下例是运输模型中的最简单的一个产地一个销地问题。一个销地问题。CH45函数的极值例例 铁路线上铁路线上ABAB段的距离为段的距离为100km100km。工厂。工厂C C距距A A处处 为为20km20km，ACAC垂直于垂直于ABAB。为了运输需要，要。为了运输需要，要 在在ABAB线上选定一点线上选定一点D D向工厂修筑一条公路。向工厂修筑一条公路。 已知铁路上每吨货运的运费与公路上每吨已知铁路上每吨货运的运费与公路上每吨 货运的运费之比为货运的运费之比为3 3：5 5，为了使货物从供，为了使货物从供

16、 应战应战B B运到工厂运到工厂C C的运费最省，问的运费最省，问D D应选在应选在 何处？何处？CH45函数的极值AB100kmC20kmDx供供应应站站工工厂厂5k3kCH45函数的极值 解解 设设AD x (km)，则则 DB 100 x ，100kmDABC20kmCD2220 x2400 x 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB (k是某个正数是某个正数)，即即 y5k2400 x3k(100 x) (0 x100)CH45函数的极值先求先求y对对x的导数：的导数： y k340052xx，解方程解方程y 0，得得x 15(km) 其

17、中以其中以y|x 15 380k为最小，因此当为最小，因此当AD x 15km时，时，总运费为最省总运费为最省 解解 设设AD x (km)，则则 DB 100 x ，CD2220 x2400 x 设从设从B点到点到C点需要的总运费为点需要的总运费为y，那么那么y 5kCD 3kDB (k是某个正数是某个正数)，即即 y5k2400 x3k(100 x) (0 x100)由于由于 y|x0400k，y|x15380k，y|x100500k2511，CH45函数的极值 极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极极大值可能小于极小值小值, ,极小值可能大于极大值极小值可能大

18、于极大值. .驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在临界点取得函数的极值必在临界点取得. .判别法判别法第一充分条件第一充分条件; ;第二充分条件第二充分条件; ;( (注意使用条件注意使用条件) )四、小结四、小结CH45函数的极值思考题思考题CH45函数的极值思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立. .因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( fCH45函数的极值例例2 22311( )().f xx 求求出出函函数数的的极极值值2311( )()f xxCH45函数

19、的极值 f (x) f(x) (1)f (x) 6x(x 2 1)2 (2)令令f (x) 0，求得驻点，求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)(3)列表判断：列表判断：( ，1)1)11(1(1，0)0)0 0(0(0，1)1)1 1(1(1， ) ) 0 0+00无极值无极值无极值无极值极小值极小值 f (x)在在x 0处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为 f(0) 0 解法一解法一求函数求函数 f(x) (x2 1)3 1的极值的极值解法二CH45函数的极值 (2)令令f (x) 0，求得驻点求得驻点x 11，x 2 0，x 3 1 (3)f (x) 6(x 2 1)(

20、5x 2 1) (4)因因f (0) 60，所以所以x 0为为极小值点，极小值为极小值点，极小值为 f(0) 0 (5)因因f ( 1) f (1) 0，用定用定理理 2 2 无法判别无法判别求函数求函数f(x) (x 2 1)3 1的极值的极值 解法二解法二(1)f (x) 6x(x 2 1)2同理，同理，f(x)在在1 1处也没有极值处也没有极值 因为在因为在 1 1的左右邻域内的左右邻域内f (x)0， 所以所以f(x)在在 1 1处没有极值；处没有极值；2101x12y f(x) (x 2 1)3 1BACKCH45函数的极值解解23( )1(2).f xx 求求出出函函数数的的极极值

21、值132( )(2)(2)3fxxx 2,( ).xfx 当当时时不不存存在在().fx但但函函数数在在该该点点连连续续注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点. .0()fx 不不存存在在时时,用,用第第一一判判别别法法. .x2)(xf (,2) (2,) ( )f x 极大值极大值(2)f极极大大值值1. CH45函数的极值1234-0.75-0.5-0.250.250.50.751M2312()()fxx CH45函数的极值下列命题正确吗？下列命题正确吗？CH45函数的极值思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0, 20),1sin2(2

22、)(2xxxxxf )0()(fxf)1sin2(2xx 0 CH45函数的极值, 0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)( CH45函数的极值函数图形函数图形的描绘的描绘CH45函数的极值函数图形的描绘函数图形的描绘如果函数如果函数 f (x) 的定义域上的某个小区间中的定义域上的某个小区间中（1 1）单调性已知；）单调性已知；（2 2）凹凸性已知；）凹凸性已知；（3 3）曲线的发展或变化趋势已知；）曲线的发展或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形

23、CH45函数的极值 函数图形的描绘综合运用函数性态的函数图形的描绘综合运用函数性态的研究研究, ,是导数应用的综合考察是导数应用的综合考察. .xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy CH45函数的极值一、渐近线（曲线的发展趋势）一、渐近线（曲线的发展趋势）定义定义: :.)(,)(一一条条渐渐近近线线的的就就称称为为曲曲线线那那么么直直线线趋趋向向于于零零的的距距离离到到某某定定直直线线如如果果点点移移向向无无穷穷点点时时沿沿着着曲曲线线上上的的一一动动点点当当曲曲线线xfyLLPPxfyCH45函数的极值.,曲曲线线的的

24、渐渐近近线线则则称称该该直直线线为为于于零零某某一一定定直直线线的的距距离离趋趋近近若若此此动动点点到到点点时时动动点点沿沿曲曲线线无无限限远远离离原原xyo)(xfy baxy PM CH45函数的极值1.1.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybybbxfbxfxxCH45函数的极值例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :-3-2-1123-1.5-1-0.50.511.5.2,2 yyCH45函数的极值2.2.铅直渐近线铅直渐近线

25、.)()(lim)(lim)(0000的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或且且间间断断，在在如如果果xfyxxxfxfxxfxxxx 垂直于垂直于x轴的渐近线轴的渐近线CH45函数的极值例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx-4-2246-1-0.75-0.5-0.250.250.50.7513 3CH45函数的极值解解11.lim1,xxe 练练 习习 10lim,xxe 11xyye是是的水平渐近线的水平渐近线10 xxye是是的的铅直渐近线铅直渐近线CH45函数的极值-10-7.5-5-2.52.557.510-10-7.

26、5-5-2.52.557.510CH45函数的极值112.lim,1xx 111xxy 是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线。11lim0, lim011xxxx 011xyy 是是曲曲线线的的水水平平渐渐近近线线。CH45函数的极值-4-224-4-224CH45函数的极值有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若若,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或3.3.斜渐近线斜渐近线.)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲

27、曲线线那那么么xfybaxyCH45函数的极值注意注意: :;)(lim)(不存在不存在如果如果xxfx1,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在kxxfkxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1 1.)()(的的渐渐近近线线求求1322xxxxf解解)., 1()1 ,(: DCH45函数的极值 )(lim1xfx, )(lim1xfx, .是是曲曲线线的的铅铅直直渐渐近近线线1 xxxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx, 4

28、.是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线42 xyCH45函数的极值的的两两条条渐渐近近线线如如图图1322xxxxf)()(CH45函数的极值二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. .第一步第一步第二步第二步CH45函数的极值第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势变化趋势; ;第五步第五步在在画画图图时时经经常常要要补补充充一一些些点点。我我们们通通常常补补充充以以下下点点：与与坐坐标标轴轴的的交交点点、区区间间端端点点处处的的点点。注意注意: :CH45函数的极值例例1

29、 1.)(的图形的图形作函数作函数123xxxxf解解: (,),D 无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性. .),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf,)(0 xf令令.,131xx得驻点得驻点,)(0 xf令令.31x得特殊点得特殊点列表列表确定函数升降区间确定函数升降区间, , 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点: :三、作图举例三、作图举例x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A0 1( , )C3 52 8D D (, )11 3131 0:补补充充点点1 01 0(, ),( , )AB 0 1( , ),C3 52 8(, ).D 凸凸凹凹凹凹凸凸 1 0B B ( , ),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf CH45函数的极值-2-1123-2-11234123 xxxyCH45函数的极值例例2.2. 描绘函数描绘函数21y22ex的图形的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于图形对称于 y 轴轴.（偶函数）（偶函数）2)