D34几何应用课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件第四节第四节利用元素法解决利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用定积分的应用 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件第四节定积分的元素法元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件引例引例曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 ,

2、 求其面积 A .?A)(xfy yOxab一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 分割分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PP

3、T课件3) 求和求和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyOi目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义1) 所求量所求量 是区间是区间a , b上的非均匀连续分布的量上的非均匀连续分布的量2) 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 ,即分布在即分布在a , b 上的总量等于分布在各个子区间上的局部量上的总量等于分布在各个子区间上的局部量之和。之和。目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件

4、二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式d( ) dQf xx第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Q xxfbad)(这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )近似值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件二、已知平行截面面积函数的二、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第四节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何

5、应用PPT课件ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd)

6、1 , 1 (1目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件Oxy224 xyxy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有42Ayyyd目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件ab例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)s

7、in(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件2. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件对应 从 0 变例例4. 计算阿基米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xO目录 上页 下页 返回 结束 D34

8、几何应用PPT课件心形线 xa2Ottadcos82042例例5. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212223a目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件2coscos21)2cos1 (21aa2xyO例例6. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,)0()cos1 (aar所求面积ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应

9、用PPT课件二二、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件Oxy)(yx特别 , 当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x目录 上页 下页 返回 结束 D34几何

10、应用PPT课件例例7.求两个半径为R的圆柱体中心轴垂直相交，求它们公共部分的体积V.解解:由对称性，我们只画出该图形的1/8并建立坐标系如图，222A( )=y()xRx图中正方形截面面积：体积微元：22dV=A( )d =()dxxRxx RR2231002V =A( )d =()d3xxRxxR 3116V=8V =3R公共部分的体积目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例8.一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：（1）x轴 （2）直线y=1 (3) y轴解解： （1）分割区间a,2a,任取子

11、区间x, x+dx.过点x, x+dx分别作垂直于x轴的平面，则该立体被这两个平面截出一个“薄片”，其上下底面近似相等，所以可以近似地看成一个圆柱体。其底面积为22A( )= y()axx 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例8.一个平面图形由双曲线xy=a(a0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积：（1）x轴 （2）直线y=1 (3) y轴高为dx，于是体积微元21dV =A( )d =() daxxxx 所求旋转体体积为222211VdV =A( )d =() d2aaaaaaaaxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 D

12、34几何应用PPT课件（2）过x, x+dx且垂直于x轴的两平面截出该立体的一个“薄片”，其上下底面均为圆环，面积看做近似相等，所以该“薄片”体积的近似值，即所求的体积微元为22222dV =A( )d =1 - (1) d(2)daaaxxxxxxx积分即得旋转体的体积为222221V =A( )d =(2)d(2ln2)2aaaaaaxxxaxx 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件（3）分割区间a,2a,任取子区间x, x+dx.把该子区间对应的小曲边梯形近似地看成是小矩形。因而它绕y轴转一周产生的立体可以看成是一个内半径为x，外半径为 x+dx，高为y=a/x的“圆柱

13、壳。从而所求的体积微元为3dV =2d =2dxy xa x 积分即得所求立体的体积为223V =2d =2aaa xa 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件a2xyO例例9. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202目录

14、 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(202122)sin(ttattadsin02023dsin)sin(tttta336a注意上下限 !xyOa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2)(2yxx )(1yxx D34几何应用PPT课件注注分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24

15、uudsin820222184226目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例10. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .ORxyx目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件ORx),(yxyR思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提

16、示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称OAByx目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件sdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxd

17、xyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件)ch(cxc

18、cxccsh1例例11. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(sh xxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例13. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2

19、sin2202cos22ta02a8xyOa2目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件d222aa例例14. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aaxa2Oar 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上

20、大下小21d)()(tttttAd)(212A目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :yxxA2)(绕 y 轴 :)(xyy 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件第四节定积分在物理学上的应用 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其

21、上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件例例1.一个单求电场力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件面积为 A 的平板二、

22、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hgph当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件小窄条上各点的压强xgp332Rg例例2. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 目录 上页 下页 返回 结束 D34几何应用PPT课件三、三、 引力问题引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向