Euler方法课件

1、1第二节第二节 EulerEuler方法方法2 2009, Henan Polytechnic University25.2.1.5.2.1.Euler方法方法设节点为设节点为xk=x0+kh ( (h=(b-a)/n k=0,1,n) ) 方法一方法一 泰勒展开法泰勒展开法 （将（将y(xk+1)在在xk泰勒展开得泰勒展开得）2111)(2)()()()(kkkkkkkxxyxxxyxyxy 2)()(,()(2 yhxyxhfxykkk nkxyxhfxyxykkkk.2 , 1 , 0)(,()()(1 则可得：则可得：3 2009, Henan Polytechnic Universi

2、ty3 方法二方法二 数值微分法（用向前差商近似导数）数值微分法（用向前差商近似导数）)(,()(kkkkxyxfxyx 处处有有在在点点利利用用数数值值微微分分公公式式hxyxyxykkk)()()(1 )(,()()(1kkkkxyxhfxyxy 得得：4 2009, Henan Polytechnic University4方法三方法三 数值积分法数值积分法 dxxyxfxyxykkxxkk 1)(,()()(1在积分可得：在积分可得：两端同时两端同时由由,),(,()(1 kkxxxyxfxy)(,()(,()(1kkkkkkxyxhfxyxfxx )(,()()(1kkkkxyxhf

3、xyxy 即即：5 2009, Henan Polytechnic University5，则则可可得得：近近似似结结果果为为代代入入上上式式右右端端，记记所所得得的的近近似似值值用用1)( kkkyyxy1.2 , 1 , 0),(1 nkyxhfyykkkk欧欧拉拉格格式式。此此即即为为欧欧拉拉公公式式，又又称称依上述公式逐次计算可得：依上述公式逐次计算可得：nyyy,21也称也称Euler为单步法，为单步法，又称为又称为显格式的单步法显格式的单步法。)(,()()(1kkkkxyxhfxyxy 6 2009, Henan Polytechnic University6 2 2 欧拉法的几

4、何意义：欧拉法的几何意义：)(),()(,(000000 xxkyyyxxyx 作切线作切线过过210 xxx),()(,()(00000yxfxyxfxyk 斜率斜率求交点，求交点，与与10000)(,(xxxxyxfyy ，纵纵坐坐标标记记为为1y),(0001yxhfyy 则则为斜率作直线，为斜率作直线，以以过过),(),(1111yxfyx)(,(1111xxyxfyy ，求求交交点点，纵纵坐坐标标记记为为与与22yxx ),(1112yxhfyy 则则.),(11yx),(22yx也称也称欧拉折线法欧拉折线法. .从上述几何意义上得知，由从上述几何意义上得知，由EulerEuler法

5、所得的折线法所得的折线明显偏离了积分曲线，可见此方法明显偏离了积分曲线，可见此方法非常粗糙。非常粗糙。7 2009, Henan Polytechnic University73.3.欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：定义定义在假设在假设 yi = y(xi)，即第，即第 i 步计算是精确的前步计算是精确的前提下，考虑的截断误差提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部称为局部截断误差截断误差定义定义若某算法的局部截断误差为若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该，则称该算法有算法有p 阶精度。阶精度。8 2009, Henan Polytechnic

6、University8 欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：11)( iiiyxyR)()(232hOxyhi 欧拉法具有欧拉法具有 1 1 阶精度。阶精度。),()()(2)()(32iiiiiiyxhfyhOxyhxyhxy 9 2009, Henan Polytechnic University95.2.2 后退的后退的 欧拉公式欧拉公式（隐式欧拉公式）（隐式欧拉公式）向后差商近似导数向后差商近似导数hxyxyxykkk)()()(11 1.2 , 1 , 0 nk)(,()()(111 kkkkxyxhfxyxy),(111 kkkkyxhfyy由于未知数由于未知数 yn+1

7、同时出现在等式的两边，故称为同时出现在等式的两边，故称为隐隐式式 欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式 欧拉公式。隐式公欧拉公式。隐式公式不能直接求解，一般需要用式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到显式公式得到初值，然后用初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。10 2009, Henan Polytechnic University1001(1)( )111(,)(,)nnnnkknnnnyyh f xyyyh f xy(1)()1111111()(0 )1111

8、(1)11111()1(,)(,) 1, ()(,)kknnnnnnkknnnnknnnnnnknyyh fxyfxyhL yyhLyyhLyykyyh fxyy 在 迭 代 公 式 中 取 极 限 ， 有因 此的 极 限 就 是 隐 式 方 程 的 解11 2009, Henan Polytechnic University11几何意义几何意义：向后差商近似导数向后差商近似导数hxyxyxy)()()(011 x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy 12 2009, Henan Polytechnic University12 见上图，见上图， 显然，这种近似也有一定误差，显然，这种

9、近似也有一定误差，如何估计这种误差如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？方法同上，基于方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。展开估计局部截断误差。但是注意，隐式公式中右边含有但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) ,由于由于yn +1不准确，所以不能直接用不准确，所以不能直接用y (xn+1)代替代替f(xn+1 , yn +1 ) 设已知曲线上一点设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该过该点作弦线，斜率为点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的点的方向场方向场f(x,y)方向方向,若步长若步长h充分小，充分小，可用弦线和垂线可用弦

10、线和垂线x=xn+1的交点近似的交点近似曲线与垂线的交点。曲线与垂线的交点。几何意义几何意义xnxn+1PnPn+1xyy(x)13 2009, Henan Polytechnic University13隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：11111111121111111321, ,2 , 2nnnnynnnnnnnnnnnnynnnnnnnnf xyf xy xfxyy xyy xhf xy xyxyxhyxyxyhfxyy xy xhhyxh yxyxy xy x由微分中值定理，得在，之间；又而 2326nnnnhhhyxyxyx14 2009, Henan Polyt

11、echnic University14111111232311(), 231,23nnnynnnnnynnnnRy xyhfxy xyhhyxyxhhhfxRyxyx 从而即2211121,1,(1)1ynynynhfxhfxhfxxxx 111 Eulers Method15 2009, Henan Polytechnic University15 2322111231221 1,23 3,226 ( )2nynynnnnynnnnnhhRhfxhfxy xyxhhy xfxy xy xhRy xo h隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：111()nnnRy xy232()(

12、)hny xO h即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。阶精度。1 Eulers Method16 2009, Henan Polytechnic University161(,) 0, 1,.nnnnyyh f xyn比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差231112()()()hnnnnRy xyy xO h显式公式111(,)nnnnyyh f xy隐式公式231112()()()hnnnnRy xyy xO h17 2009, Henan Polytechnic University17 若将这两种方法进行算术平均，若将这两种方

13、法进行算术平均，即可消除误差即可消除误差的主要部分而获得更高的精度的主要部分而获得更高的精度,称为梯形法称为梯形法5.2.3 梯形公式梯形公式),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy1.2 , 1 , 0 nk18 2009, Henan Polytechnic University18在积分可得：在积分可得：两端同时两端同时由由,),(,()(1 kkxxxyxfxydxxyxfxyxykkxxkk 1)(,()()(1)(,()(,(2)(111 kkkkkkxyxfxyxfxx 在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的积分用梯形积分公式

14、可得：积分用梯形积分公式可得：),(),(211 kkkkyxfyxfh),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy1.2 , 1 , 0 nk19 2009, Henan Polytechnic University19梯形法的迭代计算和收敛性梯形法的迭代计算和收敛性01(1)( )111(,)(,)(,)2nnnnkknnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy注：注：的确有局部截断误差的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到迭代公式，计算时不

15、得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。3111()()nnnRy xyO h20 2009, Henan Polytechnic University20(1)()1111111()(0 )1111(1)11111()1(,)(,)2222 1, ()2(,)(,)2kknnnnnnkknnnnknnnnnnnnknhyyfxyfxyhhLL yyyyhLhyykLhyyfxyfxyy 当 时 ，在 迭 代 公 式 中 取 极 限 ， 有因 此的 极 限 就 是 隐 式 方 程 的 解21 2009, Henan Polytechnic Universit

16、y215.2.4 改进的欧拉格式改进的欧拉格式 欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得到改进的欧拉格式。到改进的欧拉格式。值。即：值。即：进行精确化，称为校正进行精确化，称为校正预估值；再用梯形方法预估值；再用梯形方法称为称为的一个粗糙的近似值，的一个粗糙的近似值，先用欧拉方法求出先用欧拉方法求出1 ky ),(),(21111kkkkkkkkkkyxfyxfhyy),yhf(xyy22 2009, Henan Polytechnic University2

17、2),(),(211),yhf(xyxfyxfhyykkkkkkkk 嵌嵌套套形形式式： )(2111cpkpkkckkkpyyy),yhf(xyy),yhf(xyy平均化形式：平均化形式： 上述方法也可以表示为下述两种形式：上述方法也可以表示为下述两种形式：23 2009, Henan Polytechnic University235.2.5 欧拉两步公式欧拉两步公式中心差商近似导数中心差商近似导数hxyxyxy2)()()(021 x0 x2x1)(,(2)()(1102xyxfhxyxy 1,., 1),(211 niyxfhyyiiii假设假设 ，则可以导出，则可以导出即中点公式也具

18、有即中点公式也具有 2 阶精度，且是显式的。阶精度，且是显式的。)(),(11iiiixyyxyy )()(311hOyxyRiii 需要需要2 2个初值个初值 y0和和 y1来启动递推过程，这样的算法称来启动递推过程，这样的算法称为为双步法双步法24 2009, Henan Polytechnic University24预测预测-校正系统校正系统中点法具有二阶精度，且是显式的，与梯形公式精度相匹配，用中点法具有二阶精度，且是显式的，与梯形公式精度相匹配，用中点公式作预测，梯形公式作校正，得到如下预测校正系统：中点公式作预测，梯形公式作校正，得到如下预测校正系统：111112(,)(,)(,

19、)2nnnnnnnnnnyyh f xyhyyf xyf xy预测：校正： 3(3)1113(3)111312nnnnnnnnnnhyyy xyyxhyyy xyyx 预测误差(设, 准确): 校正误差(设,准确): 111114nnnny xyy xy 校正误差约为预测误校正误差约为预测误差的差的1/425 2009, Henan Polytechnic University2511111111111454515nnnnnnnnnnny xyyy xyyyy xyyy 预测误差和校正误差预测误差和校正误差的事后误差估计式的事后误差估计式利用上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差，可以利用

20、上两式可以估计预测值和校正值与准确值的误差，可以期望，利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿，有可期望，利用这两个误差分别作预测值和校正值的补偿，有可能提高精度。能提高精度。 设设pn,cn分别为第分别为第n步的预测值和校正值，即步的预测值和校正值，即,nnnnpy cy1111111145 15nnnnnnnnmppcycpc改进：此时此时cn+1未知，未知，故用故用pn -cn代替代替26 2009, Henan Polytechnic University26预测预测-校正校正-改进公式改进公式1111111111111111245,215,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnp

21、yhymppcmf xmhcyymycpcyf xy预测：改进：计算：校正：改进：计算：注：利用该算法计算注：利用该算法计算yn+1时，需要时，需要11111110nnnnnyypcyypcypc,和，因此启动算法之前必须给出开始值 和，可用其它单步法计算，一般取为 。27 2009, Henan Polytechnic University27例：试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求例：试分别用欧拉格式和改进的欧拉格式求解下列初值问题：解下列初值问题：),(1kkkkyxhfyy )2(1 . 0kkkkyxyy 1 . 0 1 , 01)0(2 hxyyxyy解：欧拉格式的具体算式为：解：欧

22、拉格式的具体算式为：kkkyxy2 . 01 . 1 10 y28 2009, Henan Polytechnic University28kkkyxy2 . 01 . 1 ),(),(2),(1111kkkkkkkkkkyxfyxfhyyyxhfyy),(),(2111 kkkkkkyxfyxfhyy 改进的欧拉格式为：改进的欧拉格式为：2221 . 0111 kkkkkkkyxyyxyy),(1kkkkyxhfyy 29 2009, Henan Polytechnic University292221 . 0111 kkkkkkkyxyyxyy)2 . 01 . 122 . 01 . 12(21 . 01kkkkkkkkkkkyxyxyxyyxyy )2