如何引导学生进行数学策略性知识的学习

1、数学策略性知识的学习数学组朱长芬摘要：数学策略性知识是在数学学习或问题解决过程中，蕴涵在“事实知识” 背示的内在方法，是学生对自己的信息表征、组织、贮存、提取方式及对思维 过程木身的调节和监控。木文结合三角函数与平而向量的教学，提出了从强调 对所估计的问题解决方向的检验、通过口我评价调整问题解决策略、强调学生 形成有价值的思考、培养学生对问题的条件、结论等推广、引屮的能力四方而 来对学纶进行数学策略性知识的学习指导。关键词：数学、策略性知识、学习指导数学策略性知识是在数学学习或问题解决过程中，蕴涵在“事实知识”背 后的内在方法，是学生对口己的信息表征、组织、贮存、提取方式及对思维过 程木身的调

2、节和监控。比如，对自己的思考过程（从一个数学活动的开始到结束 的每一步心理活动）进行的反思；对数学活动所涉及的知识、思想方法、有联系 的问题进行自我监控；对题意的理解过程、解题思路、推理的过程、运算的过 程、语言的表述进行自我监控等等，都是有关的策略性知识。在教学实践中发现，学生策略性意识不强，也不注重这方而的学习。本人 结合三角函数与平而向量的教学，探讨如何引导学生进行数学策略性知识的学 习。1、强调对所估计的问题解决方向的检验估计和检验是一种很有效的问题解决策略。一些教师较少鼓励学生进行这 种猜测、估计与检验的活动。学生进行数学问题解答的检验，只是将得到的答 案代入要求计算的表达式屮，看计

3、算得对不对，只求形式的结果，省略了猜测、 检验、和修正的过程，也就是说只能检査答案，却不能修正答案。所以，教学 屮，应强调学生在数学问题解决时，先依据已知条件在一定的范围内进行人致 估计，以明确某个方向（解决策略、解决的i迸景等），然后进行检验（对错都要评 价，找出理由），再针对上述信息，进行修止、调节（考虑调节的方法、决定修 正什么、思考怎样修正、决定如何修正等）。w'j：在芒平而向雪測空些有这样一个问题：“在四边形abcd中，ab a , bc b ,cd c ,da d , ha-b = h'c = c-d = d - a 判断四 边形abcd的形状？个学牛在交试卷时，很

4、急切地要与老师讨论。学牛：老师，这道题（指着试卷说）我想了很久，是不是菱形啊？（不是很肯 定的语气）老师觉得冇点诧异，以这个学生的数学学习情况看，这个问题对于他不是 个难题，但为什么他处理起來有疑惑呢？而且并没有得出准确答案。所以，在 收完试卷后，老师特地拿出该生的试卷，并找来这个学生。老师：你能告诉我，你对这个题h是怎么想的吗？学生：我当时看了一下已知条件，估计四边形abcd是个菱形，然后就往 这个方向努力。老师：你最初估计z后，没冇检验一下是否合理吗？学牛：没有这个习惯，有估计就可以往下做了。老师：那你现在看看解答过程，发现有问题吗？学生仔细看了试卷，想了想，自言自语'怎么好像这个

5、条件a-c = b-d冇 点问题？我怎么想出来的呢？”原来，学生考试吋没有发现，对于口己的估计，并没有足够的条件可以加 以论证，但由于他没冇对自己的估计进行检验，中间分析时就多加了一些条件 （比如，a-c = b-d）进去，以便完成对估计的论证。学生：如果我一开始就检验一下就好了。菱形并不满足己知的一些条件， 按已知条件是证不出来的。看来我要想着对自己的最初估计进行检验，分析一 下猜测是否合理，所用的条件是否为己知的等等，应该可以不断修正的老师：你对口己的问题分析得很好，这为你多提供了一个问题解决的策略。儿个星期后，冇一天，这个学生兴冲冲地来找我。“老师，我发现这个佔 计加检验很冇用啊，这次考

6、试的那儿道选择题，我一下了就猜出来了，很多同 学算了很久还是错了”，“还有上次那道题，我想出了另一种方法，老师你来 帮忙验证是否正确”。以下是这个学生提供的很妙的解决过程。（令a-b = b-c = c-d = d -a = k ,由向量数量积的定义，当k>0时,四边形的四个外角都是锐角，则外角和小于360°,这不可能；当k<0时,四边形的四个外介都是钝角，则外角和大于360°,这也不可能；所以，只冇当k=0,则四边形的四个内角都是90°,因此，四边形是矩形。）2、通过自我评价调整问题解决策略学生通过“做”数学来学数学，通过动手操作，学生积极参与课堂教

7、学活 动，这是值得提倡的学习方法。根据这一理念，本人在三角函数的教学小，给 出具体数学情境,先让学生动手去“做”数学,使学生产生认知的冲突,然后引导学生反思、评价解决问题的方法，帮助他们找到调整策略的途径，学习必 要的数学策略性知识。案例：在学完两角和与差的正弦、余弦公式后，木人给出了一道关于两角 和差公式应用的问题，先让学牛动手做，然后让他们评价b己的方案。 题目：已知cosa =丄,cos(a + 0)=-耳，且a,/? e (0,),求cos0的值?714*2经过i段时间的思考，学牛做出了回答。学生1 ： cos a = ,a e(0,)/. sin a =出3由余弦的和角公式727co

8、s(& + 0) = cos a cos 0 sin a sin 0 = cos 0 一43tsin 0 = _1114sin 2 0 + cos? 0 = 1丄cos0 一婕77sin 0 = _1114但是解这个方程组的计算太复杂了，既冇根号乂冇平方，是不是我的方法不对?学牛2：我也是这么做的，我觉得白己的想法没有错，但计算太繁琐了，是不 是有别的方法，避免复杂计算呢？儿乎所冇的学生都是采用这种方案，然后在解方程组时停下来了，) 老师：这种想法是对的，但是发现计算过程复杂，这时就要调整原有的方法， 从而使问题简化。对三角函数，一般要考虑角和函数名的变化，大家先观察耍 求的角和已知角

9、z间冇什么联系?大家看，已知角是，要求的是 学生3：已知a,a + 0,要求0哦，0 = (a + 0) - a老师：很好,发现了角之间的变换关系,我们可以把q + 0看作一个整体、一 个已知的角，求cos0就可以转化为求cos(cr + 0) - a),运用和角公式进行运算即可。(学生运用已调整的方法做题，很快展开 cos(a + 0) - a) = cos(cr + 0) cos a +sin(6z + /?)sin a很快就计算岀cos 0的值为1/2。)在这个问题解决过程中，学生开始时受到以往数学思维习惯的影响，陷入 了 “复杂计算”的困境，这吋需要调整策略，通过反思和口我评价，换个角

10、度 思考，从中发现“线索”，问题就迎刃而解了。3、强调学生形成有价值的思考在数学学习的不同阶段，对待同样类型的知识要有不同的要求。学牛应从 发展自己数学思维的角度出发，多与同学合作、交流，从相互的提问、质疑中 逐渐形成有价值的思考(比如，能充分利用己知条件，能有助于导出所需要的结 果，能为寻找解题策略提供借鉴经验，能促进深入思考问题，有助于方法的优 化等)。案例：在三角函数复习课上，有以下问题：q知tt571sin(x)=，x e (0,),求 cos 2x 的值？4134从解答情况看，学生有以下儿种想法(根据课堂上学生的练习情况，通过提 问的方式了解学生的思维)rr学生1：运用差角公式展开s

11、in(-x),联立sin'x + cos'xi,想解方程组 求sin x, cos x但是过程繁琐，做不下去。5学生2：我得到sin(-x) = cosx = ,哦，不对，公式记错了。413jt学生3：我也展开了sin(-%),还求出了-2sin兀cosx的值，接下来就不会做了听了几个学生的想法后，教师先对三角函数进行归纳复习(三角函数中常见 的题型：化简、证明、求值。由于三角公式很多，做这类题抓三件事：先看处, 寻找角z间的联系；再分析函数，看是否为同名函数，化为弦还是切就看怎么 用方便，经常是想办法化为正、余弦；然后观察整体结构，看选择什么公式最 恰当)。儿分钟后，教师鼓励

12、学生z间对这三种想法进行讨论，以下是来自其中 四个学生的讨论:tt学生1：我展开sin(-对，计算很复杂啊，怎么往下做？你是怎么做的？tt学生2：我本来也和你想的一样，但觉得一-x,与2兀有关系，可以变一变，4让我再想想？tt7t学牛3：是啊，我觉得三角函数就是变角有意思，变2x = (- + x)-( -x)行44吗？tt学牛2：不行，增加了新角一+兀，求不出它的三角函数值，还有其他变法吗？ 4(这时教师刚好在旁边听他们的讨论，学生们借此询问老师的意见。) 老师：你们的方向正确，想着变角，但变角是为了优化解决过程，应该考虑改 变正、负号或函数名，而不是增加变化量，你们再讨论-下。学生4：是啊

13、，还要考虑角度的限制范围，你们说该怎么变啊？7tjt学生3：我想到了，2% = -2（-q + ,没有增加新角，行吗？42老师；变得好！对三角问题，不要一见到公式就展开，应该学着变角、变函数 名，采取有发展前途的策略。教师重视通过问题情境，鼓励学生z间的交流，引导学生z间的提问、检 查，经历思、维修止、发展的过程。促使学生养成这样的习惯:在平时的数学学习 中，认真对待基本的知识，对认为简单的问题从优化解决策略上考虑，要有发 展自己的能力的意识，积累经验，这样在以后应付变化的问题情境时才能游刃 有余。4、培养学生对问题的条件、结论等推广、引申的能力数学学习中，通过回顾和反思，尽可能地把问题一般化

14、，弓i出推论，以多 样的方式逼近问题，使其应用范围扩人。通过对解题过程和结果的反思，从小 感悟解决数学问题的策略。下面通过平面向量教学中的几个细节说明如何从细 微处着手，培养学生对数学问题的引申、推广能力。案例：一次课上，学生正在思考两个问题：是否每一非零向量都可分解为 两个不共线的向量？平面上两个不共线向量是否能表示出平面上所有向量？学生根据向量的加法画图，找出两个实数入j?，把平而内的任一向量： 表示为：二人石+人石的形式，总结出平面向量基本定理。突然，一个学生说:“这跟物理上力的分解很相似，它们有什么关系啊?”老师：问得好！物理上力的合成、分解问题，用数学的角度來分析，就是 平而上任何一

15、个向量可衣示为两个不平行向量的线性组合。数学上很多知识都 有其物理背景。学生：可是，我们学的是力的正交分解，像直角坐标系，向量z间的夹角 也是直角吗?好像定理中没冇说明。老师：大家看看刚才画的向量图，角度可以怎样变化？学生：我画的是平行四边形，同桌価的夹角就和我的不一样。对了，夹介 可以是任意的，垂直是特殊情况。老师：很好!夹角有任意性，这为以后直角坐标系的推广做了铺垫。学生：推广？还冇什么样的坐标系啊？空间吗？老师：人家讨论一下，从一维（直线）到二维（平面）再到三维（空间），向量的 表示有何变化?一竺k在积极地譬，空地进行交流。仝昨黑板竺下，例题，如图, 刀，亦不共线，乔=/期moa,ob衣

16、示亦。然后，a请学生发表他们讨论的结果。学生1：我们认为，既然平面上用两个向量, 那么，空间中应该要用三个向量来表示所有的 向量吧（不是很肯定的语气）。学生2：是啊，我原以为也用两个，画图 试了试，好像不行。那么二维用两个，三维就用三个，还有，一维该用一个。老师：说的好！大家对定理的推广冇些理解了。对于直线上的任意向屋可 以只用一个向量表示，三维空间需要三个两两不共线的向量來表示。这将为人 家后续学习空间向量时，经丿力平面向量基本定理向空间向量基本定理的推广打 下基础。老师：回头看看二维平面，思考这个例题，除了问题木身，大家试着改变 题口条件，例如a, b, p三点的关系，各个向量z间的关系等等，或者推广你 得到的结论，看看问题冇何进一步的变化？一段时间过后，一些学生完成例题的解答（方=（1-0习+亦）一些学住还试图对题目进行一些变化，也有儿个学生在讨论改变哪个条件才最容易 得到的结论。临近下课，让学牛课后与老师讨论所得的结果。以下是学牛得到 的一个很有用结论。一 一（如果ap = apb u-l）则乔+,原题中的几是ap与1 + aab z间的比