高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理

1、专题 03 直击函数压轴题中零点问题一、解答题1已知函数2ln10fxxa xa. （1）讨论fx的单调性；（2）若fx在区间0,1内有唯一的零点0 x，证明：3120exe. 【答案】 (1) 答案见解析； (2) 证明见解析 . 【解析】试题分析： （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知10f，若fx在区间0,1内有唯一的零点0 x，由（ 1）可知2a，且0110,2xx，于是：20010lnxa x，2002210axax由得0001ln02xxx，设g(x) lnx-12xx，(x(0 ，1) ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可（2）依题

2、可知10f，若fx在区间0,1内有唯一的零点0 x，由（ 1）可知2a，且0110,2xx. 于是：20010lnxa x2002210axax由得0001ln02xxx，设1ln,0,12xg xxxx，则2212xgxx，因此g x在10,2上单调递减，又3322402eg e，11302eg e根据零点存在定理，故3120exe. 点睛：本题考查了函数的单调性, 零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2设函数f(x) x2bx 1(br) (1) 当b1 时证明：函数f(x) 在区间1,12内存在唯一零点；(2) 若当

3、x1,2 ，不等式f(x)1 有解求实数b的取值范围【答案】（1）见解析；（2）,1【解析】试题分析： （1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间1,12单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题：2bxx，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b的取值范围(2) 由题意可知x2bx11 在区间 1,2上有解，所以b x在区间 1,2上有解令g(x) x，可得g(x) 在区间 1,2上递减，所以bg(x)maxg(1) 2 11 ，从而实数b的取值范围为 ( ， 1)点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间a，b

4、 上是连续不断的曲线，且f(a) f(b)0，还必须结合函数的图象与性质( 如单调性、奇偶性) 才能确定函数有多少个零点3已知函数210fxaxmxma. （1）若10f，判断函数fx的零点个数；（2）若对任意实数m，函数fx恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知12,x xrr且12xx，12fxfx，求证：方程1212fxfxfx在区间12,x x上有实数根 . 【答案】见解析;01a; 见解析 . 【解析】试题分析： （1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利 用 判 别 式 处 理 即 可 ；（ 3 ） 方 程1212fxfxfx在

5、区 间12,x x上 有 实 数 根 ， 即1212g xfxfxfx有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析：10,10,1famma21fxxmxm22412mmm, 当2m时，0，函数fx有一个零点；当2m时，0，函数fx有两个零点设1212g xfxfxfx，则1112121122g xfxfxfxfxfx2212211122g xfxfxfxfxfx12fxfx21212104g xg xfxfx, 0g x在区间12,x x上有实数根，即方程1212fxfxfx在区间12,x x上有实数根 . 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1) 直接法：直接根据题设条件构

6、建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解4已知函数2lnfxaxbx图象上一点2,2pf处的切线方程为32ln22yx. (1) 求,a b的值 ; (2) 若方程0fxm在1,ee内有两个不等实根,求m的取值范围 ( 其中e2.71828为自然对数的底). 【答案】 (1)a=2,b=1.(2) 2112em. 【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用(1) 根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解(2)先利用

7、导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解(2) 由（ 1）得f(x)=2lnxx2，令h(x)=f(x)+m=2lnxx2+m，则22 122xhxxxx，令h(x)=0，得x=1(x=1 舍去 ) 故当x11e，时，h(x)0，h(x) 单调递增；当x (1 ，e 时，h(x) 0，h(x) 单调递减方程h(x)=0 在1ee，内有两个不等实根，221120ee11020hmhmh eem，解得2112em实数m的取值范围为211,2e. 点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数

8、后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5已知函数1xfxeax，其中e为自然对数的底数，ar（i）若ae，函数2g xe x求函数h xfxg x的单调区间若函数,fxxmf xg xxm的值域为r, 求实数m的取值范围（ii）若存在实数12,0,2x x, 使得12fxfx，且121xx，求证：21eaee【答案】（1）详见解析实数m的取值范围是10,2e； （2）21eaee；试题解析：（1）当ae时，1xfxeex. 21

9、, 2xxh xfxg xexhxe. 由0hx得ln2x，由0h x得ln2x. 所以函数h x的单调增区间为ln2,，单调减区间为,ln2. xfxee当1x时，0fx，所以fx在区间,1上单调递减；当1x时，0fx，所以fx在区间1,上单调递增 . 2g xe x在,m上单调递减，值域为, 2e m, 因为f x的值域为r，所以12)meeme m，即210mem. *（）（2）xfxea. 若0a时，0fx，此时fx在r上单调递增 . 由12fxfx可得12xx，与121xx相矛盾，同样不能有12,ln ,x xa. 不妨设1202xx，则有120ln2xax. 因为fx在1,lnxa

10、上单调递减，在2ln ,a x上单调递增，且12fxfx，所以当12xxx时，12fxfxfx. 由1202xx，且121xx，可得121,x x故121ffxfx. 又fx在,ln a单调递减，且10lnxa，所以10fxf，所以10ff，同理12ff. 即210,122eaeaea，解得211eaee，所以21eaee. 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数

11、导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 6已知函数1xxfxaxe. （1）当1a时，求yfx在1,1x上的值域；（2）试求fx的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）2,1e（2）当0a时，fx只有一个零点；当0a时，fx有两个零点（2）原方程等价于10 xeax实根的个数， 原命题也等价于1xh xeax在,0)(0,x上的零点个数，讨论0a，0a，0a，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果. 试题解析：（ 1）当1a时，1xxfxaxe，则11xxfxg xe

12、，而20 xxgxe在1,1上恒成立，所以g xfx在1,1上递减，max1210fxfe，min110fxf，所以fx在1,1上存在唯一的00 x，使得00f，而且当1,0 x时，0fx，fx递增；当0,1x时0fx，fx递减；所以，当0 x时，fx取极大值，也是最大值，即max01fxf，minmin1 ,112fxfffe，所以，fx在1,1上的值域为2,1e. （i）若0a，则当,0 x时，10 xh xex恒成立，则没有零点；当0,x时，110he，1202he，又h x在0,上单调递增的，所以有唯一的零点。（ii）若0a，则当,0 x时，10 xh xeax恒成立，则没有零点；当0

13、,x时，110ahea，112212202aheea，又h x在0,上单调递增的，所以有唯一的零点（iii）若0a，则当,0 x时，由xex xr，则110,(0)xeaxaxxx，则210,xax取20402aax， 则00h x， 又10ahaeaa， 所 以h x在,0有唯一的零点，当0,x时，11111110111ahaeaaaaaa，12122202aheaaaaaaa，又h x在0,上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当0a时，fx只有一个零点；当0a时，fx有两个零点7已知函数1lnfxaxx（1）若不等式0fx恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时， 设

14、函数122g xxfxk x. 若函数g x在区间182，上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：2212ln 234nnnn（*nn且2n）. 【答案】 (1) 1,；(2) 9ln21105，；(3) 证明见解析 . (2) 由(1) 可知，1a，当1a时，1lnfxxx，ln22g xx xxk x2ln22xx xk x，g x在区间1,82上恰有两个零点，即关于x的方程2ln220 xxxk x在区间1,82上恰有两个实数根. 整理方程得，2ln22xxxkx，令2l n21,822xx xs xxx，2232ln42xxxsxx， 令232ln4xxxx，1,82x，

15、则212xxxx，1,82x，于是0 x，x在1,82上单调递增 . 因为10，当1,12x时，0 x，从而0s x，s x单调递减，当1,8x时，0 x，从而0s x，s x单调递增，19ln22105s，11s，3312ln285s，因为15726ln280210ss，所以实数k的取值范围是9ln21105，. (3) 由(1) 可知，当1a时，有1 lnxx，当且仅当1x时取等号 . 令21xk，则有22111 lnkk，其中*,kn2k. 整理得：2111112ln111111kkk kkkkk，当2,3,kn时，112ln21212，112ln313 13，112ln11nnn，上面

16、1n个式子累加得：12ln 231 1nnn. *nn且2n，即2212ln 23nnnn. 命题得证 . 8已知函数ln1axfxex，其中ar. （1）设axf xefx，讨论f x的单调性；（2）若函数g xfxx在0,内存在零点，求a的范围 . 【答案】（1）见解析；（2）a的取值范围是10,2. 解析：（1）定义域11|1 ,ln1ln111axaxaxx xfxa exeeaxxx故1ln11axf xefxaxx则2211111aaxafxxxx若0a，则0,fxf x在1,上单调递减；若0a，则101fxxa. （i） 当0a时，则111xa， 因此在1,上恒有0fx， 即f

17、x在1,上单调递减；（ii）当0a时，111xa，因而在11,1a上有0fx，在11,a上有0fx；因此f x在11,1a上单调递减，在11,a单调递增 . （ii）当102a，考察函数hx，由于1 021 0, 0,2hahhxa在0,上必存在零点 . 设hx在0,的第一个零点为0 x，则当00,xx时，0hx，故h x在00,x上为减函数，又000h xh，所 以 当00,xx时 ，0gx， 从 而g x在00,x上 单 调 递 减 ， 故 在00,x上 恒 有00g xg。即00g x，注意到axe xax，因此ln1ln11ln11axg xe xxxaxxx ax，令1axe时，则有

18、0g x，由零点存在定理可知函数yg x在10,ax e上有零点，符合题意. 点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（ 1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln1xexxx等； （3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数. 9设函数lnfxx，bg xaxcx（, ,a b cr）. （1）当0c时，若函数fx与g x的图象在1x处有相同的切线，求,a b的值；（ 2）当3ba时，若对任意01,x

19、和任意0, 3a，总存在不相等的正实数12,x x，使得120g xg xfx，求c的最小值；（ 3）当1a时，设函数yfx与yg x的图象交于11,a xy2212,()b xyxx两点求证：122121x xxbx xx. 【答案】（1）1212ab（2）3（ 3）见解析【解析】试题分析： （1）由导数几何意义可得111gf，又11fg，解方程组可得,a b的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c的最小值； (3)先根据零点表示b，代入要证不等式化简得1222111ln1xxxxxx. 再构造函数1ln1ttt，以及ln1m ttt，结合导数

20、研究其单调性，即证得结论（2）当01x时，则00fx，又3ba，设0tfx，则题意可转化为方程3(0)aaxct tx在0,上有相异两实根12,x x即关于x的方程230(0)axct xat在0,上有相异两实根12,x x所以2121203430030actaactxxaax xa，得203430actaact，所以23caat对0,0,3ta恒成立因为03a，所以（当且仅当32a时取等号），又0t，所以的取值范围是,3，所以3c故c的最小值为3. （3）当1a时，因为函数fx与g x的图象交于,a b两点，所以111222blnxxcxblnxxcx，两式相减，得211221lnln1xx

21、bx xxx. 要证明122121x xxbx xx，即证211221212121lnln1xxx xxx xx xxxx，即证212211lnln11xxxxxx，即证1222111ln1xxxxxx. 令21xtx，则1t，此时即证11ln1ttt令1ln1ttt，所以221110ttttt，所以当1t时，函数t单调递增又10，所以1ln10ttt，即11lntt成立；再令ln1m ttt，所以1110tmttt，所以当1t时，函数m t单调递减，又10m，所以ln10m ttt，即ln1tt也成立综上所述，实数12,x x满足122121x xxbx xx. 点睛：利用导数证明不等式常见

22、类型及解题策略(1) 构造差函数h xfxg x. 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 10已知函数fxlnxax. （）讨论fx的单调性 ; （）当函数fx有两个不相等的零点12,x x时, 证明 : 212xxe. 【答案】 (1) 见解析 (2) 见解析试题解析：（）当0a时，fx在0,单调递增；当0a时，fx在10,a单调递减；fx在1,a单调递增；点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h

23、xfxg x. 根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数. 一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 11已知3231ln ,2xfxxee x g xxxa（1）讨论fx的单调性；（2）若存在10,x及唯一正整数2x，使得12fxg x，求a的取值范围【答案】（1）fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,;(2) a的取值范围是1,22. 【解析】试题分析：（1）求出函数fx的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性（ 2）由题意得函数fx在0,上的值

24、域为0,结合题意可将问题转化为当x0,时，满足0g x的正整数解只有1个通过讨论g x的单调性可得只需满足1020gg，由此可得所求范围（2）由（ 1）知当1x时，fx取得最小值，又10f，所以fx在0,上的值域为0,因为存在10,x及唯一正整数2x，使得12fxg x，所以满足0g x的正整数解只有1 个因为3232g xxxa，所以23331gxxxx x，所以g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以1020gg，即10220aa，解得122a所以实数a的取值范围是1,22点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数

25、图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）12设函数2ln2fxxa xax. （1）求函数fx的单调区间；（2）若存在1x、2x满足12fxfx. 求证：12203xxf（其中fx为fx的导函数）【答案】（1）见解析（ 2）见解析试题解析：（1）由题知22afxxax222xaxax21(0)xaxxx. 当0a，此时函数fx在,2a单调递增，在0,2a单调递减 . 当0a，此时函数fx在0,单调递增 . （2）因为12fxfx，由（ 1）知0a不妨设1202axx，由12f

26、xfx得，21112lnxaxax22222lnxaxa x即221122222ln2ln0 xaxa xxaxax，22112222xxxx1122lnlnaxaxaxax1122lnlna xxxx所以221122112222lnlnxxxxaxxxx. 0,1t，0m t总成立，原题得证 . 点睛：导数是研究函数的单调性、极值( 最值 ) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1) 考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2) 利

27、用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3) 利用导数求函数的最值( 极值) ，解决生活中的优化问题 (4) 考查数形结合思想的应用13已知函数22lnrfxaxxax a. （）求函数fx的单调区间；（）当0a时，若fx在1,e上有零点，求实数a的取值范围 . 【答案】（）见解析（）51 e1,2试题解析：解： （）函数fx的定义域为0,，2222axaxaaxxfxxx. 由0fx得xa或2ax. 当0a时，0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递减区间是0,，没有单调递增区间. 当0a时，,x fxfx的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,a，单调递减区间是,a.

28、 当0a时，,x fxfx的变化情况如下表：所以fx的单调递增区间是0,2a，单调递减区间是,2a. 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 14已知函数21xfxeaxb，其中e为自然对数的底数. （1）若函数fx在区间0,1上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数211xg xeaxbx，且10g，若函数g x在区间0,1上恰有 3 个零点， 求

29、实数a的取值范围【答案】 (1) 3,1,22e (2) 1,2e【解析】试题分析： （1）函数fx在区间0,1上单调递增等价于0fx在区间0,1上恒成立，可得min211xae，函数fx在区间0,1单调递减等价于0fx在区间0,1上恒成立，可得max21xaee， 综 合 两 种 情 况 可 得 结 果 ；（ 2 ）21xgxeaxbfx， 由010gg，知g x在区间0,1内恰有一个零点， 设该零点为0 x，则g x在区间00,x内不单调，所以fx在区间00,x内存在零点1x，同理，fx在区间0,1x内存在零点2x，所以只需fx在区间0,1内恰有两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，结合

30、函数单调性讨论fx的零点，从而可得结果（2）21xgxeaxbfx由010gg，知g x在区间0,1内恰有一个零点，设该零点为0 x，则g x在区间00,x内不单调，所以fx在区间00,x内存在零点1x，同理，fx在区间0,1x内存在零点2x，所以fx在区间0,1内恰有两个零点由（ 1）知，当32a时，fx在区间0,1上单调递增，故fx在区间0,1内至多有一个零点，不合题意当12ea时，fx在区间0,1上单调递减，故fx在0,1内至多有一个零点，不合题意；所以3122ea15已知函数ln1axfxex，其中ar. （1）设axf xefx，讨论f x的单调性；（2）若函数g xfxx在0,内存

31、在零点，求a的范围 . 【答案】（1）见解析；（2）a的取值范围是10,2. 【解析】试题分析： （1）求导可以得到211axafxx，分0,0,0aaa三种情况讨论导数的符号.（2）计算可以得到ln1axg xexx，其导数为1axgxe f x，我们需要讨论gx的符号，故需再构建新函数1axh xe f x，其导数为22221ln11axaxahxeaxx，结合原函数g x的形式和hx的形式， 我们发现当0a时0g x恒成立； 当102a时，hx在0,上有极小值点0 xx，结合10ag x可知g x在0,上有零点；当12a时，0hx恒成立，结合00h可知，0gx在0,上也是恒成立的，故而g

32、 x在0,上递增0g x恒成立. （i） 当0a时，则111xa， 因此在1,上恒有0fx， 即f x在1,上单调递减；（ii）当0a时，111xa，因而在11,1a上有0fx，在11,a上有0fx；因此f x在11,1a上单调递减，在11,a单调递增 . （2）设ln1,0,axg xfxxexx x, 11ln1111axaxgxfxeaxe fxx，设1axh xgxe f x，则22221ln11axaxaxahxeaf xfxeaxx. 先证明一个命题：当0 x时，ln1xx. 令ln 1s xxx，11011xsxxx，故s x在0,上是减函数，从而当0 x时，00s xs，故命题

33、成立. 若0a ,由0 x可 知 ，01axe.ln1110axaxaxg xexe xxx e， 故0g x，对任意0,x都成立，故g x在0,上无零点，因此0a. （ii）当102a，考察函数hx，由于1 021 0, 0,2hahhxa在0,上必存在零点 . 设hx在0,的第一个零点为0 x，则当00,xx时，0hx，故h x在00,x上为减函数，又000h xh，所 以 当00,xx时 ，0gx， 从 而g x在00,x上 单 调 递 减 ， 故 在00,x上 恒 有00g xg。即00g x，注意到axe xax，因此ln1ln11ln11axg xe xxxaxxx ax，令1axe时，则有0g x，由零点存在定理可知函数yg x在10,ax e上有零点，符合题意. 点睛：导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（ 1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放