平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习

1、平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念只有大小没有方向的量称为数量1 .向量：既有大小有方向的量叫做向量2 .几何表示：向量可以用有向线段表示长度：向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记做|AB| .向量也可用字母a,b,c.（印刷用黑体a,手写用a）或用表示向量的有向线段的起点和终点表示.例如，AB , CD.零向量：长度为0的向量.记做0.单位向量：长度为1的向量.平行向量：方向相同或相反的向量.记彳a / /b.规定：零向量与任一向量平行.3 .相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a=b.注意：向量相等与有向线段的起点无关 .

2、共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量 二、平面向量的线性运算 （向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算）1 .向量加法的三角形法则已知非零向量a、b ,在平面内任取一点A,作 AB = a ,BC =b,则向量AC叫做a和b的和，记做a + b ,即a + b = AB BC求两个向量和的运算，叫做 向量的加法.这种方法称为向量加法的三角形法则.2 .向量加法的平行四边形法则以同一个点。为起点的两个已知向量 a、b为邻边作II OACB,则以。为起点的对角线T TOC是a与b的和，即a+ b=OA+OB=OC.此法叫做向量加法的平行四边形法则.规定：对

3、零向量与任一向量 a, a + 0= 0+a = a3 .小结论对任意向量a、b ,有|a+b闫a |+| b| ；当 a、b 同向时，|a + b|=|a | + |b| ；当 a、b反向是，|a + b|=|a|-|b| (或 |b|-|a|)4 .向量加法 交换律：a + b = b+ a ；向量加法 结合律：（a + b）+ c = a + （b+ c）5 .与a长度相等，方向相反的向量叫做 a的相反向量.规定：零向量的相反向量是零向量6 .向量减法的几何意义：a-b可以表示为从向量 b的终点指向向量a的终点的向量.7 .向量的数乘：一般地，我们规定实数 人与向量a的积是一个向量，这种

4、运算叫做向量的数 乘，记作它的长度与方向规定如下：| 九a |=| 九 |a |；(2)当儿下0时，Aa的方向与a的方向相同；当 九0时，Ka的方向与a的方向相同.8 .数乘的运算律：'(a) = (')a ; (2)(')a - a 'a ; (3) (a b) - 1 a ：. ；，.b.9 .向量共线充要条件：向量a(a =0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数 九，使b = Ka .三、平面向量的基本定理及坐标表不1 .平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一个实数 九、息 ,使得a =3ei

5、2e2把不共线的向量 0、e2叫做这一平面内所有向量的基底.2 .向量的夹角 已知两个非零向量 a和b,作OA =a, OB =b，则/AOB = e(0Ee E1801) 叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是90 ,称a与b垂直，记作a _L b.当8=0，时，a与b同向；当日=180，时，a与b反向.3 .正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解4 .向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i、j作为基底.对于平面内的一个向量 a,由平面基本定理可知，有且只有一对实数x、y,使得a 二 x i yj这样，平面内白任一向量 a都

6、可以由x、y唯一确定，我们把有序数对 (x, y)叫做向量a的坐标，记作a =(x, y).其中x , y分别叫做a在x轴上，在y轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示5 .平面向量的坐标运算(1)若 a =(x1，yi), b =(x2,y2),则 a ±b = (x1 ± x?, yi ± y?);(2) 若 a =(x, y),八 w r ,则九a =(版,九y)；(3)若 A(x1,y)，BN*),则 aB =%。丫2 一 %).6 .平面向量共线的坐标表示设a =(为，乂)，b=(%¥) (b=0),则向量a

7、、b(b。)共线的充要条件为xy2 x2% =0.7 .设 P（xi,yj P2（X2,y2）. 若 P是 P1P2 的中点，则 P =（空，*）； （2）若常=九第，则P = （2崭，修）.前三部分总结1 .向量相等（长度和方向）.2 .加法的三角形法则（首尾相连）、四边形法则（起点相同）及其几何意义. 注意与平面几何相结合小结论：（1） G为AABC的重心（中线的交点）u GA+GB+GC = 0u Gfx23,yi*y2*y3i;33(2)G为AABC的外心u GA = GB = GC3.共线（平行）向量.(1) a(x/),b(X2,y2)(b *0)a/bu a = Xbtt 为丫2

8、-*2丫1=0;一T(2) A,B,C 三点共线= AB/AC.4.平面向量基本定理a =儿e +%e2（e1，含不共线）四、平面向量的数量积:1、向量的夹角概念:* T * T对于两个非零向量 a,b,如果以。为起点，作OA = a,OB =,那么射线OA,OB的夹角e叫做向量a与向量b的夹角，其中0M8 En .2、向量的数量积概念及其运算:（1）定义：如果两个非零向量 a,b的夹角为日，那么我们把| a| b |cose叫做向量a与向量b的数量积，记做a也即：a Lb = a b cosQ .（2）投影：b在a上的投影是个数量 b cos日，它可以为正，可以为负，也可以为 0（3）坐标计

9、算公式：若向量 a=（x1,y1）, b = （x2,y2）,则a|_b三 xX2y型4、向量的模长:a b3、向量的夹角公式：cos1 =xy1y2一 ，一，一，一，445、平面向量的平行与垂直问题：(1)若a = (x,y1) , b = (x2,y2) , a/b ,则xy2我必 =0(2)若：=(x1, y1), b = (x2, y2) , a _Lb ,则 2 = 0= x1x2 + y1y2 = 0例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用Me * d n 5 cO *R例O (1)已知a =1,b=2,向量a,b的夹角为求(a+2b1(2a b)(2)已知：=(2

10、,1),b =(3, -4),求：(a+bL(a -3b);若 ac = -1,b_C=9 ,I求c的坐标2、向量的夹角问题R例23 (1)已知向量 a、b都是非零向量，且向量 3b与向量71-5b垂直，向量fff fT Ta -4b与向量7a 2 b垂直，求向量a与b的夹角。(2)若向量a = (x,2x ), b =(-3x,2 ),且a, b的夹角为钝角，求 x的取值范围基础练习：一、选择题1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A. e1=(0,0), e2 =(1,-2) ;B. e1=(-1,2), e2 =(5,7);1 3C. e1=(3,5),e2 =

11、(6,10);D. e1二(2,-3) ,e2 =(-,)2 4T -f2 .已知向量 a、b,且AB= a+2b , BC = -5a+6b ,CD =7a-2b,则一定共线的三点是()A. A、B、DB. A、 B、 CC. B、 C 、 DD. A、 C、 D3 .如果ei、 e2是平面“内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有()？ei +国2(入4R)可以表不平面 a内的所有向量；对于平面a中的任一向量a,使a=2i+总的入科有无数多对；k,使 e+(_262=k(4ei+ 岗e2);若向量入ei+ 口&与eI+四2共线，则有且只有一个实数若实数入使居+吟=0,则=尸0

12、.A.B.C.D.仅5 .若向量 a=(1,1), b= (1,-1) ,c=(-2,4)，则 c=()A .-a+3bB. 3a-bC. a-3bD.-3a + b* 一_ , ，- -一，,一 . ， _ 、一 一6.平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点 C(x, y)满足-I-I-OC = "OA + BOB ,其中a,代R且廿炉1 ,则x, y所满足的关系式为()A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0D. x+2y-5=0二、填空题7 .作用于原点的两力F 1 =(1,1) , F2 =(2,

13、3)，为使得它们平衡，需加力F3=T-I8 .若 A(2,3), B(x, 4),C(3,y),且 AB=2 AC,则 x=, y=；9 .已知 A(2,3),B(1,4)且 g7B=(sin o,cos 份， 氏(-抵，)，则 什片* .， 一， . 一 、 ，一10.已知a=(1,2) , b=(-3,2)，若ka+ b与a-3b平行，则实数 k的值为 11、若a b <0,则a与b的夹角的取值范围是。12、 |a|=10,|b|=36,a b =-180, a 与 b 的夹角是 。13、已知a=(m,2),b=(3,5)，若a与b的夹角为钝角，实数 m的取值范围为 14、已知 |

14、a |=1,|b |= <2,(a -b) ,L a,则 a 与b 的夹角是三、解答题15 .已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26，求b16 .如果向量AB=i-2j , BC =i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定 实数m的值使A、B、C三点共线。17 .已知 A、B、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2) , AE=-AC,BF", 33求证：EF/AB*18 .已知 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若AP = AB+KAC(九W R),试求 入为何值时，点 P在第三象限内？19、已知A =(2,1),b =(m,m 1),若a与b的夹角为锐角，求实数 m的取值范围。444444444420、已知a、b都是非零向量，且 a+3b与7a - 5b垂直，a - 4b与7a - 2b垂直， 4求a与b的夹