平面解析几何知识点归纳

1、平面解析几何知识点归纳知识点归纳直线与方程1 .直线的倾斜角规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0范围：直线的倾斜角的取值范围为0,)2 .斜率：k tan (a ) , k R斜率公式：经过两点 耳(为，), P2(X2,y2)(Xi X2)的直线的斜率公式为 k* y2 y13.直线方程的几种形式名称方程说明适用条件斜截式y kx bk是斜率b是纵截距与x轴不垂直的直线点斜式y y0 k(x xo)(xo, yo)是直线上的已知点两点式y y x 一 y2 y1 X2 xi(xi x2,y1、2)(xi,1), (x2, y2)是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线截距式x

2、 丫 1a ba是直线的横截距b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一M式Ax By C 0(A2 B2 0)当B 0时，直线的横截距*C为 一A当B 0时，A C C,一分别为直线B A B的斜率、横截距，纵截距所有直线能力提升斜率应用例1.已知函数f(x) log2(x 1)且a b c 0,则上回，上侬，上也的大小关系 a b c例2.已知实数x, y满足y x2 2x 2( 1 x 1),试求上的最大值和最小值x 2两直线位置关系 两条直线的位置关系八/位直大系l1 : y K1x D1 l2 : y k2x b2l1 : A1x B1y C1 0l2：A2x B2y C2

3、 0平行K1k2 ,且 D1D2AB1C1 (A1 B2-A2B1=0)a2b2c2重合K1K2,且 D1D2a旦&A2 -B2 cZ相交K1K2A旦A B2垂直K1 K21A1A2B1B20设两直冲的方程分别为li：y kix bi或"l-Ax B1y Ci 0 当k k Hfr A B A B 们l2：y k2x b2 l2：A2x B2y C2 051 k2j< AlB2 A2Bl 叮匕力相交，交点坐标为方程组yk1xb1或xB1y%0yK? xD2A2 xb2 yC 20直线间的夹角:若为11到l2的角，tan卜2 k1，或 tan1 k2k1AB2 a2BAA

4、2B1B2当1 k1k2若0 或 aa2b1 b2AB2 A2B1A a2 b1 b20时，90°；直线l1到l2的角 与l1和l2的夹角细节决定成败，规范铸就辉煌。第8页共8页距离问题i.平面上两点间的距离公式P(xi, yi), F2(x2,y2)则 RB J(x2 x1)(y2 %)2.点到直线距离公式点P(Xo, yo)到直线l : Ax By C 0的距离为：dAx0A2By。3 .两平行线间的距离公式已知两条平行线直线li和的一般式方程为li：Ax By Ci0,l2 ： Ax By C2 0,则li与l2的距离为CiC2A2B24.直线系方程：若两条直线11： Ax B

5、1yCi0 , l2 ： A2xB2y C20有交点，则过li与12交点的直线系方程为(A1x B1yCi) + (A2xC2) 0 或(A2x B2 y C2) + (AxBiy Ci)0 (入为常数)对称问题i.中点坐标公式：已知点A(xi, yj B(x2, y2),则A,B中点H (x, y)的坐标公式为yxix22yiV22点P(xO, yO)关于A(a,b)的对称点为Q(2a x°,2b y0),直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。2.轴对称：点 P(a,b)关于直线Ax By c 0(B 0)的对称点为P'(m,n),则有小(§m -a Ba

6、mAB2,直线关于直线对称问题可转化为点关于直线对称问题。nC 02(i)中心对称:点关于点的对称:该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A(a, b)关于C(c,d)的对称点(2c a,2d b)直线关于点的对称：I、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；n、求出一个对称点，在利用 11/l2由点斜式得出直线方程；出、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与已知直线11:2x 3y 6 0关于点P(1, 1)对称的直线12的方程。点关于直线对称：I、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。n、

7、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点A( 3,5)关于直线1 :3x 4y 4 0对称的坐标。直线关于直线对称：(设a,b关于1对称)I、若a,b相交，则a至M的角等于b至U1的角；若a/1,则b/1 ,且a,b与1的距离相等。n、求出a上两个点A, B关于1的对称点，在由两点式求出直线的方程。出、设P(x,y)为所求直线直线上的任意一点，则 P关于1的对称点P'的坐标适合a的方程。如：求直线a :2x y 4 0关于1:3x 4y 1 0对称的直线b的方程。能力提升例1.点P(2,1)到直线mx y 3 0(m R)的最大距

8、离为例2.已知点A(3,1),在直线y x和y 0上各找一点 M和N ,使 AMN的周长最短，并求出周长。线性规划问题：(1)设点 P(x0, y0)和直线 1 : Ax By C 0,若点P在直线1上，则Ax。 By。 C 0；若点P在直线1的上方，则B(Axo By。 C) 0 ；若点P在直线1的下方，则B(Ax0 By0 C) 0 ；(2)二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式 Ax By C 0( 0),当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;当B 0时，则Ax By C

9、 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面 区域。(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当B 0时，将直线 Ax By 0向上平移，则z Ax By的值越来越大;直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越小；当B 0时，将直线 Ax By 0

10、向上平移，则z Ax By的值越来越小；直线AxBy0向下平移，则zAxBy的值越来越大；如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)，目标函数z x ay取得最小值的最优解有无数个，则 a为；(1)设点 P(x°, y°)和直线 l : Ax By C 0,若点P在直线l上，则Ax0 By0 C 0 ；若点P在直线l的上方,则 B(Ax° By0 C) 0 ；若点P在直线l的下方，则B(Ax0 By0 C) 0；(2)二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式Ax By C 0( 0),当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax

11、By C 0上方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域：当B 0时，则Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0下方的区域;Ax By C 0表示直线l : Ax By C 0上方的区域;注意：通常情况下将原点(0,0)代入直线Ax By C中，根据 0或 0来表示二元一次不等式表示平面 区域。(3)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意：当B0时，将直线 Ax By 0向上平移，

12、则z Ax By的值越来越大；直线Ax By0向下平移，则z Ax By的值越来越小；当B 0时，将直线Ax By0向上平移，则z Ax By的值越来越小；直线Ax By 0向下平移，则z Ax By的值越来越大；,目标函数如：在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界)z x ay取得最小值的最优解有无数个，则 a为圆与方程,、2,.、22 一2.1 圆的标准方程：(x a) (y b) r圆心C(a,b),半径r222特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2 .2.2 点与圆的位置关系：1 .设点到圆心的距离为 d,圆半径为r：(1)点在圆上 Ud=r; (2)

13、点在圆外 =d>r; (3)点在圆内 Odvr.2 .给定点 M (x0,yO)及圆 C ：(x a)2 (y b) 2 r2. M 在圆 C 内(x0 a)2 (y0b)2r2 M 在圆C 上 (x° a)2 (y0b)2 r2 M 在圆 C 外(x0 a)2 (y0b)2r222 _2.3圆的一般万程：x y Dx Ey F 0 .当 D2 E2 4F0时，方程表示一个圆，其中圆心C 2, E ,半径 r JD2 E2 4F222当 D2 E2 4F。时，方程表示一个点D当 D2 E2 4F0时，方程无图形（称虚圆）注：（1）方程一 22Ax Bxy Cy Dx Ey F。

14、表示圆的充要条件是：B 0且A C 0且D2 E2 4AF 0 .圆的直径系方程：已知 AB是圆的直径A(Xi,yi)B(X2,y2)(x xi)(x X2) (yyi)(y y2) 02.4直线与圆的位置关系：直线AxBy C 0与圆（x a）2 （y b）2 r2的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，（dAa Bb CA2 B2(i) d r 相离0; (2)dr 相切0；(3) d r 相交2.5两圆的位置关系设两圆圆心分别为OiO2,半径分别为ri, r2,O1O2(i) dri2外离4条公切线；（2）drir2 外切 3条公切线；(3) |nrir2相交2条公切线；(4) d|ri r2内切i条公切线；r2(5) 0d外离外切L 内含 无公切线；相交内含圆的切线方程：i.直线与圆相切:（i）圆心到直线距离等于半径r； （2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆x2 y2 r2的斜率为k的切线方程是y程为:kx Vi k2r 过圆 x2 y2 Dx Ey F 0上一点 P(x0,y0)的切线方x x0 y y0 x°x y°yD E F 022般方程若点(X0 ,y0)在圆上,则(x a)(x0 - a)