抛物线及其标准方程一

1、课题：极物依及其标源方程（1）一.教学目标：1 .使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程.2 .要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等 方面的能力.3,通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主 义思想教育.二.教学工、难点：1 . ：点：抛物线的定义和标准方程.（解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的 定义相比较引入抛物线的定义：通过一些例题加深对标准方程的认识）.2 .难点：抛物线的标准方程的推导.（解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种 最佳方法，避免了硬性规定坐标系.）三、教学过程（一）导出课题：

2、我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线.今天我们将学习第四种圆锥 曲线抛物线，以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程二请大家思考两个问题：问期1:同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道:在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问期2:在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形. 引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象 来研究了.今天，我们突破函数研窕中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线.（二）抛物线的定义1 .回顽：平面内与一个定点F的距

3、离和一条定直线1的距离的比是常数e的轨迹，当OVeVl时是椭圆，当e>l时是双曲线，那么当e=l时，它又是什么曲线？2 .倚单实验如图2-29,把一根直尺固定在画图板内直线1的位置 上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘：把一条绳 子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子 的长等于A到直线1的距离AC,并且把绳子另一端固定 在图板上的一点F：用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板 的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右 滑动，这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反 复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结.3 .定义：平而内与一定点F和一条定直线1的距离相

4、等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直 线1上）.定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线.（三）抛物线的标准方程设定点F到定直线1的距离为p（p为已知数且大于 0）.下面，我们来求抛物线的方程.怎样选择直角坐标系, 才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小 结建立直角坐标系的几种方案：方案1:（由第一组同学完成，请一优等生演板.）以1为y轴，过点F与直线1垂直的直线为X轴建立 直角坐标系（图2-30）.设定点F（p, 0）,动点M的坐标为 （x, y）,过M作MDJ_y轴于D,抛物线的集合为：p=MIIMFI=IMDI.由坐标表示得：必-p)&

5、quot; +P =1洌.化简后得：y2=2px-p2 (p>0).方案2:(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行1的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31).设动点M的坐标为 (x, y),且设直线1的方程为x=p,定点F(0, 0),过M作MDL于D,抛物线的集合为： p=(MIIMFI=IMDI),由坐标表示得：/7=区+斗 化简得：y2 =2px+p2 (p>0).方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板.)取过焦点F且垂直于准线1的直线为x轴，x轴与1交于K,以线段KF的垂直平分线 为y轴，建立直角坐标系(图2-32).设|KF|二p,则焦点F的坐标

6、为(晟，0),港线1的方程为裂二弓，设抛物线上的点M(x, y)到1的距离为d,抛物线是集合p=MIIMH=d.,"MF尸 -守&=匿号，+y2 =lx + fl-化简后得：y2=2px(p>0).比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程.这是 因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义： 一次项系数是焦点到准线距离的2倍.由于焦点和准线在坐标系下的不同 分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：方程恁点彳隹法团形> 0)喈Q)x = -f-1oyy2=-2px(

7、p > CDFC-岑yo1 > X> 0)»= 一与JVyoA X1X=-2pyp > 0)FC 6一第9=§1/产o、x由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P>0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆.即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px,相应地左 端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py,相应地左端为X?.同时注意：当 焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号.(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y?=6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛

8、物线的焦点坐标是F(0, -2),求它的标准方程.解：(1)因为p = 3,所以焦点坐标是弓，0),准线方程是牙二-未 乙乙因为焦点在洋由的负半轴上，并且£ = 2, p = 4,所以它的标准方程是x' = -8y.练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3, 0)；答案是：(l)y?=12x：(2)准线方程是以4(2)y2=-x：(3)焦点到准线的距离是 2.(3)y2=4x> y°=-4x, x2 =4y, x2 =-4y.由三名学生演板，教师予以订正.这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个 系

9、数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点 坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了：若抛物线的焦点坐标或准线方程没 有给定，则所求的标准方程就会有多解.小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用. 五、作业：1 .抛物线y 2 = 2pw(p> 0)上一点M到焦点的距离是a(a,点M到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2 .求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(l)x12y；4x?+3y=0： (3)2+5x=0： (4)y - 6x=0.3 .根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6：(2)顶点在原点,对称轴是y轴,并经过点p(-6, -3).4 .求焦点在宜线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.作业答案：2 .焦点F(0,；),准线方程了 =(2)焦点F(0,-),准线方程y =而焦点F(-|, 0)