勾股定理导学案

1、17.1 勾股定理导学案学习目标、重点、难点【学习目标】1、明白勾股定理的由来经受探究勾股定理的过程2、懂得并能用不同的方法证明勾股定理，并能简洁的运用【重点难点】重点：懂得勾股定理，懂得证明勾股定理的证明方法难点：勾股定理的证明学问概览图直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理新课导引公式 a 2b2c2 （ c 为斜边长）假如梯子底端离建筑物5 米， 17 米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？依据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知ab=17 米， ac=5 米，acb=90°，如何求这个三角形的bc 边的长呢？教材精华学问点 1 有关勾股定理的历史古时候，把直

2、角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股 4、弦 5 之说.历史上，周朝数学家商高对周公说： “故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，假如勾为 3，股为 4，那么弦必为 5.这足以说明我国是最早明白勾股定理的国家之一.学问点 2勾股定理的探究让我们通过运算面积的方法探究勾股定理.观看图 18-1，正方形 a 中有 9 个小方格，即 a 的面积是 9 个单位面积 .正方形 b 中有 9 个小方格，即 b 的面积是 9 个单位面积 .正方形 c 中有 18 个小方格， 即 c 的面积是 18 个单位面积 .可以发觉，

3、c 的面积 =a 的面积 +b 的面积.学问点 3 勾股定理假如直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】（ 1）勾股定理存在的前提是直角三角形，假如不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了 .（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范.（3）勾股定理的证明 .证明勾股定理的方法有很多，现在给出几种证法（拼图法）：证法 1：如图 18-2 所示，由于大正方形的边长是a+b，所以面积为ab2 ，而中间小正方形的面积为c2,四周四个直角

4、三角形面积和为4× 1 ab ，故有2ab2c2 +4× 1 ab ，2整理得 a 2b2c2 .证法 2：如图 18-3 所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为ab2 ，又由于该正方形的边长与如图18-2 所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有 a 2b 2 +4× 1 ab =c2+4× 1 ab ，整理得 a2b 2c2 .22证法 3：如图 18-4 所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的 .s 梯形1 ab ab1 ab222，s 梯形1 ab ×2+ 122c2 =ab+1 c2

5、 ,2 1 ab2ab1 c2 ，整理得 a 2b 2c2 .22证法 4：如图 18-5 所示，该图是由 4 个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.以 c 为边的大正方形面积是c2，而 4 个直角三角形的面积和为4× 1 ab ，且中间的小正方形2的面积是ba 2 .c2=4× 1 ab +（b-a）2,整理得 a 2b 22c2 .学问点 4勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长 .（ 2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由 a 2b2c2 可以得到如下关系： a2c2b

6、2 ； b2c2a 2 ； ca2b2 ；ac2b2 ； bc2a2 .课堂检测基础学问应用题1、在 abc 中， c=90° .（1）如 a=5，b=12，求 c；（2）如 c=26，b=24，求 a.2、在一棵树的 10 m 高处有两只猴子 ,其中一只爬下树走向离树20 m 的池塘 ,而另一只爬到树顶后直扑池塘 ,假如两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高 .综合应用题3、如图 18-10 所示，在 abc 中，a=60°，ab=15 cm，ac=24cm，求 bc的长.4、如图 18-11 所示，a，b 两个村子在河 cd 同侧，a，b 两村到河的距离分别为ac=1

7、 km，bd=3 km,cd=3 km.现要在河边 cd 上建一水厂，向 a，b 两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000 元.请在 cd 上挑选水厂的位置o，使铺设水 管的 费用 最省，并求出铺设水管的总费用.探究创新题5、已知 rtabc 中， a， b， c 的对边长分别为a,b,c， 设 abc 的面积为 s，周长为l.(1) 请你完成下面的表格；a,b,ca+b-cs l3,4,55,12,138,15,17s =（用含 m 的代数式表示）；l（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考（ 2）认真观看上表中 你填 定的数据规律，假如 a,b,c 为已知的正实数， 且 a+b

8、-c=m ，那么1、图 18-19 是一株漂亮的勾股树，其中全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角 形 . 如 正 方 形 a ， b ， c ， d的 边 长 分 别 是3 ， 5 ， 2 ， 3 ， 就最 大正 方 形 e的 面积 是（）a 13b 26c47d 942、如图 18-20 所示，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 b 与点 c 的距离为 5，一只蚂蚁假如沿着长方体的表面从点a 爬到点 b，需要爬行的最短距离是（）a 521b 25c105 +5d 35学后反思【解题方法小结】（1）求不规章图形面积应用割补法把图形分解为特别的图形.（2）四边形中常通过作帮

9、助线构造直角三角形，以利用勾股定理.（3）点到线的最短距离是垂线段的长度，在同一题中可能反复应用勾股定理.附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解析 利用勾股定理 a 2b 2c2 来求未知边长 .【解题方法】 已知直角三角形的两边长， 求第三边长， 关键是先弄清晰所求边是直角边仍是斜边，再打算用勾股定理原式仍是变式.解：在 abc 中， c=90°，所以 a 2b2c2 .（1）由于 a 2b 2c2 ，a=5,b=12，所以 c2a 2b 25212 225144169 ，所以 c=13.（2）由于 a 2b2c2 ， c=36,b=24，所以 a 2c2b226 224267

10、6576100 .所以 a= 10.2、解析 如图 18-9 所示,设 a 为树根 ,d 为树顶 ,b 为猴子所在处 ,就 ab=10 m,c 为池塘 ,设 bd=x m, 已知两只猴子走过的路程相等 ,即 db+cd=ab+ac ,就可以应用勾股 定 理 求 出 cd,继而求出树高 ad.解:如图 18-9 所示,b 为猴子初始位置 ,就 ab=10 m,c 为池塘 ,就ac=20 m.设 bd=x m,就树高 ad =10+xm.bd+cd=ab+ac , x+cd =20+10.cd=30-xm.在 rtacd 中,a=90°,由勾股定理得202+（10+x）2=30-x 2,

11、 x=5.树高 ad=10+5=15m.ac 2ad 2cd 2 ,3、解析 此题中并没有直接给出直角三角形，可作垂线构造直角三角形.已知 a=60°，因此作 ab 边上的高或 ac 边上的高，运用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解.解：过点 c 作 cd ab，垂足为 d， 所以 adc=90°.由于 a=60°，所以 acd=30°.所以 ad= 12ac= 12×24=12（ cm）.又由于 ab=15 cm,所以 bd=ab-ad =15-12=3（cm）.在 rtadc 中， cd 2ac 2ad 2242122

12、432 .在 rtbcd 中，bc 2dc 2bd 243232441 .所以 bc=441 =21（cm）. 4、解析 如最省钱只需 ao+bo 最小，可将 a，o，b 放在一条线段上考虑，故只需找到点a 关于 cd 的对称点 a，连接 ab 交 cd 于 o，就水厂建在o 点处即可，构造直角三角形，应用勾股定理就可求出各边长 .解：作点 a 关于 cd 的对称点 a，连接 ab 交 cd 于点 o，就 o 点就是水厂的位置 .过 a作 a h cd 交 bd 延长线于 h， a hb 为直角三角形 .在 rtahb 中 ， ah=cd =3， bh=bd+dh=bd+ac=bd+ac =1

13、+3=4，由勾股定理得 ab=3242 =5，总费用为 2000×5=10000（元） .5、解：（1）表格中左栏从上至下依次填2，4，6，右栏从上至下依次填12，1， 3 .2（2） m4（3）推理过程如下：22由于 ab1所以lmc ，21 abc abc1ab 2c2444= 1 a 22abb2c2 1 a2b 2c22ab12ab1 ab .4442又由于 s= 1 ab ，所以 s1 lm ，即 mm .24l4体验中考1、c解析由正方形面积和勾股定理可得e 的面积为（ 32+52）+（22+32）=47.2、b解析 空间为 ab=10252202=521 ，而此题蚂蚁是

14、在长方体表面爬行，因此不能选a.17.2 勾股定理的逆定理学问精点1勾股定理的逆定理：如一个三角形的三条边满意关系式a2b2c 2 ，就这个三角形是直角三角形2勾股定理的作用：判定一个三角形是不是直角三角形3用勾股定理及其逆定懂得决一些实际问题重、难、疑点重点：把握用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直难点：用勾股定理及其逆定懂得决一些实际问题疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题典例精讲例 1试判定：三边长分别为2n 22n,2n1,2 n22n1 n0 的三角形是不是直角三角形？方法指导： 先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判定解： 2n 22n1 2

15、n 22 n10 ，2 n 22n1 2n12n 20n0 ， 2n22n1 为三角形的最大边又 2 n22n1 24 n48n 38n 24n1 ，2n 22 n22n1 24 n 48n 38n 24n1 ， 2n 22n1 22 n22n 2 2n12 由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形方法总结： 判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边， 再看最大边的平方是否是另两边的平方和 如是就是直角三角形，反之不是举一反三试判定：三边长分别为m2n 2 ,2mn, m2n 2 mn0 的三角形是不是直角三角形？解： m>n>0， m 2n 22mn, m 2n2m2n

16、2 m2n 2 为三角形的最大边，又 m 2n 2 2 2mn 2m 42m 2 n 2n 44m2 n 2 ，m2n 2 2m 42m 2n 2n 44 m2 n2 ， m 2n 2 2 2mn 2m 2n 2 2 由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形例 2如图，在正方形abcd 中， e 是 bc 的中点， f 为 cd 上一点，且 cfaef 是直角三角形1 cd4求证：方法指导： 要证 aef 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证ae 2ef 2af 2 即可解： 证明：设正方形abcd 的边长为 a，就 bece在 rtabe 中，由勾股定理得：1 ， cf21 a ，

17、df43 a 4ae 2ab2be 2a 212a 25 a 2 4同理在 rt abe 中，由勾股定理得：af 2ad 2df 2a 2 34a) 225 a 2 16在 rtcef 中，由勾股定理得：ef 2ce 2cf 212a 212a 45 a 2 16 af 2ae 2ef 2 aef 是直角三角形方法总结：利用代数方法， 运算三角形的三边长， 看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判定三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一举一反三如图，在四边形abcd中， b=90°， ab=bc=4 ， cd=6，da=2 ，求 dab的度数解： 连接 ac ，在 rta

18、bc 中， b=90°， ab=bc=4 ， bac=45 °，ac 2ab 2bc 2161632 在 adc 中，ad 2ac 243236cd 2 ， adc 是直角三角形， dac=90 ° dab= bac+ dac=45 °+90°=135°例 3如图， def 中， de=17cm， ef=30cm，ef 边上的中线 dg=8cm，求 def 的面积方法指导： 利用勾股定理的逆定懂得题解： ef=30cm， eg1 ef215cm ， de 2172289， dg 28264，eg 2152225， de 2dg 2eg

19、 2 dge 是直角三角形，即dgef， s def1efdg2120cm2 方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直举一反三已知如图， b=d=90°， a=60°，ab=10 ，cd=6，求四边形 abcd 的面积解： 延长 ad 、bc 交于点 e在 rtabe 中， b=90°， a=60°， ab=10 ，ae=20由勾股定理可得：beae2ab 2103 ， s abe1102103503 在 rtcde 中，cde=90°， e=30°， cd=6， ce12, dece 2cd 263 s cde16632183 四

20、边形 abcd 的面积为： 503183323 例 4已知 abc 的三边长为 a，b，c，且满意a 2c 2b 2c2a 4b4 ，试判定 abc 的外形方法指导： 要判定三角形的外形，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论解： a2 c2b 2ca 4b4 ， a 2b 2 c 2a 2b 2 a 2b 2 222 a 2b 2c ab0 a 2b2c 20 或 a2b20 当 a 2b2c 20 时，有 a2b2c 2 由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形；当 a 2b 20 时，有 a=b，此时三角形是等腰三角形综上， abc 是直角三角形或等腰三角形方法总结：

21、此题易犯的错误是由 a 2b 2 c 2a 2b 2 a 2b 2 得a 2b 2c20 ，漏掉a 2b 20 这种情形，从而漏掉等腰三角形这种可能性举一反三如 abc 的三边满意条件 a 2b 2c233810a24b26c ，试判定 abc 的形状解： a2b 2c 233810a24b26c ， a 2 ab 25 2c 2338b12 210ac24b13226c0 0 a=5，b=12，c=13 a 2b2c2 ， abc 是直角三角形例 5如图，在四边形abcd 中， c=90°， ab=13， bc=4，cd=3，ad=12 ，求证： ad bd 方法指导： 可将直线的

22、相互垂直问题转化成直角三角形的判定问题解： 在 rtbcd 中， bc=4，cd=3，由勾股定理得：bd 2bc 2cd 24 23225，即 bd=5 在 abd 中， bd=5 ，ab=13 ，ad=12 ， ab 2ad 2bd 2 ，由勾股定理逆定理知：abd 是直角三角形，且 adb=90 °， ad bd方法总结：判定三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满意表达式的形式，就可判定三角形是直角三角形举一反三如图，在 abc 中， ad bd，垂足为 d，ab=25 ， cd=18， bd=7，求 ac 解： 在 rt adb 中， ab=

23、25 ，bd=7 ，由勾股定理得：ad 2ab 2bd 225272576 ad=24 在 rtadc 中， ad=24 ，cd=18， acad2cd 224218230例 6如图，已知 abc 中， ab=ac ， d 为 bc 上任一点，求证：ad 2bddcab 2 方法指导： 证明线段的平方关系，应留意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理制造前提条件解： 过点 a 作 ae bc 于 eab=ac ， be=ec又 ae bc，ab 2ae 2be 2 ，ad 2ae 2ed 2 ab 2ad 2be 2ed 2beed beed eced bee

24、d cdbd ad 2bddcab 2 .方法总结： 构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形 在解决问题的过程中，代数和几何的学问常常结合应用举一反三如下列图， de=m， bc=n， ebc 与 dcb 互余，求bd 2ce 2 学问网络学法点津勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，仍可以判定哪一个角是直角， 从而产生了证明两直线相互垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过运算来证明，表达了数形结合的思想三角形的三边分别为a、b、c，其中 c 为最大边，如 a 2b2c2 ，就三角

25、形是直角三角形；如a 2b2c2 ，就三角形是锐角三角形；如a 2b 2c ，就三角形是钝角三角形所以使用勾股定理的逆定理时第一要确定三角形的最大边同步练习一1已知一个三角形的三边分别为3k， 4k，5k（k 为正整数），就这个三角形是 三角形，理由是 2如一个三角形的三边长为m+1，8，m+3，当 m= 时，此三角形是直角三角形，且其中 m+3 是斜边3在 abc 中， a=2，b=5，就当c2时， c=90°4假如一个三角形的三条边长分别是a， b， c，当a 2 : b 2: c 21: 3 : 4 时，那么这个三角形是 三角形5已知 abc 中， ab=k ， ac=2k 1

26、，bc=3，当 k= 时， c=90°6我们知道，像“ 3， 4，5”，“ 6，8，10”，“ 5，12， 13”，“ 7，24，25”这样的每组三个数是勾股数；已知m、n 是正整数， m<n，设三个勾股数中的最大一个是n 2m2 （1）用含 n，m 的代数式表示前两个勾股数是 、 （2）如 a， b， c 是一组勾股数，并且这三个数没有大于 1 的公因数，就这样的一组勾股数称为基本勾股数例如“ 3，4，5”，“ 5， 12， 13”，“ 7， 24，25”请再写出一组不同于这三例的 基 本 勾 股 数 ： 7假如线段 a，b，c 能组成一个直角三角形，那么a 也能组成一个直角

27、三角形b只能组成一个锐角三角形c不能组成三角形 d无法确定a , b , c （）2228以以下长度的各组线段为边，能组成直角三角形的是（）a 2cm， 3cm，5cmb2cm， 1.5cm，2.5cmc7cm，8cm，10cmd 32 cm,42 cm,5 2 cm9三角形各边（从小到大）长度的平方比如以下各组数据，其中不是直角三形的是（） a 1：1：2b1：3：4c9：25：26d 25：144： 169 10以下各组数中，以a，b，c 为边长的三角形不是直角三角形的是（）a a=1.5，b=2， c=3ba=7， b=24， c=25ca=6，b=8， c=10da=3， b=4，c=

28、511三角形的三边长为a，b，c，且满意等式 ab) 2c 22 ab ，就此三角形是（）a 锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d等边三角形 12给出以下几组数：（1）5，6，7；（ 2） 8， 15，6；（ 3） n2m2 ,2 mn, n 2m 2 nm ；（4） n 21,2n, n21 其中能作为直角三角形的三条边长的有（）a 1 个b2 个c3 个d4 个13适合以下条件的 abc 中，直角三角形的个数为（）（1） a1 ,b31 , c1 ；（2）a=b， a=45°；（3）a=32°，b=58°；（ 4）a=7，b=24，45c=25；（ 5）a=2

29、 5， b=2，c=314一个三角形三边的长分别是15cm， 20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是（）a 12cmb10cmc 12 1 cm2d 10 1 cm215如图 18.2-4，四边形 abcd中， ab=3 ，bc=4，cd=12，ad=13 ， b=90°，求四边形abcd 的面积16已知：如图 18.2-5，在 abc 中， ac=5， ab=12 ，bc=13，求 bc 边上的高 ad 17初春时分， 两组同学到村外平整的原野上采集植物标本，分手后，他们向不同的两个方向前进，第一组的速度是30m/min，其次组的速度是40m/in，半小时后两组同学同时停下来，而此时 两组同学相距1500m（ 1）两组同学行走的方向是否成直角？（2）假如接下来两组同学以原先的速度相向而行，多长时间后能相遇？18如图 182-6，长方形 abcd 中，ab=3 ，bc=4，e，f 分别在 ab ，bc 上，且 be=bf=1 问efd 是否是直角三角形？并说明理由19先阅读以下文字，然后按要求回答疑题：如图 18. 2-7，在 abc 中， cdab 于 d，且 cd 2bdad ， a ， b 都是锐角在rt abc中 ，cd 2ac 2ad 2 所 以ac 2ad 2bdad ， 即ac 2ad