第三章多维随机变量及其概率分布(2015)

1、2015年考研概率统计强化讲义第三章 多维随机变量及其概率分布一考研内容提要1二维随机变量及其联合分布函数（1）二维随机变量定义；（2）联合分布函数；（3）联合分布函数的性质； 2二维离散型随机变量及其联合分律（1）二维离散型随机变量定义；（2）联合分布律；（3）联合分布律的性质；（4）联合分布函数与联合分布律的关系3二维连续型随机变量及其联合概率密度函数（1）二维连续型随机变量和联合概率密度的定义；（2）联合概率密度的性质4边缘分布（1）边缘分布函数；（2）二维离散型随机变量的边缘分布律；（3）二维连续型随机变量的边缘概率密度5条件分布（1）二维离散型随机变量的条件分布律；（2）二维连续型随

2、机变量的条件概率密度6随机变量的独立性（1）随机变量独立的定义（2）独立性结论（i）设二维离散型随机变量的联合分布律为，关于、关于的边缘分布律分别为和，则和相互独立的充要条件是（ii）设二维连续型随机变量的联合概率密度为，关于、关于的边缘概率密度分别为和，则和相互独立的充要条件是（iii）设和相互独立，则和相互独立。又若是连续函数，则和相互独立。7两个重要分布（1）均匀分布；（2）二维正态分布：（i）定义；（ii）结论：若，则，但反之不然；若，且和相互独立，则服从二维正态分布；若，则和相互独立的充要条件是；若相互独立且服从正态分布，则的线性组合服从正态分布。8两个随机变量函数的分布（1）两个随

3、机变量函数的定义；（2）离散情形的分布律；（3）连续情形的概率密度；（4）和的分布：（i）离散情形的分布律；（ii）连续情形的概率密度；（5）极值分布二考研题型解析1选择题例1 设和相互独立都服从上的均匀分布，则服从区间或区域上均匀分布的随机变量是（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(A)。例2 设随机变量的联合概率密度为，则的概率密度为（ ）。(A) (B) (C) (D) 解 应选(C)。例3 设相互独立的两个随机变量均服从参数为的分布，则的分布律为解 应选(C)。例4 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数（ ）。(A)是连续函数 (B)至少有两个间断点 (C)是阶梯函数

4、 (D)恰好有一个间断点 解 应选(D)。例5 设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为的分布函数，则函数的间断点的个数为（ ）。（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解 应选（B）。例6 设随机变量、相互独立，且， ，令，要使与相互独立，则的值为（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(C)。因为要使与相互独立，必须又，所以，即，由于，故例7 设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(D)。由于与的概率密度分别为，又与相互独立，故的联合概率密度为所以（与所围成的平面图形的面积），故选(D)。例8 设随机变量和相

5、互独立，且和的概率分布分别为则（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(C)。由和的概率分布及独立性，得故选(C)。例9 设二维随机变量的概率分布为 0100.410.1已知事件与相互独立，则（ ）。(A) (B)(C) (D)解 应选(B)。由于，得又及事件与相互独立，得，于是，从而，故选(B)。例10 设随机变量与相互独立，且分别服从参数为1和参数为4的指数分布，则（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(A)。由于的概率密度分别为，又与相互独立，故的联合概率密度为所以故选(A)。2填空题例1 设随机变量分布律为 则应满足的条件为 ；若、相互独立，则 ， 。解 应填； ， 。例

6、2 假设随机变量相互独立，且同分布，则行列式的分布律为 。解 应填010.13440.73120.1344令，则，且相互独立同分布，因为又的可能取值为即的分布律为010.13440.73120.1344例3 设、为两个随机变量，且，则 。解 应填。例4 设平面区域由曲线及直线所围成，随机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的值为 。解 应填。例5 设随机变量、相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 。解 应填。例6 设二维随机变量服从区域上的均匀分布，则 。解 应填。例7 设与相互独立，下表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中的

7、空白处 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）1解 应填（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8）。例8 从1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一数，记为，则 。解 应填。3解答题例1 设随机变量的的分布律为0101且，（i）求的联合分布律；（ii）问是否独立，为什么？解 （i）因为，所以，因此的联合分布律有如下结构： 0100101由联合分布律与边缘分布律的关系知故的联合分布律为 01000101（ii）由于，因此不独立。例2 袋中有1个红球、2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球。以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（i

8、）求；（ii）求二维随机变量的概率分布。解 （i）（或）（ii）与的可能取值为，即的概率分布为 012012例3 设二维随机变量的概率密度为,（i）求条件概率密度；（ii）求条件概率解 （i）的概率密度为的条件概率密度为（ii）的概率密度为例4 设随机变量和相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解 由于和相互独立，故，又，从而当时，当时，所以随机变量的概率密度为例5 设二为随机变量的概率密度为，求（i）的边缘概率密度；（ii）的概率密度；（iii）解 （i），（ii）先求的分布函数。当，即时，；当，即时，；当，即时，所以，从而（iii）例6 设，在条件下，求（i）的联合概率密度；（

9、ii）的边缘概率密度；（iii）。解 （i）由题设的概率密度为，在条件下，的概率密度为，从而当时，的联合概率密度为，在其它点处，即（ii）（iii）例7 设二维随机变量的概率密度为， 求常数及条件概率密度。解 因 ，所以，从而。当时，例8 设二维随机变量服从区域上均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域。（i）求的概率密度；（ii）求条件概率密度；（iii）求概率。解 由题设知的联合概率密度为（i）的边缘概率密度为（ii）的边缘概率密度为，的条件概率密度为（iii）。例9 设随机变量在区间上服从均匀分布，定义随机变量，试求：（i）的联合分布律；（ii）和的分布律。解 由于随机变量在区间上服从均匀

10、分布，因此的概率密度为（i）的可能取值为。即的联合分布律为 101（ii）由的联合分布律可得和的分布律分别为0204例10 设和是相互独立的随机变量，它们都服从区间内的均匀分布，试求方程有实根的概率。解 依题设和的概率密度分别为 由于和是相互独立，因此的联合概率密度为故所求得概率为当时，；当时，。例11 设是二维随机变量，的边缘概率密度为，在给定的条件下，的条件概率密度为，（i）求的联合概率密度；（ii）求的边缘概率密度；（iii）求。解 （i）（ii）（iii）例12 设服从上的均匀分布，试求随机变量的概率密度。解 由于服从上的均匀分布，因此的联合概率密度为先求的分布函数当时，；当时，；当时，于是随机变量的概率密度为例13 设二维随机变量的概率密度为，(i)求；（ii）求的概率密度。解 (i) ；（ii），由于，故当时，在其它点，。又，故例14 设是仅取两值得随机变量，且，求（i）的联合分布律；（