《微积分的名称》PPT课件

1、微積分的名稱微積分的名稱Calculus一詞是源自拉丁文，原意是指石子。因為古歐洲人喜歡用石子來幫助計算，所以calculus被引申作計算的意思。現時醫學上仍用calculus一詞代表石子。 例：a calculous man不是指一位知晓微積分的人，而是一位患腎結石的病人!微積分這個中文詞，最早見諸清代數學家李善蘭和英國人Wylie(偉烈亞力)在1859年合譯的李善蘭在譯序中說：是書，先代數，次微分、次積分，由易而難，假设階級之漸升。譯既竣，即名之曰代微積拾級。 思绪和淵源思绪和淵源先積分，後微分，最後發展成為微積分積分概念：源於解決面積、體積、弧長及重心等問題微分概念：源於求變化率、曲線之

2、切線，以及函數的極大、極小值問題兩者是互逆的運算積分概念的三大支柱積分概念的三大支柱窮竭法不可分元法平衡法窮竭法Antiphon(安提豐，約430BC)：隨著一個內接正多邊形的邊數逐次成倍地添加，圓與正多邊形的面積之差最終將被窮竭。Eudoxus(歐多克斯，約370BC)：假设從任何量中減去一個不小於它的一半的部分，再從餘下部分減去不小於它的一半的另一部分，等等，則最後將留下一個小於任何給定的同類量的量。 窮竭法窮竭法當矩形的數目愈來愈多，它們的面積之和會愈來愈逼近曲邊形的面積。不可分元法對一個平面片而言，其“不可分元是指它的一條弦(chord)對一個立體而言，其“不可分元是指它的一個平面截面

3、不可分元法Democritus(德謨克利特 460370BC)根據不可分元的想法，推出稜錐(或圓錐)的體積是具有同樣的底和高的稜柱(或圓柱)的體積的三分之一。Cavalieri原理(卡瓦列利，15981647) ：(1) 假设兩塊平面片處於二平行線之間，且被恣意平行於此二平行線的直線截得的長度均相等，則這兩塊平面片的面積相等。(2) 假设兩個立體處於二平行面之間，且被恣意平行於此二平行面的平面截得的面積均相等，則這兩個立體的體積相等。Cavalieri原理原理平衡法Archimedes(阿基米德，287212BC)的平衡法是這樣的：“為了找所求物體的面積或體積，可以把它分成很多窄的平行條或平行

4、層，然後(想像)把這些平行條或平行層掛在槓桿的一端，使它與知容積和重心的物體坚持平衡。阿基米德用平衡法求得球體的體積公式。平衡法古中國的極限思想古中國的極限思想曰：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。劉徽創割圓術，謂割之彌細，所失彌少。割之又割，以致於不可割，則與圓合體而無所失矣。祖氏父子：夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異。(注：“冪指截面面積，“勢指高度)問題引路第一類問題：知距離表為時間的函數，求速度和加速度。反過來，知加速度表為時間的函數，求距離和速度。(例：Galileo曾探討此類問題)第二類問題：求知曲線的切線(例：Archimedes, Fermat, Barrow曾探討此類問題)第

5、三類問題：求函數的極大或極小值(例： Fermat, Barrow曾探討此類問題)第四類問題：求弧長、面積、體積、重心或物體之間的引力(例： Archimedes, Barrow, 劉徽及祖氏父子曾探討此類問題)怎樣求圓的面積？ 刻卜勒的方法 設想有 n 個大小相同的等腰三角形，頂點都在圓心，而底在圓周上。 圓面積=)r21(三角形的底 =nr2r21 =r2r21 =2r r 怎樣求球體的體積？ 刻卜勒的方法 設想有 n 個大小相同的圓錐，頂點都在球心，而底在球面上。 球體積=)r31(圓錐的底 =圓錐的底r31 =2r4r31 =3r34 r 促成微積分發展的先驅促成微積分發展的先驅Fer

6、mat(費馬)與Descartes(笛卡兒)分別創立解釋幾何(Analytic Geometry)，把代數與幾何結合Kepler(刻卜勒)發表運動三定律：(1)行星繞日運行的軌道是橢圓形，以太陽為焦點；(2)從日至行星的線段在相等的時間內掃過相等的面積；(3)行星繞日運行一周的周期之平方與橢圓軌道的半長軸之立方成正比。Galileo(伽利略)開展科學數學化的方向。他在1610年的一句名言： 大自然的奧秘都寫在這部永遠展開在我們面前的偉大書本上，假设我們不先學會它所用的語言，就不能了解它.這部書是用數學語言寫的。牛頓牛頓(Newton 16421727)牛頓牛頓(Newton 16421727)

7、的貢獻的貢獻1665年11月發現流數法(微分法) 1666年5月發現反流數法(積分法)1669年完成(1711年印行)。在論文中，他給出了求變量相對於時間的瞬時變化率之普遍方法。另外，他證明了面積可以由求變化率的逆過程得到(即微積分根本定理) 1671年和1676年分別完成及；但論文完成後，到1742及1693年才刊印。1687年，好友哈雷(Halley)為他出版(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)。這是一本包括力學理論和流數法的鉅著牛牛頓頓的的一一生生(16421727) 出出生生於於英英國國的的小小鄉鄉村村 Woolsthorpe 的

8、的一一個個單單親親家家庭庭 小小學學和和中中學學的的學學業業平平平平，只只對對器器械械較較有有興興趣趣 19 歲歲考考進進劍劍橋橋大大學學三三一一學學院院，但但入入學學試試的的歐歐氏氏幾幾何何成成績績很很差差 大大學學時時讀讀了了笛笛卡卡兒兒的的幾幾何何學學 ，開開始始對對數數學學產產生生興興趣趣 22 歲歲研研習習 Barrow 的的運運動動學學，對對微微積積分分萌萌發發初初步步概概念念 23 歲歲取取得得學學士士學學位位 因因倫倫敦敦發發生生瘟瘟疫疫，畢畢業業後後回回鄉鄉居居住住 2 年年，在在寧寧靜靜的的環環境境下下進進行行研研究究，獲獲得得重重大大發發現現，包包括括(1)發發現現萬萬有

9、有引引力力定定律律；(2)發發明明微微積積分分；(3)發發現現白白光光由由七七色色光光合合成成 25 歲歲回回劍劍橋橋大大學學唸唸碩碩士士學學位位 27 歲歲繼繼承承老老師師巴巴羅羅的的教教席席，成成為為劍劍橋橋大大學學三三一一學學院院的的盧盧卡卡西西講講座座教教授授 只只喜喜歡歡研研究究而而不不願願發發表表論論文文 1672 年年首首次次發發表表論論文文，但但曲曲高高和和寡寡，且且受受到到莫莫大大批批評評 1675 年年再再發發表表關關於於光光學學的的論論文文，但但仍仍受受各各方方批批評評 1687 年年得得好好友友哈哈雷雷資資助助，刊刊印印他他的的鉅鉅著著自自然然哲哲學學的的數數學學原原理

10、理 ，使使他他舉舉世世聞聞名名，但但書書寫寫得得非非常常艱艱澀澀。 1703 年年任任英英國國皇皇家家學學會會主主席席 62 歲歲放放棄棄教教授授職職位位，轉轉任任倫倫敦敦大大英英造造幣幣廠廠，同同年年被被封封為為爵爵士士 死死時時年年 85 歲歲 萊布尼茲萊布尼茲(Leibnitz 16461716)萊布尼茲萊布尼茲(Leibnitz 16461716)的貢獻的貢獻1684年發表 創立微積分符號，對微積分的傳播和發展產生很大影響，且不断沿用至今。 他运用的差的計算(Calculus Differentialis)，後來成為專門術語微分學(Differential Calculus)另外，求和

11、運算(Calculus Summatorius)由數學家約翰伯努利改為求整運算，之後成為專門術語積分學(Integral Calculus)兩者合稱為微積分(Calculus)萊萊 布布 尼尼 茲茲 的的 一一 生生 (16461716) 生生 於於 德德 國國 萊萊 比比 錫錫 (Leipzig)附附 近近 20 歲歲 向向 萊萊 比比 錫錫 大大 學學 提提 交交 博博 士士 論論 文文 ， 但但 因因 太太 年年輕輕 而而 被被 拒拒 絕絕。他他 改改 向向 Altdorf 申申 請請，結結 果果 獲獲 得得博博 士士 學學 位位 ， 論論 文文 是是 組組 合合 藝藝 術術 。 24

12、歲歲 開開 始始 研研 究究 力力 學學 ， 並並 發發 表表 論論 文文 25 歲歲 研研 製製 成成 歷歷 史史 上上 的的 第第 二二 部部 計計 算算 機機 26 歲歲 出出 任任 駐駐 巴巴 黎黎 大大 使使 ， 結結 識識 Huygens， 並並 開開始始 鑽鑽 研研 數數 學學，研研 讀讀 Descartes 及及 Pascal 的的 著著 作作 27 歲歲 出出 使使 倫倫 敦敦 30 歲歲 任任 Elector of Hanover 的的 顧顧 問問 及及 圖圖 書書 館館長長 1700 年年 服服 務務 於於 Elector of Brandenburg 宮宮 廷廷 1716 年年 去去 世世 萊萊 布布 尼尼 茲茲 十十 分分 博博 學學 ， 對對 法法 律律 、 歷歷 史史 、 神神 學學 、語語 言言 學學 、 生生 物物 學學 、 地地 理理 學學 、 數數 學學 、 政政 治治 、 機機械械 、 哲哲 學學 、 邏邏 輯輯 、 力力 學學 、 光光 學學 都都 有有 研研 究究 和和 貢貢獻獻 。 Newton和和Leibnitz研讨的共同點研讨的共同點創立更普通和普遍的微積分方法以代數方法