数形结合论文

1、数形结合思想在中学数学解题中应用摘要： 数形结合在数学中应用广泛，新教材也在结合数形结合思想来编写。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。本文就数形结合思想在数学问题解析中的应用加以整理、总结，并给出部分例题，以便得到更好的推广。关键词：数形结合 代数问题 几何问题 相互转化For combining the application in mathematics ( YANG zhongxiang )Abstract : Several combining in mathematics teaching is widely used in combination, a new mathemat

2、ical thought to write with. Several combining ideas in mathematics got full attention. Based on several combining analytical mathematical thoughts in the application are summarized, and gives some examples, in order to get better.Key words ：Combining the number Algebra problem Geometry problems Mutu

3、al transformation、八 、前言数形结合思想在实际的应用中显得十分重要和广泛，数形结合思想几乎贯穿 了整个解析几何，可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在。恩格斯曾说过： “数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分

4、家万事 休。”关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何 问题代数化。美国着名数学教育家波利亚说过 : “掌握数学就意味着要善于解题。”只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。中、高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。而数形结合思想又显得格外重要和实 用。但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等特性。一、数形结合思想理论（一）、数形结合思想的定义： 数形结合是数学中重要的思想方法之一，是通过

5、数和形两者之间的关系来解决数学问题的方法思想。（二）数形结合思想的研究对象 ：数形结合思想的主要研究对象是数与几何图形 或几何图形与数的关系，即对于所要研究的代数问题可以通过研究其所表示 的曲线、图象等几何图形来得以解决，反之对于几何图形问题也可以转化为其所对应的代数问题加以解决。（三）数形结合思想的本质：数形结合思想的本质是几何图形的性质反映了数量关系；数量关系决定了几何图形的性质。“数”不仅具有精确性，它还具有联系性（即在某一特定范围内它是联系不间断的），唯一性，逻辑性等，他们之间可以经过多种变换。而几何图形往往具有直观性，我们可以较直观的从图象信息中分析得到信息。（四）数形结合思想的研究

6、方法：数形结合思想的方法应用主要可以分为两种情况：（1）、借助于“数”的精确性来阐明“形”的属性；（2）、借助于“形”的直观性来阐明“数”的关系。（五）数形结合思想的研究思路： 数形结合思想的基本思路是：根据“数”的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决“数”的问题；或将图形信息部分或全部转换成代数信息，进而削弱或清除“形”的推理部分，使要解决的“形”的问题转换为数量关系的讨论。通过以上转换使问题得以解决或简单化。二、数形结合思想的实际应用_（一）在一般方程中的应用：方程f（x） - g（x） = 0的解情况，可化为f（x） = g（x）的解情况，也可看作函数 y=

7、f（x） 与y二g（x） 图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地在数轴或坐标轴中画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也作可以作为一种验证方法用来检查自己到底有没有做错。例题1 方程Inx=cosx解的个数为。分析：画出函数y=lnx与y=cosx的图像（如图1）。注意观察两个图像的相对位置 关系可以得出结论，图2-1（答案：1个。）利用代数方法求解：In x=cosx已知Inx的定义域为0<x,而cosx在此定义域内

8、的值域为（-1,1 ）而Inx在（-1,1 ）内的定义域为（1/e，e），cosx在此定义域内取到最大值cos（ 1/e）和最小值cose。由此，根据函数的值域可知，在定义域中存在有且只有一个实数根。这一结论与图形求解结论一致。显然，通过上可以题看出，函数的解析式和图像的实质是相同的，在解题时经常要相互转化，尤其是解决较为繁琐的（如方程解的个数、分类讨论、求参数的范围 等）问题时，更要充分发挥图像的直观作用，可以代数问题转化为几何问题，实 现数形转换。但转换时，要注意方式、方法，如方程f （x）=g（x）的解的个数可以转换为函数 y f （x）和y=g（x）的图像的交点个数问题。（二）三角函数

9、与三角函数图象:（1）三角函数图象：三角函数是解析几何中常用的几种函数之一，在中学的各个学 习阶段都显得尤为重要，特别是在近几年的中、高考中都占有一定的比重，其图 象特点为正弦函数关于原点对称；余弦函数关于x轴对称；正、余切函数关于原点对称，下面来看各种函数的图象特征：如图2-2,2-3所示：图2-2图2-3例题2函数y=sin (x+n /4 )在闭区间()A .- n /2, n /2是增函数B . -3 n /4, n /4是增函数C . - n ,0是增函数D . - n /4,3 n /4是增函数的图象如下图解析，本题可以先根据图象直观的进行判断，函数y=sin (x+n /4 )所

10、示:)图2-6由上图可得该函数的增区间为-3 n /4, n /4,C选项满足题意。从上题可以看出，任意三角函数所对应的曲线都可以经过原图象经过延长、拉伸或平移的变换而得到的，一般而言，对于任意的三角函数图象都存在对应的三角函 数。并且可以说正、余弦函数图象是由圆变换得来的，如图2-4所示：图2-4由此我们可以用圆来记忆三角函数的性质和解决一些三角函数的问题。例题3:在（0,2 n）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 解析：如图2-5所示;注意，在单位圆上，使 sinx ,Y图2-5cosx的角x的终边与一、三象限 角平分线重合，可知终边在该直 线上方的角X有sinx>c

11、osx (如左 图所示)，由此得出满足题意的x取值范围为X(n /4,5 n /4 )， 即为图中阴影部分所表示区域。代数法：把 sinx>cosx 转化为求 sinx-cosx>0，即V 2 sin ( x- n /4 ) >0,求在(0。冗/2 )上的解，解得x (n /4,5 n /4 )与图象解出一致。(三) 不等式(组)、函数用象表示：在函数中，函数的解析式和图像的实质是相同的。同样，不等式也可以用图象表示，函数图象是用曲线的，那么，不等式就用所对应的区域来表示，该区域就在该不等式化为方程后所表示的曲线的领域内。例题4:设函数f(x),g(x) 分别是定义域在 R上

12、的奇函数和偶函数，当 x<0时，d f(X)/dxg(x)+f(x)d g(x)/dx> 0，且g(3)= 0，贝y不等式f (x)g(x)V 0的解集是 解析：设F (x)=f(x)g(x).F(x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)= F(x),故，F(x)为奇函数，又xVO时，g(x)/d x>O,dF(x)/dx=df(x)/dxg(x)+f(x)d 所以当xVO时F(x)为增函数，又奇函数在对称区间上的单调性相同，x> O时，F(x)也是增函数。TF(3)=f(3)g(3)=O, F(3)=F(3)=O如图为一个符合题意的图象，观察后可得：图2 7 f(x)

13、g(x)=F(x)V O的解集为：x( x，3)U(O，3)o由上图可以看出，该不等式的解集图象为该函数左下方与x轴负方向上小于-3相交部分和该函数右下方与 x轴正方向上小于3相交部分，所有处在该区域内的x的值都满足题意，而曲线上的点则表示该函数的临界点。例题5:如下图2-8所示，阴影部分的点满足不等式组厂 x+yv=52x+yv=6,在这些坐标点中，使目标函数K=6x+8y取得最大x>=0, y>=0值的坐标是图2-8解析：这是线性规划问题，运用数形结合的思想方法，如上图2-8所示，做L： 6x+8y=0的直线，然后向右（上）平移，使得L与阴影部分相交又到原点距离最大的交点，得（

14、0,5 ）。本题主要利用不等式组来确定 x，y的取值范围（图中阴影部分），并利用该范围内的点做为定义域求满足目标函数的点，这是数形结合的应用中较为常见的“数”“形”转换的方法。它避免了纯代数运算的繁杂性，较为充分的体现出了“形”的直观性。由上两个例题可以看出，利用数形结合方法来解不等式（组），不仅可以避免许多繁杂的代数运算，简化解题的程序。而且可以使做题的过程更加直观。（四）曲线方程与曲线方程图象:曲线方程是中学数学中的重要组成部分，它包括圆的曲线方程、椭圆的曲线 方程、双曲线方程，抛物线方程等曲线方程，数形结思想合在这一方面体现的更 为重要，整个曲线方程几乎都是围绕数形结合思想来分析、解决问

15、题。例题5:如果实数x，y满足等式（x-2） 2 1/2例题5.圆x +y +2x-4y-3=0上到直线I : x+y+1=0的距离为2的点共有解析：先将圆的一般方程化为标准方程（x+1）2+（y-2） 2=8,它与直线x+y+1=0的位置关系如图2-9所示，0 （-1，-2 ）是圆心，A（-1,0 ）和B（0,-1）是直线 x+y+1=0与坐标轴的交点，连结 0 B,易知0 B丄AB,而且0、B=21/2，+y2=3,求y/x的最大值解析：本题作为代数问题的形式，y/x的最大值不易直接求出，若采用数形结合思想，利用y/x的几何意义则较为简便，如图2-10所示，在直角坐标系中，（x-2）2+y

16、2=3表示以（2,0 ）为圆心，31/2为半径的圆，y/x= （y-0）/（x-0）表示圆上任意 一点P（ x,y ）与原点连线斜率，当 0P与圆相切，角POQ=60时，y/x取得最大值31/2此圆的半径r=81/2，延长OB,交圆于C,则BC=2/2,做直径DE/AB,则点DE到直线x+y+1=0的距离都是21/2圆到直线距离为21/2的点有C,D,E三个XV1fc-XC的两个不同动点图2-9例题7:在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点A, B满足ACLB0,如图2-11所示：图 2-11求 ACB的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程;(2) AOB的面积是否存在

17、最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 解析：(1)设厶 AOB勺重心 G%( x，y), A( xi，yj, B( X2,泊，则:fX=(x i+X2)/3y=(y i+y2)/3 OAL OB KOAKOB=1,即 xiX2+yiy2=0,2 2 又点A,B在抛物线上，有yi=xi，y2=X2，代人化简得xiX2=-1， y= (yi+y2)/3=1/3(x i2+X22)=1/3(x 1+X2) 2-2x iX2=1/3*(3x) 2+2/32=3x 2+2/3所以，重心G的轨迹方程为：y=3x2+2/3(2) S AOB=1/2 I OAll OB I =1/2 (Xi+y

18、i) (X2 +y2 )由(1)得 Saao=1/2(1+x i2X24+1)1/2=1/2(x i2+X22+2)1/22 2 1/2 1/2>=1/22(x12X22) +21/2=1/22(-1)+2=1/2*2=1当且仅当 x1 =x2 , 即 x1=-x 2=-1 时，等式成立。故AAOB的面积存在最小值，最小值为 1。通过以上三个例题可以看出，在解析几何问题中，数形结合思想的应用是十分灵 活的，有的问题需要将代数问题转化为线性的几何问题解决，而有的线性的几何问 题又需要转化成代数问题解决，甚至在同一个题中会出现代数问题和几何问题的多 次的相互转化。（五）数形结合在集合、数列（

19、组）中的应用集合主要采用描述法、文氏图法、例举法等；数列（组）在数学中的应用主要 体现在数理统计中，常用的表示方法为竖状图法、扇形图法和表格法等。其特点都 是在利用图形的直观性来表示其数学意义的属性。例题8;设集合A,B是全集U的两个子集，则 A是B的真子集是（CuA） UB=U£（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件解析：（1） A是B的真子集CuA） UB=U（2）当（CA）UB二U时，A, B的关系可以是 A是B的真子集或A=B故（CA）UB=U A是B的真子集©匚I用文氏图表示如下:图 2-12满足（GA） UB=U£

20、条件有A=B或A是B的真子集。故非必要条件。但A是E的真子集就一定满足（CUA） UB=U故为充分条件。（六）复数用图象表示其几何意义借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意 义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。例12 .如果复数z满足丨z+i | + | z-i | =2,那么丨z+i+1丨的最小值是（）A.1 B.2C.2 D.5解析：复平面内满足丨z+i | + | z-i | =2的点z的轨迹是线段AB,而丨z+i+1 |x（七 ）向量问题用图象解析利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线

21、线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低 了空间想象能力，是数形结合的深化。例10.如图所示，P是正方形的ABCD勺对角线BD上一点，四边形PECF是矩形， 求证:(1) .PA=EF图 2-14(2) PA丄EF解析：建立如图2-14的坐标系，设正方形的边长是1，| DP | =,则A(0,1),P(丄,222),E(:,0),F(1,2/ )2一 <2.2二 PA=(-,122)FE=(2-1，-飞）22(1). PA I =(- ) 2 +(1-) 22 2= 2 - ,2 +1I FE I =( -1) 2+ (-

22、) 22 2= 2- .2 +1I PA I = I FE I, 即 卩 PA=EF(2) . PA PA 丄 FE，即 PA± EF 例11.如图所示，在棱长为 1的正方形ABCD-ABCD1中，E,F分别是DD，BD的中 点，G在棱CD上，且CG=丄CD,H是C1G的中点，4. 求证：EF丄B1C. 求证：EF与C 1G所成角的余弦值 FE = (- Y )( T -1)+(1- ¥)¥)1 2 V2, 42, 12=一 + +2 2 2 2. 求FH的长解：如图2-15所示，建立空间直角坐标系D-xyz ,E(0,0,丄)F(丄，丄,0) C(0,1,0)

23、D(0,1,1)2 2 2B!(1,1,1) G(0,3,0)4(1).证明：EF =(丄，丄，-丄)B1C=(-1,0,-1)2 2 2 EF B1C=1 (-1)+1 0+1 (-1)=0图 2-152 2 2 EF 丄 B1C二 EF± B1C1(2).GG=(0,-丄,-1)45 Uo W由( 1)得 COS EF,C1G=EFEFC1GC1G.5117(3). T H是C 1G的中点 H(即 H (0, 32 8又 F（1,丄,0）2 2二 FH=I FH | = . （0 2）2（7 A（；。）2=罟（八）几何问题用代数方法解决三、用数形结合时应注意的几个问题（误区）“数形结合”它直观、形象，可避免繁杂的计算、证明等，获取出奇制胜的解 法。然而，它并不是“万能”的。图形虽然直观、形象，但它是一个部分，而不是 全部，甚是有些图形是有误差的，并不准确，所以我们不能以点代面，不能简单地 根据图形就获取答案。就是要用到图形，我们在作图时或画草图时也要注意一些细 节，不能马虎应付。用数形结合时要注意以下这几个主要事项。（一）精确作图，避免潦草作图而导出的错误在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延 伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全 部。常言到“知人知面不知