结构力学课件第9章 渐近法

1、 计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆续出现了各种渐近法，力矩分配法就是其一。续出现了各种渐近法，力矩分配法就是其一。 渐近法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，渐近法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计而以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后算轮次的

2、增加而提高，最后收敛于精确解收敛于精确解。 这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。理论基础：位移法；理论基础：位移法；计算结果：杆端弯矩；计算结果：杆端弯矩；适用范围：连续梁和无侧移刚架。适用范围：连续梁和无侧移刚架。 1.劲度系数、传递系数劲度系数、传递系数 劲度系数劲度系数(转动刚度转动刚度)Sij 定义如下：定义如下：当杆件当杆件AB的的A端转端转动动单位角单位角时

3、，时，A端端(又称近端又称近端)的弯矩的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度力的大小，故又称为转动刚度。 则则劲度系数与杆件的远端支承劲度系数与杆件的远端支承情况有关情况有关，由转角位移方程知，由转角位移方程知 远端固定时：远端固定时： ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1远端滑动支承时：远端滑动支承时：EIMAB=iMBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：远端自由时：AB1MA

4、B=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i如果把如果把A端改成固定铰端改成固定铰支座、可动铰支座或可支座、可动铰支座或可转动（但不能移动）的转动（但不能移动）的刚结点转动刚度刚结点转动刚度SAB的的数值是否不变？数值是否不变？ 注意：转动刚度与远端支承有关 而与近端支承无关 iSAB4 iSAB3 iSAB ABiABS1ABi14iABiABi(2) 传递系数传递系数CijABEIL1 MAB=4i ABEI1 MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EI MAB=i MBA=-iSAB=MAB=iAB1 MABEISAB=MAB=0 当近端当近端A转动时，另一端转

5、动时，另一端B(远端远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，的弯矩按一定比例传到远端一样，故将故将B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比称为由端弯矩之比称为由A端向端向B端的端的传递系数传递系数，用，用CAB表示。表示。即即BAABABMCM远端弯矩近端弯矩则远端弯矩为：则远端弯矩为： MBA=CABMAB远端固定时：远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：远端铰支时：CAB=0远端滑动支承：远端滑动支承：CAB=1由表右图或表由表右图或表(81)可得可得MBA=2i等截面直杆的转动刚度和传递系数 在确定杆端转动刚度时：在确定杆端转动刚度时：近端看

6、位移近端看位移（是否为单位位移）（是否为单位位移） 远端看支承远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。（远端支承不同，转动刚度不同）。MAB1MABMAB111MAB下列那种情况的杆端弯矩下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB转动刚度转动刚度SAB=4i是（是（ ）iiiiiiAAAAABBBBB2. 力矩分配法的基本原理力矩分配法的基本原理现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP图图F21MF12MF14MF41M 图图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角所示刚架用位移法计算时，只有一个

7、未知量即结点转角Z1，其典型方程为其典型方程为r11Z1+R1P=0绘出绘出MP图（图图（图b),可求得自由项为可求得自由项为R1P=Fj1F14F13F12MMMMR1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩刚臂反力矩，它等，它等于结点于结点1的杆端固端弯矩的代数和的杆端固端弯矩的代数和Fj1M，即各固端弯矩所不平衡的，即各固端弯矩所不平衡的差值，称为结点上的差值，称为结点上的不平衡力矩不平衡力矩。 R1P1 F12M F13M F14M R1Pr11=式中式中S1j代表汇交于结点代表汇交于结点1的各的各杆端劲度系数的总和。杆端劲度系数的总和。

8、1234(c)1M图图1Z12i124i123i13i141M绘出结构的绘出结构的图（见图图（见图c)， 计算系数为：计算系数为：解典型方程得解典型方程得Z1=11P1rR 然后可按叠加法然后可按叠加法 M=11PZMM 计算各杆端的最后弯计算各杆端的最后弯j1Fj1SM弯矩。弯矩。4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= S1jM12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第二项为结点转动第二项为结点转动Z Z1 1角所产生的弯矩，这

9、相当于把不角所产生的弯矩，这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端，因此称为因此称为分配弯矩分配弯矩， 12 12 、 13 13 、 1414等称为等称为分配系数分配系数，其计算公式为其计算公式为111jjjSS结点结点1 1的各近端弯矩为：的各近端弯矩为：F12M)M(MFj113F13)M(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj112111jjjSS显然，同显然，同 一结点各杆一结点各杆 端的分配系数之和应等于端的分配系数之和应等于1，即，即 1j =1 。各远端弯矩如下各远端弯矩如下M21=F21MM31=)M

10、(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动各式右边的第一项仍是固端弯矩。第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系角所产生的弯矩，它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样，故称为数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩传递弯矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC得出上述规律后，便可不必绘得出上述规律后，便可不必绘 MP 、1M 图，也不必列出图，也不必列出和求解和求解 典型方程，而直接按以上结论计算各杆端典型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。弯矩。 其

11、过程分为两步：其过程分为两步：(1)固定结点固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。不平衡力矩，它暂时由刚臂承担。(2)放松结点放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入一个入一个反号的不平衡力矩反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结，于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的点获得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各比例分配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时

12、各自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传自向其远端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。递弯矩。例例 9 91 1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。试用力矩分配法作刚架的弯矩图。ABCD30kN/m50kN(a)解：解：(1)(1)计算各杆端分配系数计算各杆端分配系数 AB=445. 0942131414 AC=333. 093 AD=222. 092 AB=0.445 AC=0.333 AD=0.222(2)(2)计算固端弯矩计算固端弯矩据表（据表（8-1）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+

13、12qL2=mkN7584503-83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkNMFDA25(3)(3)进行力矩的分配和传递进行力矩的分配和传递结点结点A A的不平衡力矩为的不平衡力矩为FAjMmkN357540ACD杆杆 端端ABACADBACADA0.445 0.3330.222分配系数分配系数固端弯矩固端弯矩-40+40075-250-35-35分配弯矩分配弯矩 +15.5+15.5 +11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5+55.5最后弯矩最后弯矩+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8 M

14、图图(kN.m)(b)32.2(4)(4)计算杆端最后弯矩并作弯矩图。计算杆端最后弯矩并作弯矩图。+35+35计算图示刚架计算图示刚架,作弯矩图作弯矩图iSA41 000解解:2/13441 iiiiA AB1Clql2CEI qlliSB31 iSC 18/33431 iiiiB 8/1341 iiiiC FM分配分配传递传递M结点结点杆端杆端BA1CB1A11A1B1CC11/2 3/8 1/8-1/4 1/41/8163 649 643 323 064303211 161641 643 6438/2qlql2q4/2ql4/2qlq6416433211161单结点结构在跨中荷载作用下的力

15、矩分配法单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法200kN20kN/m3m3m6m3i4iABC200kN20kN/mABCABC1）锁住结点，求固端弯矩）锁住结点，求固端弯矩90862015086200150862002BCBAABmmm150150902）去掉约束，相当于）去掉约束，相当于在结点加上负的不平衡在结点加上负的不平衡力矩，并将它分给各个力矩，并将它分给各个杆端及传递到远端。杆端及传递到远端。MB=15090=60MBMBmBAmBCMB=60SBA=43i=12iSBC=34i=12iBA=12i/24i=1/2BC=12i/24i=1/23030153）叠加）叠加1）、）、2）

16、得到最后杆端弯矩。）得到最后杆端弯矩。计算过程可列表进行计算过程可列表进行1/21/2150m150 9030 3015M175120120ABCM图（图（kN.m平衡力矩不平衡力矩= =固端弯矩之和固端弯矩之和结点不平衡力结点不平衡力矩要变号分配矩要变号分配. .i=1i=1i=22m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN用力矩分配法计算用力矩分配法计算,画画M图。图。解：解：1）求）求AB= AC=AD=4/92/93/92）求）求m mAB= mBA=mAD=50 50 80M=15MAmABmADmACM+MA=mAB+mAD+mAC M=50+8

17、015= 45结点结点BACD杆端杆端分配系数分配系数BAABADACCADA4/93/92/9分配与传递分配与传递20固端弯矩固端弯矩 5050 8010151010最后弯矩最后弯矩 4070 6510 10100M图（图（kN.m)2m2m4m4mABCD40kN/m100kN15kN40701001080M图（图（kN.m)例例9-3.计算图示梁计算图示梁,作弯矩图作弯矩图EIEISBA5 . 084 FM分分配配传传递递M5 . 05 . 04040 45 05 . 25 . 225. 1075.38 5 .425 .42 0ABm4EIkN40Cm6EImkN /10m4解解:EIE

18、ISBC5 . 063 5 . 0)5 . 05 . 0(5 . 0 EIEIBA 5 . 0)5 . 05 . 0(5 . 0 EIEIBC kN40mkN /10404045MkN40mkN /105 .4275.38小结小结本节需要掌握的基本概念有：本节需要掌握的基本概念有：6060ABmkN.40CmkN /20练习练习求不平衡力矩求不平衡力矩mkNMuB.1004060 ABm4EImkN.40Cm6EImkN /2060mkN.40uBM作图示梁的弯矩图作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念利用传递系数的概念)ABm4EIkN10Cm6EI40kN.m20kN.m例例9 92 2 用

19、力矩分配法计算图示连续梁。用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解：解： 固定固定1 1 2 2 结点。列表计结点。列表计 算如下算如下: :12m6m6m12m分配系数分配系数 10=50i 4i 4i 4 12=50i 4i 4i 4 21=5710i 3i 4i 4 23=4290i 3i 4i 3固端弯矩固端弯矩MMF FmkN300121225M2F01-300mkN300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+1

20、50+150结点结点1分配传递分配传递+150+150 +150+150+75+75+75+75结点结点2分配传递分配传递-129-129 -96-96-64-640结点结点1分配传递分配传递+32+32 +32+32+16+16+16+16结点结点2分配传递分配传递-9-9 -7-7-5-500.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429结点结点1分配传递分配传递+2+2 +3+3+1+1+1+1结点结点2分配传递分配传递-1-10最后弯矩最后弯矩M-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-

21、225例例9 93 3 用力矩分配法计算图示连续梁。用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5 5m m8 8m m3 3m m5 5m m5 5m m1.5kN/m8kN4kN 4kNm 0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MF0+4.69 -8+8 -9.38+5.62 +2+4分分 配配 及及 传传 递递-4.76 -2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1 1m mABCDE+1.24 +2.070+1.03+1.37 +1.36+0.68+0.68-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43-0.21-7.62+3

22、.31+2.73+0.42+0.21 +0.21+0.11+0.11-0.04 -0.07-0.03-0.07 -0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01 -0.01-0.01 -0.01M0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+41.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+45.634.691.88121.1615048.06M图图010.403.98多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。首先从结点不平衡力矩较大的结

23、点开始，以加首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。速收敛。不能同时放松相邻的结点不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。结点，这样可以加速收敛。 每次要将结点不平衡力矩变号分配。每次要将结点不平衡力矩变号分配。 小结20kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.

24、5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202结点结点杆端杆端ACEAGACCACHCEECm0.50.50.40.20.4150.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.75 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02结点结点杆端杆端ACEAGACCACHCEECmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M图（图（kN.m)-57.1uM1固定状态固定状态:1508/21 qlMFA501211 FFAuMMMABm10EImkNq/12 m10EIm1012EIABmkNq/12 1212/2ql8/2qluM210012/212 qlMF10012/221 qlMF1002212 FBFuMMM50100100iSB32 iS421 571. 021 42