小学数学难题解法大全第五部分典型难题讲析应用题

1、学校数学难题解法大全第五部分典型难题讲析（七之三）应用题（三）应用题1.一般应用题【和差的问题】例 1 六年级有四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1 人；四个班的总人数是 ；（ 1990 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）讲析：由于乙、丙两班总人数比甲、丁两班总人数多1 人；就乙、丙两班总人数的3 倍就等于（ 131+134-l） =264人；所以，乙、丙两班共有246÷3=88（人）；然后可求出甲、乙两班总人数为88+1=89（人），进而可求出四个班的总 人数为 88+89=177（人）

2、；例 2 东河学校画展上展出了很多幅画，其中有16 幅画不是六年级的，有15 幅画不是五年级的；现知道五、六年级共有 25 幅画，因此，其它年级的画共有 幅；（ 1988 年北京市学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：由“ 16 幅画不是六年级的，15 幅画不是五年级的”可得出，五年级比六年级多1 幅画；所以六年级共有12 幅画；然后可求出其它年级的画共有（15-12 ）幅，即3 幅；例 3 甲、乙、丙都在读同一本故事书；书中有100 个故事；每人都认某一个故事开头按次序往后读；已知甲读了75 个故事，乙读了60 个故事，丙读了52 个故事；那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有 个；（ 1991

3、年全国学校数学奥林匹克初赛试题）讲析：可先看读得较少的两人重复阅读故事的个数；乙、丙两人最少共同读故事60+52-100=12 （个）；由于每人都从某一故事按次序往后读,所以甲读了75 个故事；他无论从哪一故事开头读，都至少重读了上面12 个故事；故答案是12 个；例 4 某工厂 11 月份工作忙， 星期日不休息， 而且从第一天开头，每天都从总厂间续派相同人数的工人到分厂工作；直到月底， 总厂仍剩工人240 人；假如月底统计总厂工人的工作量是8070 个工作日 （ 1 人 1 天为 1 个工作日），且无1人缺勤；那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共 人；北京市第九届“迎春杯”学校数学竞赛试题；

4、）讲析：到月底总厂剩下240 名工人，这240 名工人一个月的工作日为240× 30=7200（个）；而 8070-7200=870（个）；可知这 870 个工日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工日；设每天派a 人到分厂工作，就这些人中留在总厂的工作日是；a 人做 29 天， a 人做 28 天， a 人做 27 天，a 人做 1 天；所以，（ 1+29）× a× 29÷2=870，可解得a=2； 故，共派到分厂的工人为2 × 30= 60（人）；【积商的问题】例 1 王师傅加工1500 个零件后，改进技术，使工作效率提高到原先的2.5 倍

5、，后来再加工1500 个零件时，比改进技术前少用了18 小时；改进技术前后每小时加工多少个零件？（ 1989 年学校生数学报学校数学竞赛决赛试题）讲析：改进技术后的工效提高到原先的2.5 倍，后来加工1500 个零件时，比改进技术前少用18 小时，就改进技术后加工1500 个零件的时间是18÷（ 2.5-1 ） =12（小时）；原先加工1500 个零件的时间是12+18=30 （小时）于是，改进前每小时加工的便是1500÷ 30=50（个），改进后每小时加工的便是1500 ÷ 12=125（个）；例 2 现有 2 分硬币、 5 分硬币各如干个，其中2 分的比 5

6、分的多 24 个，假如把2 分硬币等价换成5 分硬币，所得的 5 分硬币要比原有的5 分硬币少6 个；原先两种硬币各有多少个？（ 1993 年“光远杯”学校数学竞赛试题）讲析：我们用方程来解，设原先有x 个 5 分的硬币；就2 分硬币共有（x+24）个；由题意得： 2（ x+24）÷ 5=x-6；解得： x=26，即 5 分币有 26 个；于是， 2 分币便有26+24=50（个）2.典型应用题【平均数问题】例 1 小强骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时15 千米的速度前进，回时以每小时30 千米的速度返回；小强来回过程中的平均速度是每小时多少千米？（江西省其次届“八一杯”学校数学竞

7、赛试题）讲析：我们不能用（15+30）÷ 2 来运算平均速度，由于来回的时间不相等；只能用“总路程除以来回总时间”的方法求平均速度；所以，来回的平均速度是每小时例 2 动物园的饲养员给三群猴子分花生；假如只分给第一群，就每只猴子可得12 粒；假如只分给其次群，就每只猴子可得15 粒；如只分给第三群，就每只猴子可得20 粒；那么平均分给三群猴子，每只猴子可得 粒；（北京市第八届“迎春杯”学校数学竞赛试题）讲析：设花生总粒数为单位“1”，由题意可知，第一、二、三群猴子于是可知 ,把全部花生分给这三群猴子，平均每只可得花生例 3 某班在一次数学考试中，平均成果是78 分，男、女生各自的平均

8、成果是75.5 分和 81 分；问：这个班男、女生人数的比是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛其次试试题）讲析：因男生平均比全班平均少2.5 分，而女生平均比全班平均的多3 分，故可知2.5×男生数 =3×女生数；2.5 3=女生数：男生数即 男生数：女生数=6:5；例 4 某次数学竞赛原定一等奖10 人，二等奖20 人，现在将一等奖中最终4 人调整为二等奖，这样，得二等奖的同学平均分提高了1 分，得一等奖的同学的平均分提高了3 分；那么，原先一等奖平均分比二等奖平均分多 分；（ 1994 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：设原先一等奖每人平均是a 分；二等奖每人平均是b

9、 分；就有：10a+20b=6×（ a+3） +24×（ b+1） 即： a-b=10. 5；也就是一等奖平均分比二等奖平均分多10.5 分；【行程问题】例 1 甲每分钟走50 米，乙每分钟走60 米，丙每分钟走70 米，甲乙两人从a 地，丙一人从b 地同时相向动身，丙遇到乙后2 分钟又遇到甲，a、b 两地相柜 米；（ 1990 年学校生报学校数学竞赛试题）讲析：如图5.30，当乙丙在d 点相遇时，甲已行至c 点；可先求出乙、两相遇的时间，也就是乙行距离ad 的时间；乙每分钟比甲多走10 米，多少分钟就多走了cd 呢？而 cd 的距离，就是甲、丙2 分钟共行的距离： （70

10、+50）×2=240米）；于是可知，乙行ad 的时间是240÷ 10=24（分钟）；所以， ab 两地相距米数是（70+60）× 24=3120（米）例 2 在一条大路上，甲、乙两个地点相距600 米，张明每小时行走4 千米，李强每小时行走5 千米； 8 点整，他们两人从甲、乙两地同时动身相向而行，1 分钟后他们都调头反向而行，再过3 分钟，他们又调头相向而行，依次依据1 、3、 5、7（连续奇数）分钟数调头行走；那么，张、李两个人相遇时是8 点 分；（ 1992 年全国学校数学奥林匹克竞赛初赛试题）（千米） =150（米）他俩相向走（ 1+5）分钟，反向走（3+

11、7）分钟后两人相距：600+150×（ 3+7） -（ 1+5）=1200（米）所以，只要再相向行走1200÷ 150=8（分钟），就可以相遇了；从而可知，相遇所需要的时间共是 1+3+5+7+7+8=24（分钟）也就是相遇时是8 点 24 分；例 3 快、中、慢三辆车同时从同一地点动身，沿同一大路追逐前面的一个骑车人；这三辆车分别用6 分钟， 10 分钟、 12 分钟追上骑车人；现在知道快车每小时走24 千米，中车每小时走20 千米，那么，慢车每小时走多少千米？（全国第一届“华杯赛”决赛其次试试题）讲析：如图5.31 所示， a 点是三车的动身点，三车动身时骑车人在b 点

12、， a1、a2 、a3 分别为三车追上骑车人的地点；快车走完2.4 千米追上了他；由此可见三辆车动身时，骑车人已走的路程是ab=2.4-1.4=1（千米）；所以，慢车的速度是：例 4 一辆车从甲地开往乙地；假如把车速提高20，可以比原定时间提前一小时到达；假如以原速行驶120 千米后，再将速度提高25；就可提前40 分钟到达；那么，甲、乙两地相距（ 1992 年全国学校数学奥林匹克决赛试题） 讲析：第一必需考虑车速与时间的关系；由于车速与时间成反比，当车速提高20时，所用时间缩短为原先的 千米；例 5 游船顺流而下每小时行8 千米， 逆流而上每小时行7 千米， 两船同时从同地动身，甲船顺流而下

13、，然后返回；乙船逆流而上，然后返回，经过2 小时同时回到动身点，在这2 小时中，有 小时甲、乙两船的航行方向相同；（上海市第五届学校数学竞赛初赛试题）讲析：关键是要懂得上行与下行时间各占全部上下行总时间的百分之几；由于两船2 小时同时返回，就两船航程相等；又上行船速是每小时行7例 6 甲、乙两车分别从a、b 两城同时相向而行，第一次在离a 城 30 千米处相遇；相遇后两车又连续前行，分别到达对方城市后，又立刻返回，在离a 城 42 千米处其次次相遇；求a、b 两城的距离；（学校生科普报学校数学竞赛预选赛试题）讲析：如图5.32 所示；两车第一次在c 地相遇，其次次在d 地相遇；甲、乙两车从开头

14、到第一次c 点相遇时，合起来行了一个全程；此时甲行了30 千米，从第一次相遇到其次次d 点相遇时，两车合起来行了两个全程；在这两个全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一个全程中，乙行（30 42）÷ 2=36（千米），即 a、b 两城的距离是30 36=66（千米）；例 8 甲、乙两车分别从a、b 两地动身，在a、b 之间不断来回行驶，已知甲车的速度是每小时15 千米，乙车的速度是每小时35 千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点叫相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距 100 千米；那么a、b 两地的距离等于 千米；（ 1993 年全国学校数学奥林匹克初赛试题

15、）讲析：依据甲、乙两车的速度比为3 7，我们可将a、b 两地平均分成10 份（如图 5.33 ）；由于甲、 乙两车速度之比为3 7，所以甲每走3 份，乙就走了7 份；于是它们第一次在a3 处相遇； 甲再走 4.5 份，乙走 10.5 份，在 a7 与 a8 之中点处甲被乙追上，这是其次次相遇；甲再又走1.5 份，乙走3.5 份，在 a9 点第三次两车 相遇；甲走6 份，乙走14 份在 a5 点第四次两车相遇；（千米）；例 9 在 400 米环形跑道上，a、b 两点相距 100 米（如图 5.34）；甲、乙两人分别从a、 b 两点同时按逆时针方向跑步；甲每秒跑5 米，乙每秒跑4 米，每人每跑10

16、0 米，都要停10 秒钟，那么，甲追上乙需要 秒钟；（ 1992 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）讲析：各跑100 米，甲比乙少用的时间是100÷ 4-100÷ 5=5（秒钟），现在甲要比乙多跑100 米，需 20 秒钟；由20÷ 5=4（个百米），可知，乙跑400 米以后，甲就比乙多跑100 米；这样便刚好追上乙；甲跑完（ 400+100）米时，中途停了4 次，共停40 秒钟；故 20× 5+40=140 （秒）；当乙跑完400 米以后，停了10 秒，甲刚好到达同一地点；所以，甲追上乙需要140 秒钟；例 10 甲、乙二人在同一条环形跑道上作特殊训练：

17、他们同时从同一地点动身，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达动身点后立刻回头加速跑其次第一次相遇点190 米，问这条环形跑道长多少米？（全国第四届“华杯赛”复赛试题）讲析：图为甲、乙两人每跑到原动身点时，就返回头跑；于是，从动身点切开，然后将环形跑道拉直，这样，他 俩就可以看作在ab 线段上的来回跑步（如图5.35 ）；跑第一圈时，乙的速度与甲的速度的比是32；当甲从原速跑到a 点；（个）全程，即刚好到达d 点；所以，在ad 段中，甲、乙两人都是按各自的加速度相向而行；不难求得例 11 图 5.36，大圈是 400 米跑道，由a 到 b 的跑道长是200 米，直线距离是50 米；父子俩同时从a 点

18、动身逆时针方向沿跑道进行长跑锤炼，儿子跑大圈，父亲每跑到b 点便沿直线跑，父亲每100 米用 20 秒，儿子每100 米用 19秒；假如他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？（全国其次届“华杯赛”复赛试题）讲析：简单运算出，父亲经过150 秒刚好跑完3 小圈到达 a 点，儿子经过152 秒刚好跑完2 圈到达 a 点，儿子比父亲慢 2 秒钟，所以儿子将沿跑道追逐父亲；由于 a 到 b 弯道长 200 米，儿子每跑100 米比父亲快一秒，可知恰好在b 点追上父亲；即，儿子在跑第三圈时，会第一次与父亲相遇；例 12 甲班与乙班同学同时从学校动身去某公园；甲班步行的速度是每小时4

19、千米，乙班步行的速度是每小时3千米；学校有一辆大客车，它的速度是每小时48 千米；这辆车恰好能坐一个班的同学；为了使两班同学在最短时间内到达，那么甲班同学与乙班同学需要步行的距离之比是 ；（ 1991 年全国学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：要使两个班在最短时间内到达，只有让两个班都同时运行且同时到达；设甲班先步行后乘车；甲班、乙班和客车的行进路线如图5.37 所示； ab、 cd 分别表示甲班和乙班步行距离；当甲班从a 地行至 b 地时，汽车共行了：ab+2· bc；又汽车速度是甲班的12 倍，所以同理，当乙班从c 地行至 d 地时，汽车共行了cd+2· bc；又，汽车速度

20、是乙班的16 倍，所以abcd=15 11；即甲班与乙班需要步行的距离之比为15 11；例 13 王经理总是上午8 点钟乘公司的汽车去上班；有一天，他6 点 40 分就步行上班，而汽车仍按以前的时间从公司动身，去接经理，结果在路途中接到了他；因此，王经理这天比平常提前16 分钟到达公司；那么汽车的速度是王经理步行速度的 倍；（学校生科普报学校数学奥林匹克通讯赛试题）讲析：如图5.38， a 点表示王经理家，b 点表示公司，c点表示汽车接王经理之处；王经理比平常提前16 分钟到达公司， 而这 16 分钟实际上是汽车少走了2·ac而剩下的时间， 就汽车行ac路程需要 8 分钟，所以汽车到

21、达c 点接到王经理的时间是7 点 52 分钟；王经理步行时间是从6 点 40 分到 7 点 52 分，共行72 分钟；因此，汽车速度是王经理步行速度的72÷8=9（倍）；【倍数问题】例 1 仓库里有两个货位，第一货位上有78 箱货物，其次货位上有42 箱货物，两个货位上各运走了相同的箱数之后，第一货位上的箱数仍比其次货位上的箱数多2 倍；两个货位上各运走了多少箱货物？（ 1994 年天津市学校数学竞赛试题）讲析：由于两堆货物各运走相同数量的货物之后，第一堆比其次堆货物多2 倍；即此时第一堆货物是其次堆货物的 3 倍；所以， 42 的 3 倍的积与78 的差，就是两堆中各运走货物的箱数

22、的2 倍；故两个货位各运走的货物箱数是（42× 3-78）÷ 2=24（箱）；例 2 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖；每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2 倍，每个二等奖奖金是每个三等奖奖金的2 倍；假如评一、二、三等奖各两人，那么每个一等奖的奖金是308 元；假如评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是多少元？（全国其次届“华杯赛”复赛试题）讲析：我们可将二等奖和三等奖都换成一等奖；假如评 1 个一等奖， 2 个二等奖， 3 个三等奖时，每个一等奖的奖金为：0例 3 甲、乙两个小伴侣各有一袋糖，每袋糖都不到20 粒；假如甲给乙肯定数量的糖后，甲的糖就是乙

23、的糖粒数的2 倍；假如乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3 倍；那么，甲、乙两个小伴侣共有糖 粒；（ 1994 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）；讲析：甲给乙肯定数量的糖之后，甲是乙的2 倍；这说明甲乙两个糖数之和是3 的倍数；同理，乙给甲肯定数量的糖后，甲是乙的3 倍，这说明甲乙两个糖数之和又是4 的倍数；所以，甲、乙两人糖粒总数肯定是12 的倍数；又，每袋糖都不到20 粒，所以甲乙两个糖数之和应为12、24、36 中的一个数；经检验，当总糖数是24 时，即甲为17 粒、乙为7 粒时，符合要求；即两个小明友共有糖24 粒；例 4 一小和二小有同样多的同学参与金杯赛；学校用汽车把同学

24、送往考场；一小用的汽车，每车坐 15 人，二小用的汽车，每车坐13 人，结果二小比一小要多派一辆汽车；后来每校各增加一个人参赛，这样两校需要的汽车就一样多了；最终又打算每校再各增加一人参与竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车；问最终两校共有多少人参与竞赛？（全国第一届“华杯赛”决赛试题）讲析：原先二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多；由此可见，一小增一人就要增加一辆车，所以原先汽车恰好全部坐满，即原先一小人数是15 的倍数；后来又增加1 人，这时二小又要多派一辆车，所以在其次次增加人数之前，二小的车也恰好坐满；即人数是13 的倍数；因此，原先每校参与的人数都是15 的倍数；而加1 之

25、后，是13 的倍数；即求 15 的某个倍数恰等于13 的倍数减1；由于 15× 6=90， 13×7=91，所以，两校各有92 人参与竞赛；从而可知，两校共有184 人参与竞赛；【年龄问题】例 1 小明今年5 岁，爸爸的年龄是小明的7 倍，再过多少年爸爸的年龄是小明年龄的3 倍？（ 1993 年吉林省“金翅杯”学校数学竞赛试题）讲析：可先求出当爸爸年龄是小明年龄的3 倍时，小明的年龄是多少岁：（ 5× 7-5）÷（ 3-1） =15（岁）；故，再过10 年，爸爸的年龄是小明年龄的3 倍；例 2 今年祖父的年龄是小明年龄的6 倍；几年后，祖父年龄是小明年龄

26、的5 倍；又过几年后，祖父年龄是小明年龄的 4 倍；问：祖父今年多少岁？（全国其次届“华杯赛”少年数学竞赛试题）讲析：由于今年祖父年龄是小明年龄的6 倍；所以，年龄差是小明年龄的5 倍，即肯定是5 的倍数；同理，又过几年后，祖父的年龄分别是小明年龄的5 倍和 4 倍，可知年龄差也是4 和 3 的倍数；而年龄差是不变的；由 3、4、5 的公倍数是60、120、可知，60 是比较合理的；所以，小明今年的年龄是60÷（ 6-1） =12（岁）；祖父今年的年龄是12× 6=72（岁）；例 3 1994 年姐妹两人年龄之和是55 岁；如干年前， 当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹

27、的年龄恰好是姐姐年龄的一半；姐姐是哪一年诞生的？（长沙地区数学竞赛预选赛试题）讲析：设如干年前，妹妹的年龄为x 岁，就现在妹妹为2x 岁；姐姐在“如干年前”那一年的年龄也为2x 岁，就姐姐现在的年龄为3x 岁；由 2x+3x=55，可知， x=11；所以，今年姐姐的年龄是3× 11=33（岁）；故姐姐是1960 年诞生的；【时钟问题】例 1 把一个时钟改装成一个玩具钟，使得时针每转一圈，分针转16 圈，秒针转36 圈；开头时三针重合；问：在时针旋转一周的过程中，三针重合了几次？（不计起始和终止的位置）（全国第三届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：如图5.39，设时针和分针第一次在b 点重

28、合；从开头到重合，时针走了ab，而分针走了一圈后再又走ab；例 2 7 点 分的时候，分针落后于时针100°；（上海市第五届学校数学竞赛试题）讲析： 7 点整时，分针落后于时针210°，时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，依照追及问题有：（ 210-100）÷（ 6-0.5） =20（分钟）；故，在 7 点 20 分钟的时候，分针落后时针100°；【其他问题】例 1 如图 5.40 是一个围棋盘，仍有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚余外12枚棋子，假如要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，就差

29、9 枚棋子才能摆满；问：这堆棋子原有多少枚？（全国第四届“华杯赛”决赛口试试题）讲析：把这堆棋子摆成正方形实心方阵，仍余外12 枚，如把这个正方阵每边各加一枚棋子时，其贴边加上的棋子为 12+9=21（枚）；所以，新方阵每边棋子数为（21+1）÷ 2=11（枚）；从而可知，原先这堆棋子共有11×11-9=112（枚）；例 2 小玲从家去学校，假如每分钟走80 米，结果比上课时间提前6 分钟到校；假如每分钟走50 米，就要迟到3分钟，小玲的家到学校的路程有多远？（西南地区学校数学竞赛试题）讲析：此题属于盈亏问题，提前6 分钟和迟到3 分钟，所相差的距离，是由于每分钟相差30

30、米而造成的；（ 80× 6+50× 3）÷（ 80-50） =21（分钟）； 80×（ 21-6） =1200（米）即小玲家到学校有1200 米；3.复杂分数应用题【复杂的一般分数问题】例 1 已知甲校同学数是乙校同学数的40，甲校女生数是甲校同学数的30， 乙校男生数是乙校同学数的42； 那么，两校女生总数占两校同学总数的百分之几？（全国“幼苗杯”学校数学竞赛试题）讲析：关键是要求出甲、乙两校同学数，分别占两校总人数的几分之几； 由于甲校同学数是乙校同学数的40，所以，甲、乙两校同学数之比为所以，两校女生占两校同学总数的例 2 有一堆糖果，其中奶糖占4

31、5，再放入16 块水果糖后，奶糖就只占25；那么，这堆糖中有奶糖 块；（ 1992 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）16 块水果糖之后，其它糖就是奶糖的（1-25）÷ 25 =3（倍）；例 3 某商店经销一种商品，由于进货价降低了8，使得利润率提高了10；那么这个商店原先经销这种商品所 得利润率是百分之几？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）讲析：“利润”是出售价与进价的差；“利润率”是利润与进货价的比率；设这种商品原进价为每件a 元，出售后每件获利润b 元；那么现进价为每件（ 1-8）× a=92 a（元），例 4 学校早晨6： 00 开校门，晚上6：40 关校门；下午有一同

32、学问老（ 1992 年学校数学奥林匹克决赛试题）讲析：此题的关键是要留意“时间”和“时刻”这两个概念的区分；从早晨 6 点到中午12 点共有 6 小时，从中午12 点到下午 6 点 40 分共有设从中午12 点到“现在”共a 小时，可列方程为解得a=4；所以，现在的时间是下午4 点钟；【工程问题】例 1 一件工作，甲做5 小时后，再由乙做3 小时可以完成；如乙先做9 小时后，再由甲做3 小时也可以完成；那么甲做 1 小时以后，由乙做 小时可以完成？（ 1987 年北大附中友好数学邀请赛试题）讲析：由于“甲做5 小时，乙做3 小时可以完成” ；或者“甲做3 小时，乙做9 小时也可以完成” ；由此

33、得，甲做5-3=2（小时）的工作量，就相当于乙做9-3=6（小时）的工作量；即：甲做1 小时，相当于乙做3 小时；由“甲做5 小时，乙再做3 小时完成”，可得：甲少做4 小时，就需乙多做3× 4=12（小时）；所以，甲做1 小时之后，仍需要乙再做3+12=15（小时）才能完成；例 2 假如用甲、乙、丙三根水管同时往一个空水池里灌水，1 小时可以灌满；假如用甲、乙两根水管，1 小 时 20分可以灌满；假如用乙、丙两根水管，1 小时 15 分可以灌满；那么，用乙管单独灌水，要灌满一池水需要（ 1993 年全国学校数学奥林匹克决赛试题） 讲析：关键是求出乙的工作效率；例 3 一项挖土方工程

34、，假如甲队单独做，16 天可以完成；乙队单独做 小时；时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少挖了47.25 方土，结果共用了10 天完成工程；问整个工程要挖多少方土？（ 1993 年全国学校数学奥林匹克总决赛其次试试题）讲析：甲、乙两队合做，就工效可提高20，所以每天可以完成例 4 某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己原岗位工作时，9 小时可以完成一项生产任务，假如交换工人a 和 b 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1 小时完成这项生产任务；假如交换工人c 和 d 的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1 小时完成这项生产任务；问：假如同时交换a 与 b，c 与 d

35、的工作岗位，其他工 人生产效率不变时，可以提前几分钟完成这项生产任务；（全国第四届“华杯赛”决赛试题）所以，同样交换a 与 b， c 与 d 之后，全组每小时可以完成：例 5 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作；甲工地的工作量是乙工已做完，乙工地的工作仍需4 名工人再做1 天；那么，这批工人有 人；（ 1992 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）讲析：把甲、乙两地全部工作量作单位“1”，由“甲工地的工作量是把工人总数作单位“1”，由“上午去甲工地人数是去乙工地人数的3所以，一天中去甲、乙工地人数之比为：例 6 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管；要灌满一池水，单开甲管需要3 小时，单

36、开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要丁的次序循环开各水管，每次每管开1 小时，问多少时间后水开头溢出水池？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）有当开到甲水管时，水才会溢出；溢出；的思路是在假设要打开水管如干个循环之后，水才开头开头溢出；所以，这样解的思路是错误的；4.比和比例应用题【求比的问题】例 1 两个同样容器中各装满盐水；第一个容器中盐与水的比是2 3，其次个容器中盐与水的比是3 4，把这两个容器中的盐水混合起来，就混合溶液中盐与水的比是 ；（无锡市学校数学竞赛试题）就混合溶液中，盐与水的比是：某电子产品去年按定价的80出售，能获利20，由于今年买入价降（ 1994 年全国学校

37、数学奥林匹克决赛试题）即：【比例问题】例 1 甲、乙两包糖的重量比是4 1，假如从甲包取出10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7 5 那么两包糖重量的总和是 克；（ 1989 年全国学校数学奥林匹克初赛试题）例 2 甲容器中有纯酒精11 升，乙容器中有水15 升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；其次次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器；这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精含量为25，那么，其次次从乙容器倒入甲容器的混合液是（ 1991 年全国学校数学奥林匹克决赛试题） 升；讲析：由于现在乙容器中纯酒精含量为25，所以，乙容器中酒精与水的比为25（

38、1-25） =1 3第一次从甲容器中倒5 升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5 15=13又甲容器中纯酒精含量为62.5，就甲容器中酒精与水的比为62.5（ 1-62.5） =53其次次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为5 3，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1 份，水作 3 份；那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）6 升算作 4 份，这样可恰好配成5 3；而其次次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1 3=4（份），所以也应是6 升；5. 杂 题例 1 一次考试共有五道题，考后成果统计，做对第1、2、3、4、5 题的人数分别占全部参考人数的81、 91、 8

39、5、 79、 74；如做对三道以上（含三道）题目为考试及格，那么这次考试的及格率至少是 ；（ 1993 年台北市数学竞赛试题）讲析：设共有100 名同学参与考试，就他们一共做错的题数为：19+9+15+21+26=90（道）； 因 90÷3=30（人）；可将错题90 道集中到30 人身上，且每人恰错3 题，是办得到的；所以，至多有30 人不及格，至少有70 人及格，故及格率为70；例 2 某商店有一不精确天平（其臂不等长）及1 千克砝码，一位顾客要购2 千克糖果，售货员将1 千克砝码放于左盘，置糖果于右盘，使之平稳后，将糖给顾客；然后又将1 千克砝码放于右盘，另置糖果于左盘，平稳后，

40、将糖给顾客；这样称给顾客的2 千克糖果是公正的呢，仍是顾客吃亏或者商店吃亏？（ 1992 年独联体数学夏令营试题）由于互为倒数的两数之和不小于2，所以，称给顾客的糖果大于2 千克，商店吃了亏；例 3 下表列出去年老人节钓鱼竞赛的选手钓鱼条数及人数：已知冠军钓到15 条鱼；钓3 条或更多条鱼的人平均每人钓到6 条鱼；钓12 条或更少条鱼的人平均每人钓到5 条鱼；那么，全部选手共钓了条鱼； 第 11 届美国数学邀请赛（aime）试题 讲析： 设一共有x 人参与钓鱼， 就钓 3 条鱼以下的人数为9+5+7=21（人），他们共钓鱼条数为1× 5+2× 7=19（条）；所以，钓鱼总数

41、为6×（ x-21）+19=6x-107（条）；同理，钓12 条鱼以上的人数为5+2+1=8（人），他们共钓鱼：13× 5+14× 2+15× 1=108（条）；所以，钓鱼总数为5×（ x-8）+108=5x+68（条）；依据以上分析，得：6x-107=5x+68，解得 x=175；所以，全部选手共钓鱼5× 175+68=943 （条）；例 4 有长度分别为1、2、3、 9 厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用如干条线段组成正方形？（ 1994 年长沙市奥林匹克代表队集训试题）讲析：九条线段长度各不相同，所以组成一个正方形

42、至少需要7 条，最多需要9 条线段；（ 1+2+3+7）÷ 4=7，（ 1+2+3+9）÷ 4 11就组成的正方形边长最短为7 厘米，最长为11 厘米；当边长为7 厘米时7=1+6=2+5=3+4， 有一种组法：当边长为8 厘米时8=1+7=2+6=3+5， 有一种组法：当边长为9 厘米时，9=1+8=2+7=3+6=4+5， 有五种组法：当边长为10 厘米时，1+9=2+8=3+7=4+6， 有一种组法：当边长为11 厘米时2+9=3+8=4+7=5+6， 有一种组法： 所以，一共有9 种组法；例 5 要在一个圆周上标出一些数，每一次先把圆周二等分，在两个分点数之后，圆周上全部已标的数的总和是；（北京市第九届“迎春杯”学校数学竞赛试题）讲析：设每次标出的分点之和为a1、a2、a3、 a8；就有：从而，每一个数，都是前一个数的3 倍；所以， a1+a2+a3+a8例 6 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是0，或者是不超过