傅里叶变换课件

1、第七章第七章 Fourier变换变换 Fourier变换是一种对连续时间函数的变换是一种对连续时间函数的积分变换积分变换, ,通过特定形式的积分建立函数之通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系间的对应关系. . 它既能简化计算它既能简化计算( (如解微分如解微分方程或化卷积为乘积等方程或化卷积为乘积等) )，又具有明确的物，又具有明确的物理意义理意义( (从频谱的角度来描述函数的特征从频谱的角度来描述函数的特征),),因而在许多领域被广泛地应用因而在许多领域被广泛地应用. .离散和快速离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要变换在计算机时代更是特别重要 1 1 Fourier变换

2、的定义变换的定义 2 2 Fourier变换的性质变换的性质 7.17.1 Fourier变换的概念与性质变换的概念与性质3 3 d d函数的函数的Fourier变换变换7.1.1 7.1.1 Fourier变换的定义变换的定义Fourier积分定理积分定理 设设f (x)在在 满足下列满足下列(,) 条件条件: (1) f (x)在任何有限区间上满足展开为在任何有限区间上满足展开为Fourier级数的条件级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限即只存在有限个第一类间断点和有限个极值点；个极值点；(2) f (x)在在 上绝对可积上绝对可积, 即即(,) ( ) df xx 收敛收敛.

3、则在则在 f (x)的连续点处的连续点处1( )( )dd ,2i tixf xf t et e 而在而在 f (x)的间断点处的间断点处(0)(0)( ).2f xf xf x 定义定义7.1设设则则( )=( )di tFf t et 称式（称式（1）为）为f (t)的的Fourier变换变换，记为，记为1( )( )d2i tf tFe （1）（2）式（式（2）称为）称为F( )的的Fourier逆变换逆变换, 记为记为1( )=( )f tF F( ) ( )Ff t F显然显然，如果，如果f (t)满足满足Fourier积分定理条件积分定理条件, 那么在那么在f (t)的连续点处成立

4、的连续点处成立Fourier变换的反演公式变换的反演公式 1( ) ( ) .f tf t = = F FF FF( )称为称为f (t)的的像函数像函数.f (t) 称为称为F( )的的像原函数像原函数.例例7.1 求求 , 0( ) (0) 0, t0tetf t 的的Fourier变换变换.0 ( )dti tf teet F F()01d.iteti tf (t)o1根据根据Fourier变换的定义变换的定义解：解：例例7.2求求 的的Fourier变换，变换，( ) (0)tf te 并证明并证明220cosd.2tte tf (t)O1根据根据Fourier变换的定义变换的定义 (

5、 )dti tf teet F F00ddti tti te eteet 222. 解：解：因为因为f (t)在在 上连续上连续, 且只有一个极大值且只有一个极大值(,) 点点t=0, 而而02d2dttetet 存在存在, 所以根据所以根据Fourier变换的反演公式变换的反演公式12222212( )d2i tf te F F221(cossin)dtit 2202cosd ,t 于是于是220cosd( ).22ttf te 在无线电技术、声学、振动理论中在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier变换和频谱概念有密切联系变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数时间变量的函数 f

6、(t)的的Fourier变换变换F( )称为称为 f (t)的的频谱函数频谱函数, 频谱函数频谱函数的模的模 称为振幅频谱称为振幅频谱(简称为简称为频谱频谱). ( )F 例例7.3 求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数(E0), 2( )0, t2Etp t 的频谱的频谱.ot2 2 E( )p t .由频谱函数的定义由频谱函数的定义( )( )di tFp t et 22d ,i tEet 解：解： |F( )| )|OE 2 4 6 2 4 6 222( ) sin.2i tEeEFi 故频谱为故频谱为1( )2sin.2FE (如图所示如图所示) 7.1.2 7.1.2 Fourier变换的性

7、质变换的性质以下假定所讨论的函数满足以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理积分定理的条件的条件.(1) 线性性质线性性质 设设a a, 是常数，是常数， 11( )( ),Ff t F F22( )( ),Ff t F F则则 1212( )( )( )( )f tf tFFa a a a F F12( )( ).f tf taaFFFF1111212()()()().FFFFa a a a F FF FF F(2) 对称性质对称性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 ( )2().F tf F F证明证明 由由Fourier逆变换有逆变换有 1( )( )d .2i tf

8、tFe 于是于是1()( )d .2i tftFe 将将t与与 互换互换, 则则 1()( )d ,2i tfF t et 所以所以( )2().F tf F F特别地特别地, 若若f (t)是偶函数是偶函数, 则则 ( )2( ).F tf F F2( )sin.2p t F F例例7.4 求求 的频谱函数的频谱函数.sin( )tf tt f (t)to函数函数 的频谱函数为的频谱函数为( )p t 当当 =2时时, 根据根据Fourier 变换的线性性质变换的线性性质由由 知知, 单位幅度单位幅度 (即即E=1) 的矩形脉冲的矩形脉冲解：解：21sin( ),2p t F F其中其中 是

9、宽度为是宽度为2, 幅度为的幅度为的 矩形脉冲函数矩形脉冲函数, 21( )2p t12它是偶函数它是偶函数. 由由Fourier变换的变换的 , sin ( )tf tt F FF F, 1;0, 1. 212( )2po 11 ( )F .宽度为宽度为2 幅度为幅度为 的矩形脉冲函数的矩形脉冲函数 (3) 相似性质相似性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 1 () f atFaa F F(其中其中 为常数为常数). 0a 证明证明 由由Fourier变换的定义变换的定义, ()()d .i tf atf at et F令令 则则 于是当于是当a0时时, ,xat 1dd .tx

10、a 11 ()( )d;ixaf atf x exFaaa F F当当a0时时, 1 ()( )dixaf atf x exa F F11( )d.ixaf x exFaaa 综上所证综上所证, 即得即得1 (). f atFaa F F(4) 翻转性质翻转性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 ) ) (). ftF F F由相似性质可直接得到由相似性质可直接得到 (5) 时移性质时移性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 00 ()( )i tf tteF F F(其中其中t0为常数为常数). 证明：证明： 由由Fourier变换的定义变换的定义, 00 ()()d .

11、i tf ttf tt et F F令令 代入上式得代入上式得 0,xtt 0()0 ()( )dix tf ttf x ex F F00( )d( ).i ti tixef x ex eF 利用利用 和和 , 易见易见 1 (), biaf atbeFaa F F其中其中a, b为常数为常数, 并且并且 事实上，事实上， 0.a ()bf atbfa ta F FF F1 ().bbiiaaef ateFaa F F(6) 频移性质频移性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F则则 (其中其中 0为常数为常数). 00( )()itf t eF F F证明：证明： 由由Fourier变换的

12、定义变换的定义, 00( )( )dititi tf t ef t eet F F0()0( )d().itf t etF (7) 微分性质微分性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且 在在 ( )( )nft(,) 上存在上存在(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, t ( )( )0 (0,1,2,1),kftkn则则 ( )( )()( ).nnftiF F F( )( )di tftft et F F( )( )di ti tf t eif t et ( )d( ).i tif t eti F 只证明只证明n=1的情形的情形, 类推可得高阶情形类推可得高阶情形.证明

13、：证明：上面是关于时域的微分性质上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于类似地也有关于频域的微分性质频域的微分性质: 设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且 在在 ( )( )nF (,) 上存在上存在(n为正整数为正整数). 如果当如果当 时时, ( )( )0 (0,1,2,1),kFkn 则则 1( )( )( ).nnni Ft f t F F从而可知从而可知 ( )( )( ).nnnt f ti F F F例例7.5 设设 求求 , 0( ) (0), 0, t0ttetf t ( ).f tF F令令 于是由于是由 可知可知 , 0( ), 0, t0tetg t 1

14、( ).g ti F F所以所以 ( )( )f ttg t F FF F211.()iii 解：解：(8) 积分性质积分性质 设设 ( ) ( ),Ff t F F并且并且(0)0.F 如果如果 则则 ( )( )d ,tg tf 1 ( )( ).g tFi F F证明证明 因为因为 并且并且 lim ( )lim( )d0,tttg tf 0lim ( )( )d( )d(0)0,itg tffeF 所以根据所以根据 可知可知( )( )g tf t ( )( )di tg tg t et F F111( )( )d( ).i ti tg t ef t etFiii （9）卷积与卷积定理

15、）卷积与卷积定理卷积定义：( )( )( ) ()f tg tf s g ts ds)fggffghfgfh交换律：加法分配律：卷积的简单性质：卷积的简单性质：卷积定理卷积定理设设 1122( )( ), ( )( ),Ff tFf t F FF F则则 1212()( )( )( ).fftFF F F证明证明 由卷积和由卷积和Fourier变换的定义变换的定义, 可得可得1212()( )()( )di tfftfft et F F12( )()ddi tfx ftxx et 12( )()ddi tfxf tx etx 1221( )( )d( )( )dixixfx FexFfx ex

16、 12( )( ).FF 7.1.3 7.1.3 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函常常会碰到单位脉冲函数数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学如在电学中中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流产生的电流; 在力学中在力学中, 要研究机械系统受冲击力要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数要介绍的单位脉冲函数. 在原来电流为零的电路中在

17、原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位电量的脉冲进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上现在要确定电路上的电流的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数, 则得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流

18、强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数: )000tttd有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.0001( )0000( )lim( )0ttttttttddd 给函数序列，定义。d(t)1/O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.tOd

19、(t)1d d-函数有性质：函数有性质： )00( ) ( )d(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及（为连续函数）可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。d d 函数的函数的Fourier变换变换 因为因为d d 函数是广义函数函数是广义函数, 所以其所以其Fourier变换不变换不 是通常意义下的是通常意义下的Fourier 变换变换. 根据根据Fourier 变换的变换的定义定义, 以及以及d d 函数的性质函数的性质, 可得可得 ( )( )d1,i ttt et dddd F F111 ( )( )d.22i te d d d d

20、 F F通常通常, 没有意义没有意义. 然而由然而由 1F F11 ( ),2d d F F在广义函数意义下在广义函数意义下, 12( ). d d F Fd d 函数函数Fourier变换的时移和频移性质变换的时移和频移性质 00 () ( ),i tttet d dd d F FF F0012().ite d d F F根据根据Fourier变换的定义以及变换的定义以及d d 函数的性质函数的性质, 00 ()()di ttttt et d dd d F F000() ( ),iti ti teeet d d F F1001 ()()d2i te d d d d F F01,2ite 即即

21、 0012().ite d d F F证明：证明：例例7.6 计算计算 和和 0cos t F F0sin.t F F根据根据d d 函数函数Fourier变换的变换的 , 可得可得 00011cos22itittee F FF FF F00()() , d d d d 00011sin22ititteeii F FF FF F00()() .i d d d d 解：解：例例7.7 计算计算 22sin 3.tF F利用利用 , 可得可得 22sin 31cos6 1cos6 ttt F FF FF FF F 2 ( )(6)(6) . d d d d d d 解：解：例如常数, 符号函数,

22、单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F() 构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件|( )|df tt7.2 7.2 Fourier变换的应用变换的应用前面已经通过一些例子介绍了前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在变换在频谱分析中的应用频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子输中不失真问题的例子.例例7.8 任何信息

23、的传输任何信息的传输, 不论电话、电视或无不论电话、电视或无线电通信线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只只 是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化. 设输入信号为设输入信号为f (t), 输出信号为输出信号为g(t), 信号不失信号不失真的条件就是真的条件就是 0( )(),g tKf tt 其中其中K为常数，为常数，t0是滞后时间是滞后时间. 从频率响应来看从频率响应来看, 为为了使信号不失真了使信号不失真. 应该对电路

24、的传输函数应该对电路的传输函数H( )提出提出一定的条件一定的条件. 传输函数传输函数H( )f (t)g(t)设设F( )和和G( )分别是输入信号分别是输入信号f (t)和输出信号和输出信号 g(t)的的Fourier变换变换. 传输函数传输函数H( )G ) )g(t)f (t)F( )由由Fourier变换的变换的 可得可得 这说明这说明, 如果要求信号通过线性电路时不产生任何失如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真真, 在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有 0( )( ).i tGKeF 0( ).i tHKe 故要求传输函数故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性恒定的幅度特性和线性的位相特性. 本章主要内